1、习题 181 研究下列函数的连续性 并画出函数的图形 (1) 21 0)(2xxf解 已知多项式函数是连续函数 所以函数 f(x)在0 1)和(1 2 内是连续的 在 x1 处 因为 f(1)1 并且 lim)(li2xf 1)2(lim)lixf所以 从而函数 f(x)在 x1 处是连续的 1x综上所述，函数 f(x)在 0 2上是连续函数 (2) 1| )(f解 只需考察函数在 x1 和 x1 处的连续性 在 x1 处 因为 f(1)1 并且 )lim)(lifx (11fx所以函数在 x1 处间断 但右连续 在 x1 处 因为 f(1)1 并且f(1) f(1) li)(lifx 1li
2、m)(lixxf所以函数在 x1 处连续 综合上述讨论 函数在( 1)和(1 )内连续 在 x1 处间断 但右连续 2 下列函数在指出的点处间断 说明这些间断点属于哪一类 如果是可去间断点 则补充或改变函数的定义使它连续 (1) x1 x232y解 因为函数在 x2 和 x1 处无定义 所以 x2 和)(2x1 是函数的间断点 因为 所以 x2 是函数的第二类间断点 231lim2xyx因为 所以 x1 是函数的第一类间断点 并且是可去间断点 2)(1lim1xyx在 x1 处 令 y2 则函数在 x1 处成为连续的 (2) xk (k0 1 2 )tan解 函数在点 xk(kZ)和 (kZ)
3、处无定义 因而这些点都是函数的间断点 因 (k0) 故 xk(k0)是第二类间断点 kxtanlim因为 (kZ) 所以 x0 和 (kZ) 是第一类100tanli2kx 2 间断点且是可去间断点 令 y|x01 则函数在 x0 处成为连续的 令 时 y 0 则函数在 处成为连续的 2k2k(3) x0 cos解 因为函数 在 x0 处无定义 所以 x0 是函数 的间断点 又y1s2 xy1cos2因为 不存在 所以 x0 是函数的第二类间断点 xxcslim20(4) x 1 3y解 因为 所以 x1 是函数的第一0)(li)li11fxx 2)3(lim)li11xfx类不可去间断点 3
4、 讨论函数 的连续性 若有间断点 判别其类型 fn2lim)(解 1| 0|1li)(2xxfnn在分段点 x1 处 因为 所以1)(li)(lixf 1lim)(lixfx1 为函数的第一类不可去间断点 在分段点 x1 处 因为 所以 x1 为1lim)(li1xfx )(lim)li1xf函数的第一类不可去间断点 4 证明 若函数 f(x)在点 x0 连续且 f(x0)0 则存在 x0 的某一邻域 U(x0) 当xU(x0)时 f(x )0证明 不妨设 f(x0)0 因为 f(x)在 x0 连续 所以 由极限的局)(li00fx部保号性定理 存在 x0 的某一去心邻域 使当 x 时 f(x
5、)0 从而当)(UxU(x0)时 f(x )0 这就是说 则存在 x0 的某一邻域 U(x0) 当 xU(x0)时 f(x)0 5 试分别举出具有以下性质的函数 f(x)的例子 (1)x0 1 2 n 是 f(x)的所有间断点 且它们都是无穷间断1点 解 函数 在点 x0 1 2 n 处是间断的xfcs)() 1且这些点是函数的无穷间断点 (2)f(x)在 R 上处处不连续 但| f(x)|在 R 上处处连续 解 函数 在 R 上处处不连续 但|f (x)|1 在 R 上处处连续 Q 1(3)f(x)在 R 上处处有定义 但仅在一点连续 解 函数 在 R 上处处有定义 它只在 x0 处连续 x
