1、1第二章 静电场中导体和电介质一、 选择题1、 一带正电荷的物体 M，靠近一不带电的金属导体 N，N 的左端感应出负电荷，右端感应出正电荷。若将 N 的左端接地，则：A、 N 上的负电荷入地。 B、N 上的正电荷入地。C、N 上的电荷不动。 D、 N 上所有电荷都入地 答案：B2、 有一接地的金属球，用一弹簧吊起，金属球原来不带电。若在它的下方放置一电量为 q 的点电荷，则：A、只有当 q0 时，金属球才能下移 B、只有当 q0 B、E=0,U0,U0 B、q=0 C、qUA0 B、U BUA 0 C、U B=UA D、U BUB C、U A =UC C、 UBUC D、 UB UC答案：C3
2、0、一导体球外充满相对介电常数为 的均匀电介质,若测得导体表面附近场强为 E,则导体球面上的自由电荷面密度 为( )r A、 B、 C、 D、 答案:BE0Er0Er Er)(031、在空气平行板电容器中，插上一块较空气厚度为薄的各向同性均匀电介质板,当电容器充电后,若忽略边缘效应,则电介质 中的场强 与空气中的场强 相比较,应有( )0A、EE 0，两者方向相同 B、E=E 0，两者方向相同C、EU2 C、E 1E2， U1U2 D、E 1R1） ，若分别带上电量为 q1 和 q2 的电荷，则两者的电势分别为 U1 和 U2（选取无穷远处为电势零点） 。现用导线将两球壳连接，则它们的电势为
3、答案：U 27、在静电场中有一立方形均匀导体，边长为 a。已知立方导体中心 O 处的电势为 U0，则立方体顶点 A 的电势为 答案：U 08、A、B 两个导体球，它们的半径之比为 2：1，A 球带正电荷 Q，B 球不带电，若使两球接触一下再分离，当 A、B 两球相距为R 时， （R 远大于两球半径，以致可认为 A、B 是点电荷）则两球间的静电力 F= 答案： 2018RQ9、三个半径相同的金属小球，其中甲、乙两球带有等量同号电荷，丙球不带电。已知甲、乙两球间距离远大于本身直径，它们之间的静电力为 F，现用带绝缘柄的丙球先与甲球接触，再与乙球接触，然后移去，则此时甲、乙两球间的静电力为 答案：3
4、F/810、在一个带负电荷的金属球附近，放一个带正电的点电荷 q0，测得 q0 所受的力为 F，则 F/ q0 的值一定 于不放 q0 时该 点原有的场强大小（填大，等，小） 答案：大11、一金属球壳的内外半径分别为 R1 和 R2，带电量为 Q。在球壳内距球心 O 为 r 处有一带电量为 q 的点电荷，则球心处的电势为答案： 2012044RQRr12、分子的正负荷中心重合的电介质叫做 电介质，在外电场作用下，分子的正负电荷中心发生相对位移， ，形成 答案：无极分子；电偶极子13、一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常数为 的各向同性均匀电介质，这时两极板上的r电
5、量是原来的 倍；电场强度是原来的 倍；电场能量是原来的 倍 答案： ；1；rr714、一平行板电容器，充电后切断电源，然后使两极板间充满相对介电常数为 的各向同性均匀电介质，此时两极板间的电场强r度是原来的 倍；电场能量是原来的 倍 答案：1/ ；1/r15、电介质在电容器中的作用是：（1） （2） 答案：增大电容；提高电容器的耐压能力16、在静电场中，电位移线从 出发，终止 答案：正的自由电荷；负的自由电荷17、A、B 为两块无限大均匀带电平行薄平板，两板间和左右两侧充满相对介电常数为 的各向同性均匀电介质。已知两板间的r场强大小为 E0，方向如图，则 A、B 两板所带电荷面密度分别为 ；A
