1、函数 的定义域为 ，则其图像为：fxD,|,xyfxD1，若把这个图像向左平移 个单位，得到新图像为：a|,yfxa简单说明：新图像上任取点 ，向右平移 个单位得到 ，这个点在 图,xya,fx像上，所以 yf向右、上、下平移函数图象情况类似，请自己给出2，若把 图像按照直线 作一次对称，得到新函数为fxxa2yfax简单说明：新图像上任取点 ，按照直线 作一次对称得到点 ，这个,yxa,y点在 图像上，所以fx2f按照直线 作对称类似，请自己给出ya需要指出的是，不能按照任意直线作对称得到新函数，因为新的图像不一定是函数图像（实际上那是方程的图像） ，另外，按照直线 作对称得到的是反函数，当
2、然前提是该yx函数存在反函数。3，若把 图像按照点 作对称，得到新函数fx,ab2bfa简单说明：新图像上任取点 ，按照点 作对称，得到点 ，这个xy,a,2xby点在 图像上，则 ，整理得fx2fyf4，若把 图像在水平方向上作伸缩，横坐标都变为原来的 倍（ ） ，纵坐标不变，a0那么得到新函数图像是 xyfa简单说明：新函数图像上取点 ，变回去 ，这点在 图像上，所以,xyafxxyfa至于竖直方向的伸缩，请自己给出华丽的分割线下面是函数图像本身的对称性5，如果一个函数向左平移 个单位与原图像重合，即 是一个周期，那么按照第 1 条，aa这个新函数与原函数 重合，也就是说：yfxayfxf
3、xaf6，如果一个函数有一条对称轴 ，那么按照第 2 条到的新函数 与原函2y数是同一个，也就是说： ，至于类似 这样的条件，2faxffaxfb改写一下是非常显然的7，如果一个函数有一个对称中心 ，那么按照第 3 条， 与原函数,b2yfax是同一个函数，也就是说： ，类似 6，这个条件也可以作适当改写2fxfax8，出于好奇，我们来看看当 时函数会如何，显然，它会成为常函数ff分割线路过另外一类常见的变换是关于绝对值的9，把函数 的图像在 轴下方部分全部作对称到上方，上方部分不变，得到新函数：fx，这是显然的，去掉绝对值讨论一下就行y10，把函数 的图像在 轴右边部分全部作对称到左边，左边
4、部分不变，得到新函数：fxy，这也是显然的去掉绝对值讨论一下就行y分割线再次路过11，另外补充的是半周期，如果 或者 ，那么 是半周fxafx1fafxa期，证明是容易的，请自己给出。另外我们可以知道，反推是不成立的，半周期可以有其它写法。一般的写法是 ，且fgfg分割线继续路过关于抽象函数，除了图像外，还有一类题，如果能记得一些具体模型，会有一些好处。当然，不要满足于这几类，只有找到本质才能解决新题。表格放在最后。分割线坚持路过例 1：（第 7 届希望杯）函数 的值域 ，则 的值域为 ()fx1(,4()2()gxffx例 2：（第 5 届希望杯）定义为 的函数 ，对任何 ，都有 ，则 R(
5、)fx,abR()fab2(194)f例 3：设 是 上的不减函数，即对于 有 ，且满足：()fx0,1 120x12()fxf（1 ） ；（2） ；（3） ，则 (0)f1()()2xff(1)()fxf1()205f例 4：（第 4 届希望杯）设奇函数 的定义域为 ， ，且对任意 ，都有()yfxR(1)2f12,xR，当 时， 是增函数，则函数 在区间121(fx2f0xf 2()yfx上的最大值是 3,2抽象函数的单调性例 5：（第 14 届希望杯）奇函数 在区间 上是增函数，在区间 上的最大值为 8，最小值为 ，()fx3,73,6 126例 6：设 是定义在 上的增函数，且 ，若
6、，则()fxR()()xffy(3)1f成立的 的取值范围是 125fx3抽象函数的奇偶性例 7：（第 6 届希望杯）是定义在 上的奇函数，它的最小正周期为 2，则()fxR12(3)(195)ffA、1 或 0 B、1 或 C、0 D、1 例 8：（第 4 届希望杯）函数 的定义域是 ，函数 ，已知 ，则 ()fxR()2()gxffx(5)3g(5)g4抽象函数的周期性例 9：（第 12 届希望杯）定义在实数集上的函数 ，满足 ，则()fx1()()fxfx的值为 20).3(2)1(fff例 10：（第 12 届希望杯）定义在 上的非常数函数，满足（1） 为偶函数；（ 2） ，R(10)
7、fx(5)()fxf则 一定是（ ）()fxA 、是偶函数，也是周期函数 B、是偶函数，但不是周期函数C、是奇函数，也是周期函数 D、是奇函数，但不是周期函数 补充练习题1函数 是定义在 上的实函数，它既关于 对称，又关于 对称，那么()fxR5x7x的周期是（ ）f（A） （B） （C） （D） 4222 已知定义域为 R 的函数 在区间 上为减函数，且函数 为偶函数，xf,88xfy则（ ）（A） （B ） （C） （D）76f96f97f107f3 定义在 上的函数 既是奇函数，又是周期函数， 是它的一个正周期.若将方程R)(xf T在闭区间 上的根的个数记为 ，则 可能为（ ）0)(x
8、f T,n数学试卷 第 4 页共 6页（A）0 （B）1 （C）3 （D）5 4定义在 上的函数 ，它具有下述性质：（1）对任何 ，都有R()yfxxR；（2）对任何 ， ，都有 则3()(fxf2,R12x12()ff的值为（ ）01)（A）0 （B）1 （C） （D）不确定5已知函数 是定义在 上的偶函数，且满足 ，当 时，)(xfR(1)(3fxf0,1x，则 ()2fx205.)6 （第 5 届希望杯）函数 是定义域为 的奇函数，且为增函数， ，则实数()f1, 2(1)()0faf的取值范围是 a7定义在 上的函数 ，恒有 若 ，那么R()fx()()fxyfy(6)4f(203)f
9、8已知函数 的定义域为 ，并对一切实数 ，都满足 ()yfxRx(2)()fxf（1 ）证明：函数 的图像关于直线 对称；2（2 ）若 又是偶函数，且 时， ，求 时的 的表()fx0,x()1fx4,0x()fx达式9 （ 2005 年广东高考） 设函数 在 上满足 ，)(xf),)2()(xff，且在闭区间 上，只有 )7()(xff0,703(1f（1 ）试判断函数 的奇偶性；(fy（2 ）试求方程 在闭区间 上的根的个数，并证明你的结论 )x25,抽象函数满足条件 代表函数1 1212()()fxfxf（ ）()fxk021212()()fxfxf（ ）()xfa,131122()()xfffx（()logafx）0,14 112ff ()afx5 12()()()xxfxf cos6 1)()ff()tan4xf7 1212()xfxff 1()logafx8 ()()ffx或lafx1()
