1、R1R2OP+q图 6-1(a)P图 6-1(b)-q3RRO图 6-2一、选择题1如图 6-1(a)所示，一个原来不带电的导体球壳，内半径为 R1，外半径为 R2，其圆心 O 处放置一个点电荷 。现将 由 O 点移至 P 点，则在下列说法中，正确的是：qA在 的区域内，各点的电场强度要发生变化，而 的区域电场强度不变；1Rr 2rB球壳内、外表面的感应电荷分布没有变化；C球壳内表面的感应电荷不再均匀分布，外表面不受影响；D球壳内、外表面的感应电荷不再均匀分布。 （A 、C ）知识点 静电感应、感应电荷的分布。分析与解答 导体球壳内放入点电荷+q，球壳内表面要感应出q，外表面将感应出+q 的电
2、荷。由于点电荷+q 在球壳内由 O 点移到 P 点，球壳内表面距离点电荷+q（P 点）近的地方，感应电荷的密度大，距离点电荷+q（P 点）远处的地方，感应电荷的密度小，即球壳内表面q 的分布将不均匀；而对于球壳外表面来说，其内部（指内表面和点电荷）有等量异号的电荷，由于屏蔽，其电场将完全不影响壳外电场，外表面又是球面，因此外表面感应电荷+q 分布均匀，如图 6-1(b)所示。由点电荷电场强度公式知，当点电荷+q 在 O 点时，其电场为球对称分布，而移到 P 点后，在 区域内，距离 P 点近的场点电场强度要1Rr大，远场点电场强度要小，在 ，由高斯定理知为球对称分布电场，2与点电荷+q 放置在
3、O 点时一致。2如图 6-2 所示，一金属球半径为 ，带电 ，距球心为 3R 处Q有一点电荷 。现将金属球接地，则金属球面上的电荷为：A0； B ； C ； D 。 （C）qQ3q知识点 外壳接地后电势叠加为零。分析与解答 接地后金属球为等势体 0U则球心电势 0由电势叠加原理知，球心电势是点电荷q 和金属球面上剩余电荷 叠加的结果，即Q043400 RQqUQq+QO图 6-3(a)+QO图 6-3(b)EC1C2图 6-8得金属球面上的剩余电荷为 3qQ3如图 6-3(a)所示的两个金属球，大球带电+ Q，半径为 R，小球不带电。在下列说法中，正确的是：A小球左端有感应电荷 ，右端有 。因
4、此，右端的电势高于左端；B小球为等势体，且电势大于零；C大球的电荷均匀分布在其表面，大球外任一点的电场强度 ；reE2041D若将小球接地，则小球必带负电荷。 （B、D）知识点 静电平衡特点。分析与解答 小球的感应电荷及电场线如图 6-3(b)所示。小球处在带电金属大球产生的电场中，小球左端有静电感应负电荷，右端有等量感应正电荷，但小球是静电平衡的导体球，应为等势体。由于大球带正电，电场线伸向无穷远，而 ，而在静电0U场中，电势沿电场线方向降低，则知小球电势大于零。由于小导体球的存在，使大球表面电荷分布不均匀，大球外任一点的场强是由大球表面和小球表面上所有点电荷场强矢量叠加的结果。若将小球接地
5、，小球球心电势 ，其电势是由大球0OU表面电荷+Q 和小球表面剩余电荷 共同叠加的结果，则可知Q必与+Q 异号，即为负电荷。Q4如图 6-8 所示，将两个完全相同的空气电容器串联起来，在电源保持连接时，再将一块各向同性均匀电介质板插入其中一个电容器 C2 的两极板间，则插入介质前后电容器 C2 的电场强度E、电容 C、电压 U、电场能量 W4 个量的变化情况是（增大用表示，减小用表示）：AE、C、U、 W； BE、C 、U、W；CE、C、U、W； DE、C 、U、W。 （ C ） 知识点 介质对 E、C、U、W 的影响。分析与解答 设电容器极板面积为 S，板间距为 d。充介质前电容器 C2 的
6、电容为 02充介质前的等效电容 dSdSC200210 串联电容器各极板电量相同，充介质前极板的带电量 UdSCQ200充介质前电容器 C2 的极板间电势差 2020dSUC充介质前电容器 C2 的极板间的场强 E202充介质前电容器 C2 的电场能量 022081UdSCQW充介质后电容器 C2 的电容为 ，可见 C。r2充介质后的等效电容 dSdSCrrr 00021 )1(充介质后极板的带电量 UQr0)(充介质后电容器 C2 的极板间电势差 2002 1)1( UdSCrrrr 由于 ，可见 U。1r充介质前电容器 C2 的极板间的场强 ，可见 E。2021dUEr充介质后电容器 C2
7、 的电场能量 221CQW202)1(48)(4WSrr 由于 ，可见 W。 1r5 如图 6-5 所示，一个不带电的空腔导体球壳，内半径为 R，在腔内离球心的距离为 d 处（） ，固定一电量为 的点电荷，用导线把球壳接地后，再把地线撤去。选无穷远处为电势Rdq零点，则球心 O 处的电势为：A0； B ；dq04C ； D 。 （D） Rq04)1(0R知识点 接地的影响与分析。分析与解答 依题意，导体球壳内表面有分布不均匀的q 电荷。对于球壳外表面，接地前，由于屏蔽，外表面会出现分布均匀的感应电荷+q，与图 6-1(b)相同；但接地后，球壳外表面将不再带电。根据电势叠加原理，球心 O 处的电