6、B答案： 34;200rr18、一平行板电容器中充满相对介电常数为 的各向同性均匀电介质。已知介质表面极化电荷面密度为 ，则极化电荷在电 r 容器中产生的电场强度的大小为 答案： 019、一平行板电容器始终与一端电压一定的电源相联。当电容器两极板间为真空时，电场强度为 ，电位移为 ，而当两极板0ED间充满相对介电常数为 的各向同性均匀电介质时，电场强度为 ，电位移为 ，则 答案： = ； =rED0r020、真空中，半径为 R1 和 R2 的两个导体球相距很远，则两球的电容之比 C1/C2= 。当用细长导线将两球相连后，电容 C= 。今给其带电，平衡后两球表面附近场强之比 E1/E2= 答案：
7、R 1/R2；4 ；R 2/R11021、一个大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为 m，带电量为+q 的质点，平衡在极板间的空气区域中，此后，若把电介质抽去则该质点 （填保持不动，向上运动，向下运动）答案：向上运动22、A、B 两个电容值都等于 C 的电容器，已知 A 带电量为 Q，B 带电量为 2Q，现将 A、B 并联后，系统电场能量的增量 = W答案：-Q 2/（4C）23、真空中均匀带电的球面和球体，如果两者的半径 和总电量都相等，则带电球面的电场能量 W1 与带电球体的电场能量 W2 相比，W 1
8、 W2（填,= ） 答案：0)，试求球上的感应电荷 q（设金属球远离地面及其他物体）（10 分）解： 金属球在静电平衡情况下是一个等位体，与地等电位，即 U=0。球心处的电位也为零，根据迭加原理知，球心上电位等于点电荷 q 及球面上电荷在 O 点的电位的代数和：电荷 q 在球心处的电位：（2 分）RU08球面上的电荷在球心产生的电位：设球面上某面元的电荷面密度为 ；上上2R4q2dS41dS000R 由迭加原理得: 分分800RqUq 讨论:q 的大小与 q 到球心的距离有关,当 q 很靠近球面时,即 q 到球心的距离约为 R 时,球面对点电荷 q 所在处而言,可视为无限大平面,因而有 q=q
9、6、证明静电平衡时导体表面某面元所受的力 ，单位面积受的力 式中nSEnSF21002 nEf2100是导体外部靠近导体表面处的场强.（12 分）E证:在静电平衡时,对任意导体上取一小面元 ,其面电荷密度为 ,如图所示.在导体内侧离小面元 极近一点 P,小面元 在该SS点产生的场强 可用无限大带电平面公式表示: = （2 分）,设导体表面除小面之外其余电荷在 P 点产生的场强为p2 p1n0,P 点的总场强是面上所有电荷在该点场强的总贡献,即 ,根据静电平衡条件知,在导体内部场强pE1 ppE21 0内E即: ,因 P 点是距 极近的点,所以小面元 外的其余电荷在 P 点与面分分 220012
10、1 nEpp SS元 所在处产生的场强是相同的,均为 , 小面元 所受的力:S0S单位面元所受的力上上上 2nSEF2En2nS2EF 00002 10为 （2 分）nE07、一导体球壳的内外半径分别为 a 和 b,带有电荷 Q0，腔内距球心 O 为 r 处有一点电荷 q。试求球心 O 处的电势（10 分）解：用高斯定理可证得：金属腔内表面 Sx 所带电量为-q，金属腔外表面所带电量为 Q+q， （2 分）球心 O 的电位：分分 4410000 baSSQqq drU分分 分 1414244 200000 000 bQarqbaqr ddSbaS8、如图所示，同轴传输线的内导体是半径为 R1
11、的金属直圆柱，外导体是内半径为 R2 的同轴金属圆筒。内外导体的电势分别为U1 和 U2，试求离轴为 r(R1rR2)处的电势（10 分）解：设外圆柱表面沿轴线单位长度上所带电量为 ，P 点是两圆柱体间距离轴线为 r 的任意一点，其场强 E= ，内外 r02柱体的电位差： （1）分分分 ln2;1ln22 12020011 RURdrR 内圆柱体与 P 点的电位差： （2）上3rlrU10rR0p11由（1） 、 （2）两式可得： 分ln)(ln2121101 RUrp 9、如图所示，平行板电容器两极板的面积都是 S，相距为 d，其间有一厚度为 t 的金属板，略去边缘效应。 （1）求电容 C（
