1、2012AAA 数学模拟试题一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1 已知 P 为三角形 ABC 内部任一点（不包括边界） ，且满足 ，()(2)0PBAPC则ABC 一定为( )A直角三角形；B. 等边三角形； C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形2圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形，O 为底面中心，M 为 SO 的中点，动点 P 在圆锥底面内（包括圆周） 。若 AMMP ，则 P 点形成的轨迹的长度为_A. B. C. 3 D.7723.设有一个体积为 54 的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则
2、所作四面体的体积为_A.1 B. 2 C. 3 D. 44. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数 n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0n1 中的任意一个数。如果初始时显示 2011，反复按这个按键使得最终显示 0，那么这个过程中，9、99、999 都出现的概率是 A . B. C. D.1 104 1 105 1 106 1 1075已知 ，直线 与,R1sinsincoxy1sincosxy的交点在直线 上，则 。yA.0 B.1. C-1 D.26设 ，则 。lglglg11()248xxxf()_fxA 1 B 2 C 3 D 47 已知 ，则 cos454sincos
3、A 4/5 B 3/5 C1 D -4/58顶点在同一球面上的正四棱柱 中， ，则 两点间A12AB， AC，的球面距离为（ ） A B C D249. 在平面直角坐标系内，将适合 且使关于 t 的方程,3,xy没有实数根的点 所成的集合记为 N，则由点集 N 所成区3421()()0xytxyt(,)域的面积为 。A 81/4 B 83/4 C 81/5 D 83/510. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线 l 交椭圆于点2143P、Q ，则 F1PQ 内切圆面积的最大值是 A B C D 2516 925 1625 916二、解答题:解答应写出文字说明、
4、证明过程或演算步骤。（一） 设 若 时， ，且 在区间 上的最2()(,)fxbcR2x ()0fx ()fx2,3大值为 1，求 的最大值和最小值2bc（二） 、已知椭圆 C： （ ） ，其离心率为 ，两准线之间的距离为 。21xyab0a4525（1）求 之值；,（2）设点 A 坐标为(6, 0)，B 为椭圆 C 上的动点，以 A 为直角顶点，作等腰直角ABP（字母 A，B，P 按顺时针方向排列） ，求 P 点的轨迹方程。三.（本小题满分 25 分）已知数列a n中的相邻两项 a2k-1，a 2k 是关于 x 的方程 x2（3k+2 k）x+3k2 k =0的两个根.（1）求数列a n的前
5、 2n 项和 S2n.（2）记 f（n）= 21（ si|+3） ，T n= 21)(-f）（+ 43)(-f）（+ 65)4(1-f）（+ nfa21)(-）（，求证： 61Tn45（nN +）四、已知椭圆 过定点 A（1，0） ，且焦点在 x 轴上，椭圆与曲线 的交点为2byax yxB、C。现有以 A 为焦点，过 B， C 且开口向左的抛物线，其顶点坐标为 M（m，0） ，当椭圆的离心率满足 时，求实数 m 的取值范围。132e五、已知从“神八 ”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 ，某植物研究所进行该种子的发芽31实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。假定某次实验种
6、子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所共进行四次实验，设 表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值（1）求随机变量 的数学期望 E ；（2）记“关于 x 的不等式 的解集是实数集 R”为事件 A， 求事件 A 发生的概率 P（ A） 。012x2012AAA 数学模拟试题注：此系转摘整理的参考答案1 解：因为 ，所以已知条件可改写为,2PBAPCBA。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D。()0ABC2 解：建立空间直角坐标系。设 A(0,-1,0), B(0,1,0), , ，P( x,y,0).于是有(0)3S(0,)32M由