8、势210U其中 为点电荷 q 在 O 点处产生的电势 1U dq014为球壳内表面感应电荷q 在 O 点处产生的电势2RRqU0002 4d4d则球心 O 处的电势为 10二、填空题1一带电量为 q、半径为 R 的薄金属球壳， 内部充满相对介电常数为 的各向同性均匀电介r质，壳外是真空，则此球壳的电势为 ，其电容为 C = 。Uq04R04知识点 电势 U 和电容 C 的计算。分析与解答 由高斯定理 ，可知0dqSD当 时， ，则 Rrqr2424r由于壳外是真空，则 200qE则球壳电势为 RRrUdrRd420Rq0其电容 QC02一平行板电容器两极板间充满相对电容率为 的均匀电介质，其两
9、极板间电压为rx1 2 PA B图 6-9，电介质的厚度为 ，则电介质中电场能量密度的表达式为 V50Um5d ew20dUr，其值为 0.177 J/m3 。ew知识点 平板电容器的电场能量密度。分析与解答 平板电容器的电容为 dSCr0电容器电场能量为 20201UWr则电场能量密度为 2020dSdVwrre 代入 ， ， ， ，则)m/(NC1085220. 4rV50m5.3J7.e3如图 6-9 所示，一无限大均匀带电平面 A 附近放置一与之平行的无限大导体平板 B。已知带电平面 A 的电荷面密度为 ，则导体板 B 两表面 1 和 2 的感应电荷面密度分别为 和 12。2知识点 静
10、电平衡，场强叠加原理。分析与解答 设导体平板两侧感应电荷面密度分别为 ， 。12在导体板中任选一点 P，由静电平衡条件知 。即三个无限大带电平面在该点的场强迭0PE加为零。如图 6-9 选择参考方向，有（1）22010又由电荷守恒定理知 （2）21SS 为平面面积。二式相加得 01所以 ，2124如图 6-11 所示，半径为 R 的导体球 A，带电 Q，球外套一内半径为 R1、外半径为 R2 的同心球壳 B，设 r1、r 2、r 3、r 4 分别代表图中、区域内任一点至球心 O 的距离，则（1）若球壳 B 为导体时，各点电位移 D 的大小分别为：ABQ R1R2R O图 6-110 ； ； 0
11、 ； 。1D2D24rQ34D24rQ（2）若球壳 B 为相对电容率为 的介质时，各点电场强度 E 的大小分别为：0 ； ； ； 。1E2E20r3E2304r4240r知识点 D 与 E 的计算。分析与解答 （1）导体球 A 的电荷将均匀分布在其表面上，球壳 B 内外表面会由于静电感应有 -Q 和+Q 的电荷。在，四个区域分别作四个半径分别为 ， ， ，1r23的同心球形高斯面。由高斯定理可知4r 024dqrDS区域： R1 101E区域： 12r 224rQD2024QE区域： 31Rr0303E区域： 2244r2404r（2）若将导体球壳换成介质球壳，导体球 A 的电荷仍将均匀分布在
12、其表面上，而在 B 球壳上有极化电荷产生，则由高斯定理知：， 01D2432rQD故 、 、 形式不变，而 。 1E24 0Er三、计算题1莱顿瓶是早期的一种储电电容器，它是一内、外都贴有金属薄膜的圆柱形玻璃瓶。设莱顿瓶内半径为 ，玻璃厚度为 ，内外所贴金属膜高度为 。已知玻璃的相cm4Rm2r cm40h对电容率为 ，其击穿场强是 。如果不考虑边缘效应，试求：05.r V1057.kE（1）莱顿瓶的电容值；（2）它能储存的最大电荷量。分析与解答 （1）设内、外金属薄膜圆筒半径分别为 R1 和 R2，高度均为 h，其上分别带有电量PQR1R2ROr图 6-13+Q 和- Q。则由介质场中的高斯
13、定理得 hrQD2)(21Rr玻璃内的场强为 Er0内、外筒之间的电势差为 1200lnd2d21 2121 RhQrhrEUrR RrR 莱顿瓶的电容为 F8ln9120.hQCr（2）由莱顿瓶间场强分布知，圆柱形电容器两金属膜之间场强以靠近内膜处场强为最大，令该处场强等于击穿场强，即krEhRQE1012)(则 krmax C675.此即所能储存的最大电量。2如图 6-13 所示，半径为 、带电为 的导体球，球外套一个R内半径为 R1，外半径为 R2 的同心介质球壳（介质的相对电容率为 ） 。r试求：（1）电场强度的分布；（2）P 点的电势 ；PU（3）介质球壳中储存的能量。分析与解答 （1）由于电场分布具有球对称性，根据介质场中的高斯定理： ，SSiQ)(D内d有当 时，由于导体内电场强度处处为零，则 ；Rr01E当 时， ， ， ；1 QrD2424r204rQ当 时， ， ， ；12r22203r当 时， ， ， 。2Rr2424r204E（2）P 点的电势为 PUlEd即 rrdEURRrp2211 43= )(21104Qrr（3）能量密度为 230Ee在介质球壳中，取半径从 到 之间球壳的体积为体积元，则rddrV24介质球壳中储存的能量为 VeedwW )1(84)(2 2022001 RQdrrQrRr