12、2）金属板离极板的远近对电容有无影响？（3）设没有金属板时电容器的电容为 ，两极板间的电势差为 10v。当放FC60厚度 t=d/4 的金属板时，求电容及两极板间的电势差。 （12 分）解：（1）AC 间的电容等于 AB 间电容与 BC 间电容的串联，设 BC 间距离为 x分分分 2;1;1 0000 tdSxSdCxtdSC BCABAB （2）因为 C= 与 x 无关，所以金属板的位置对 C 无影响（2 分）t0（3） 上上上上 2)v(5.74310CUQ)F(8034dSC;1dS 000 1110、 三个电容器串联，电容分别为 8 ，8 ，4 ，其两端 A、B 间的电压为F12v，
13、（1）求电容为 4 的电容器的电量（2）将三者拆开再并联（同性极板联在一起）求电容器组两端的电压。 （10 分）解：（1）根据电荷守恒定律，三个串联电容上的电量相等： （2 分） FCAB上上 1C04Q)1(024102UCQ 63166AB （2）将三个电容器同性极边在一起后， （如图） （1 分） ，总电量： 分分 分 26.310272073521 66 VCQUFABAB 11、 两块“无限大”平行导体板，相距为 2d，都与地连接，在板间均匀充满着等离子气体（与导体板绝缘）离子数密度为 n,每个 离子带电量为 q。如果忽略气体中的极化现象，可以认为电场分布相对中心平面 OO是对称的，
14、试求两板间的场强分布和电 势分布（10 分）解：选 X 轴垂直导体板，原点在中心平面上，作一底面为 S，长为 2x 的柱形高斯面，其轴线与 X 轴平行，上下底面与导体板 平行且与中心平面对称，由电荷分布知电场分布与中面对称。设底面处场强大小为 E。应用高斯定理：分12200nqSxSE得 E= （2 分）方向如图所示（2 分） ，由于导体板接地，电势为零（1 分） ，所以 x 处的电势为nqx分分 2200 xdnqxdnqdUx 12、一厚度为 d 的“无限大”均匀带电导体板，单位面积上两面带电量之和为 ，试求离左板面距离为 a 的一点与离右板面距离 为 b 的一点之间的电势差（10 分）解
15、：选坐标如图。由高斯定理，平板内，外的场强分布为：E=0（1 分） （板内）E z= （板外） （4 分）02a、 b 两点间电势差 分分320200 abdxxdxEUbdabaa 13、假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径 R 的导体球带电（1）当球上已带有电荷 q 时，再将一个电荷元 dq 从无限远处移 到球上的过程中，外力作多少功？（2）使球上电荷从零开始增加到 Q 的过程中，外力共作多少功？（10 分）解：（1）令无限远处电势为零，则带电量为 q 的导体球，其电势为 U= （2 分）R04将 dq 从无限远处搬到球上过程中，外力作的功等于该电荷元在球上所具有的电势能 dA=dW=
16、(4 分)dqR04（2）带电球体的电荷从零增加到 Q 的过程中，外力作功为 A= （4 分）QqdA0028414、两根平行“无限长”均匀带电下、 、直导线，相距为 d ,导线半径都是 R（R d ） 。导线上电荷线密度分别为 和 ， 12试求该导体组单位长度的电容。 （10 分）解：以左边的导线上的一点作原点，X 轴通过两导线并垂直于导线，两导线间 x 处的场强为 E= （3 分）xdx002两导线间的电势差为 （4 分）RddRURd lnlnl212 000 设导线长为 L 的一段上所带电量为 Q，则有 故单位长度的电容LC= （3 分）RdQln015、在介电常数为 的无限大各向同性