7、于 AMMP，所以 ，即 ，此(,1)(,).233MPxy,12xy4y为 P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为 。 因此 选 B。7()43. B 4 答： 610若计算器上显示 n 的时候按下按键，因此时共有 1n1 共 n 种选择，所以产生给定的数 m 的概率是。如果计算器上的数在变化过程中除了 2011，999，99，9 和 0 以外，还产生了 ，则概率n 12,na为 ，所以所求概率为12109na 1219npa100098 198 注意到 1 1202098 两式相除即得 。61p5解：由已知可知，可设两直线的交点为 ，且 为方程 ，0(,)x,insco001sinc
8、osxtt的两个根，即为方程 2 0sin(cois()ittx的两个根。因此 ，即 0。sinco)i6解： 。lglglglglglg1111() 348248xxxxxxfx 7 458 B9. 答： 815令 ，原方程化为 2ut321()()0.xyuxy231(3)4()55().xyyx所给方程没有实根等价于方程无实根或有实根但均为负根，所以，或,3,(5)(0xyxy,3,(5)(0,.yxyx点集 N 所成区域为图中阴影部分，其面积为1248136.55ABOCS10. 答： 96因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的 2 倍，且F 1PQ 的周长是定值 8，所以只
9、需求出F1PQ 面积的最大值。设直线 l 方程为 ，与椭圆方程联立得 ，设1xmy234690my， ，则 ， ，于是,Pxy2,Qxy1263429y。121134FSy 因为 ，所以内切圆半径222216349591mm，因此其面积最大值是 。18FPQSr6二、解答题（一） 解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且 在区间 上的最大值只能在闭端点取得，()fx2,3故有 ，从而 且 (2)31ff 5b 38cb若 有实根，则 ，0x240在区间 有 即 消去 c，解出,(),2,fb ,b 4,5,b 即 ，这时 ，且 4bc0若 无实根，则 ，将 代入解得 ()0fx240bc38b
10、4b综上 54b 所以 ，单调递减22(38)164c故 2minmax(),7注重分类讨论（二） 、解：（1）设 c 为椭圆的焦半径，则 。于是有 a5，b3。2,54ac（2） 解法一：设 B 点坐标为 ，P 点坐标为 。于是有(,)st(,)xy6(6)ABstAPxy（ ， ） , ， 。因为 ，所以有 。 (A1 )(6)0stsxty（ ， ） ，又因为 ABP 为等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 。 (A2 )226（ ） （ ）由（A1）推出 ，代入（A2） ，得 2()6)ttsxxtx（ ）从而有 ，即 （不合题意，舍去）或 。 22y（ ） sysy代入椭圆方程，即
11、得动点 P 的轨迹方程226195（ ） （ ） 。解法二： 设 0, ，则以 A 为圆心，r 为半径的圆的参数方程为 。(),xB6cosinxry设 AB 与 x 轴正方向夹角为 ，B 点的参数表示为 ，1cosinxryP 点的参数表示为 .06cos(9)6,sinrry即从上面两式，得到 。1x又由于 B 点在椭圆上，可得 。22(6)()195y此即为 P 点的轨迹方程。三.（I）解：方程 2(3)20kkxxA的两个根为1k， ， （5 分）222nnSa 263)()nn 13 （10 分）() 证明：(1)1234562fnnTaa，所以 126Ta， 213452Ta （1
12、5 分）当 3n 时， ()45621fn 345621naa2316nA 6nA， （20 分）同时，(1)56782fn nTaa 567821naa312492nA 549A综上，当 N时， T （25 分）四、解：椭圆过定点 A（1，0） ，则 ,1,2bca,12be ， 。32e3b由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线 的交点，就必过椭圆与射线)0(xy的交点。)(xy联立方程 ，解得 。1)0(2by21bx ， 。30设抛物线方程为： ， 。)(2mxpy,0又 ， 1p)(1把 ， 代入得 ， ， 。x0 0)1(42 mx21x令 ， ， ，)(4)()(2xf 2 在
13、内有根且单调递增，1, 0)1(4)(2)0(mf 4301或 m综上得： 。31五、 （1）由题意知 的可能取值为 0，2，4指的是实验成功 2 次，失败 2 次.”0“81)3(1)(24CP指的是实验成功 3 次，失败 1 次或实验成功 1 次，失败 3 次.840)3()()( 44指的是实验成功 4 次，失败 0 次或实验成功 0 次，失败 4 次.”4“817)3()1()( 4CP820E故随机变量 的数学期望为 .1（2）由题意知：“不等式 的解集是实数 R”为事件 A.02x当 时，不等式化为 10，其解集是 R，说明事件 A 发生；0当 时，不等式化为，所以解集是 R，说明事件 A 发生；4当 时，不等式化为 其解集 ， 0)12(0142 xx 21xR说明事件 A 不发生. 864)()0() PP
