1、学而思教育学习改变命运！ 南京高考网 nj.gaokao. com学而思教育学习改变命运！ 南京高考网 nj.gaokao. com抽象函数问题的“原型”解法抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，
2、对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如()0)fxk有 121212()()()fxkxfxf可抽象为yfy。那么 = 就叫做抽象函数 (满足的“原型” （函数） ，分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般 均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相 同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型” （ 函数）并举例说明 “原型”
3、解法。来源:学,科,网一、中学阶段常用抽象函数 ()fx的“原型” （函数）1、 ()()fxyfy k( 为常数）2、 =a（ 0 且 1）3、 log ( 0 且 a1)4、 ()()ff nx( 为常数）5、 2)2yxyf或 )()2()fyfxfxy =cos( 为常数）6、 )(1fxffy =tan二、 “原型”解法例析来源:Z+xx+k.Com【例 1】 设函数 ()f满足 ()2()(2xyfff，且 f( 2)=0， x、yR；求证： x为周期函数，并指出它的一个周期。来源:学_科_网分析与简证：由 ()()(fyff来源:学&科&网想： 12cos=2cos 21xcos
4、 21原型： y= x，为周期函数且 2 为它的一个周期。猜测： ()f为周期函数，2 为它的一个周期令 1x= +， 2= 则 ()(2)(2ffxff=0 ()ffx 为周期函数且 2 是它的一个周期。【例 2】 已知函数 ()f满足 1()()fxfx，若 (0)4f，试求 f(2005)。学而思教育学习改变命运！ 南京高考网 nj.gaokao. com学而思教育学习改变命运！ 南京高考网 nj.gaokao. com分析与略解：由 1()()fxfx想： tan( + 4)= tan原型： y= x为周期函数且周期为 4 4=。来源:学科网 ZXXK猜测： ()f为周期函数且周期为
5、41=4 1()2fxfxf= )(1)(xff=- 1f (4)()2()ff ffx( +4)= ()f x是以 4 为周期的周期函数又f(2)=2004 1(04)(205)()2fff=1()f= 204=- 53f(2005)=- 3 【例 3】 已知函数 ()fx对于任意实数 x、 y都有 ()()fxyfy，且当x0 时， 0， (-1)=-2，求函数 )在区间-2，1上的值域。分析与略解：由： ()yf想： k( + y)= +k原型： x（ 为常数）为奇函数。 k0 时为减函数， k0 时为增函数。猜测： )f为奇函数且 ()fx为 R 上的单调增函数，且 ()fx在2,1上
6、有()fx4,2设 10 f( 2x 1)0 ()fxf= 1)()ff= 21()fx0来源:Z&xx&k.Com 21f, (为 R 上的单调增函数。令 = y=0,则 f(0)=0,令 y= x，则 f( x)= ()f来源:学科网 ZXXK ()fx为 R 上的奇函数。 (-1)=- (1)=-2 f(1)=2， (-2)=2 (-1)=-4-4 2(x-2,1)故 ()f在-2, 1上的值域为 -4，2【例 4】 已知函数 ()fx对于一切实数 x、 y满足 f(0)0， ()()fxyfy，且当 x0 时， 1（1）当 0 时，求 的取值范围（2）判断 ()f在 R 上的单调性分析
7、与略解：由： )()fxyfy想： xyya学而思教育学习改变命运！ 南京高考网 nj.gaokao. com学而思教育学习改变命运！ 南京高考网 nj.gaokao. com原型： y= xa（ 0, a1） ， 0=10。当 a1 时为单调增函数，且 x 0 时，1， 0 时，0 1 ；0 1 时为单调减函数，且 x0 时， y1， 0 时，0 1。猜测： ()f为减函数，且当 x0 时，0 ()f1。（1）对于一切 x、 yR， ()fyxy且 f(0)0令 x= y=0，则 f(0)=1，现设 0，则- 0，f(- x) 1又 f(0)= ( - )= f=1 (f= f 10 )1来
8、源:学#科#网 Z#X#X#K（2）设 x 2， 、 2xR，则 1 2x0， ( 1 2x)1 且)()()(121 ffff 1 2， f(x)在 R 上为单调减函数【例 5】 已知函数 fx定义域为(0,+)且单调递增，满足 f(4)=1，【例 6】 ()()fyy（1）证明： (1)=0；(2)求 f(16)；（3）若 ()fx+ ( -3)1，求 x的范围；（4）试证 f( n)= （nN）分析与略解：由： )()fxf想： logllogaaayy（ x、 R +）原型： （ 0， 0）猜测： ()fx有 f(1)=0， f(16)=2，（1）令 =1， y=4，则 (4)= (1
9、4)= f(1)+ (4) f(1)=0（2） (16)= (44)= (4)+ (4)=2(3) ()f+ ( 3)= f x( 3)1= (4)来源:学科网x在（0，+）上单调递增来源:学科网 34143xx x（3，4（4） ()()fyfy nnxfx个【例 7】 已知函数 ()f对于一切正实数 、 y都有 ()()fxfy且 x1 时，()fx1， (2)=9(1)求证： ()f0；（2）求证： 11()(fxf（3）求证： x在（0，+）上为单调减函数（4）若 m=9，试求 的值。分析与简证：由 ()()fyfy，想： 1212()n学而思教育学习改变命运！ 南京高考网 nj.ga
10、okao. com学而思教育学习改变命运！ 南京高考网 nj.gaokao. com原型： nyx（ 为常数（ y= 2x）猜测： ()f0，在（0，+）上为单调减函数，(1)对任意 0， ()f= )= 2()fx0假设存在 0，使 =0，则对任意 0()fx=f( fy= xfy=0，这与已知矛盾故对任意 0，均有 ()0（2） ()1(ff， )fx0, f(1)=1 x( )= f( x )= (1)=1 11()x(3) 1、 2(0,+)，且 1 2，则 1x1， f( 12)1，来源:学科网 11()()(fxfff 即 2xf 在（0，+）上为单调减函数。（4） f(2)=9， f(m)=9 f(2) (m)=1 (2 )=1=f(1)，而 )x在(0，+)是单调减函数2 m=1 即 = 21综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本（原型）函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函 数可能具有的性质 “抽象具体抽象”的“原型”联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性。来源:学*科*网