17、均匀介质中，有一半径为 R 的导体球，带电量为 Q，求电场能量（10 分）解：由高斯定理可得：导体球内 E1=0（rR ） （2 分）球外介质中 （2 分）rE224则电场能量为 W=（2 分）)R8()2(rd)8(dr4)r(Q)(dV1W2R22Rv2v 上上16、在介电常数为 的无限大各向同性均匀电介质中，有一半径为 R 的孤立导体球，若对它不断充电使其带电量达到 Q，试通过充电过程中外力作功，证明带电导体球的静电能量为 W= （10 分）82证：设导体球上某时刻已带有电量 q，如果将一微小电量 dq 从无穷远处移到球上，则外力克服静电斥力需作功（2 分）RdrEdqrARR 422分
18、导体球从电量为零充到 Q 时，外力作总功为 A= （2 分）R8Qq20 上上述名力的功是外界能量转换为静电能量的量度，故导体球的静电能量为 W= （2 分）17、两金属球的半径之比为 1：4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能，若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？（12 分）解：因两球间距离比两球的半径大得多，这两个带电球可视为点时荷，设两球各带电量为 Q，若选无穷远处为电势零点，则两带电球之间的电势能为 （4 分）式中 R0 为小球半径，当两球接触时，电子电荷将在两球间重新分配，因02035W两球半径之比为 1：4，故两球电量之比 Q1：Q 2
19、=1：4，Q 2=4Q1 （2 分） ；但 Q1+Q2= Q1+4Q1=5Q1=2 Q（2 分）（2 分）当返回原处时，电势能为 W= （2 分）58;5221Q 10W56d418、空气中有一半径为 R 的孤立导体球，令无限远处电势为零，试计算：（1）该导体的电容；（2）球上所带电荷为 Q 时储存的静电能；（3）若空气的击穿场为 Eg，导体球上能储存的最大电荷值（12 分）13解：（1）设导体球上带电荷 Q，则导体球的电势为 U= （2 分） ；按孤立导体电容的定义 C=Q/U= （3 分）RQ04 R04（2）导体球上的电荷为 Q 时，储存的静电能 W=Q2/（2C ）=Q 2/ （3 分
20、）08（3）导体球上能储存 Q 时，必须空气中最大场强 E=Q/ Eg （2 分）因此，球上能储存的最大电荷值 （2 分）EgRM0419、两个同心金属球壳，内球壳半径为 R1,外球壳半径为 R2，中间是空气，构成一个球形空气电容器。设内外球壳上分别带有电荷+Q 和-Q。求：（1）电容器的电容；（ 2）电容器储存的能量。 （ 12 分）解：（1）已知内球壳上带正电荷 Q，则两球壳中的场强大小为 E= （3 分）204rQ两球壳电势差 U12= （3 分） ；电容 C=Q/U12（1 分） （2 210210421 RRrdER 120R4分）（2）电场能量 W= （2 分）10228C上20、
21、如图所示，平行板电容器两极板相距 d，面积为 S，电势差为 U，中间放有一层厚为 t 的电介质，相对电容率为，略去边缘效应，求：（1）电介质中的 E，D 和 P；（2）极板上的电量；（3）极板和电介质间隙中的场强；（4）电容器的电容。 （15 分）解：设空气中的场强为 E0， EtdtxtxU000由高斯定理可知，在两板间 处处相等rDE00;分 分分 分2)1( ;2)1(;)(200 000tdUEP tdUEttdDtdDttrrr rrrr rr （2）如图所示，作一柱形高斯面，由高斯定理可得： 分分 2)1(1000 tdSUDSQDrr（3）极板和介质间隙中的场强： （2 分） （
22、4）C= （2 分）tdUErr)(0 trr)(021、平行板电容器两极板相距 d，面积为 S，用电源给其充电，当电压为 U0 时，拆去电源，然后将介质板插入（其厚度为 t，相对介电常数为 r） ，求此情况下：（1）极板上的电量 Q（2）介质中的 E、D（3）两极板间的电位差 U 及电容 C（15 分）解：（1）极板上所带电量： （3 分） ；（2）用高斯定理求得： （3 分）dCQ00 dSQ0014介质中的 与空气中的 相等， 介质中的场强： （3 分） ；（3）空气中的场强DdUSQDEr0r0r0分 分分 31 21000tdSUQC tttdUtdEErr rrr 22、如图所示，
23、半径为 R1 的导体球带电是 q，在它外面同心地罩一金属球壳，其内外壁的半径分别为 R2 与 R3，已知R2=2R1，R 3=3R1，今在距球心为 d=4R1 处放一电量为 Q 的点电荷，并将球壳接地，试问：（ 1）球壳带的总电量是多大？（2）如用导线将壳内导体球与壳相连，球壳带电量是多少？（15 分）解：点电荷 Q 在球心 O 点的电位： （1 分）dUQ04S1，S 2， S3 三个面上的电荷对球心 O 点的电位贡献：（由高斯定理得 S2 现丰的总电上上 1R4qS;Rq4dU 2020S1010 2S21S1 量为-q）;根据电位迭加原理,球心 O 点的电位:3030SQ2S3 上上 上
24、上上 1Q43:1R4qRd41 1R4qdrUqQd1UU210230 210R200230SSQ0 21321 所以球壳带的总电量为: （1 分）4(2)内外球用导线相连时,仍用电位迭加原理计算球心 O 点的电位: 上上上 243:;20Qd;0Sd4Q30202 23、两个同心球壳，其间充满相对介电常数为 的各向同性均匀电介质，外球壳以外为真r空，内球壳半径为 R1，带电量为 Q1；外球壳内、外半径分别为 R2 和 R3，带电量是 Q2。 （1）求整个空间的电场强度 的表达式，并定性画出场强大小的径向分布曲线；（12 分）E（2）求电介质中电场能量 W0 的表达式；（3）若 ,103,1
25、02129 mRCr1R，计算上一问中的 W0 的值（已知 ）13085.mN解：（1）场强表示式15分 分分分 14 ;10;14;033021 323213012RrQE RrERrEr 分的 值 代 入 有和将 分分分 21098.16:,)3( 2142221 210121 JRQWR RQdrdVweRr24、证明：半径为 R 的孤立球形导体，带电量为 2Q，其电场能量恰与半径为 R/4，带电量为 Q 的孤立球形导体的电场能量相等（8 分）证：电场能量 讨论带电量为 Q，半径为 R1 的孤立球形导体：dVwee分都 可 得分或 令令分 分分分 1224/,2;8 83;3/1;4 0
26、11102 2240240220 11 RQWQQRQ rddrrErE CR 即两种情形电场能量相等25、一平行板电容器面积为 S，两极板间距离为 d，中间充满均匀电介质，已知当一板上自由电荷为 Q 时，整块介质的总偶极距为 ，求电容器中的电场强度（10 分）总P解：如图所示，整块介质的总偶极矩为 ，所以极化强度 （2 分） ，设 ， 是电介质上下两面的外法线，总 sdP总上n下（2 分） ，自由电荷激发的场强：nnPn下下上上 ,（2 分） ，极化电荷激发的场强： （2ABABrSQE00 AB0AB00BA0 rSdPrrE 上上上 分） 电容器中电场强度： （2 分）ABABdpQSd
27、PSQE 000 1总26、求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，已知极化强度为 ，如图所示（8 分）解：取球心 O 为原点，极轴与 平行的球坐标（1 分） ，由于轴对称性，表面上任一点 A 的P极化电荷面密度 只与 角有关（1 分） 。这也是 A 点外法线 与 的夹角，故 = =Pcos （2 分）,这表明：在nPn右半球 为正，左半球 为负（2 分） ；在两半球分界面上， 处 =0；在 处，则最大（2 分） 2与027、图中沿 X 轴放置的介质圆柱，底面积 S，周围是真空，已知介质内各点极化矢量 （k 为常数） （1）求圆柱两底面上ix的极化电荷面密度 和 ；（2）求出圆柱内体电荷密度 （8 分）ab 解：（1） = 分分 20cos;2cos kbPnkaPn bb 16(2)由定义得： 分分 2)(2kSdxSdxpPSd
