1、第 1 页（共 8 页）第十二讲 等腰三角形的判定由于等腰三角形有丰富的性质，这 些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等， 实际解题中 的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1 “角平分线+平行线”构造等腰三角形；2 “角平分线+垂线”构造等腰三角形；3用“垂直平分线”构造等腰三角形；4用“三角形中角的 2 倍关系”构造等腰三角形例题求解【例 1】 如图，一个六边形的 6 个内角都是
2、120，其连续四边的长依次是 1、9、9、5，那么这个六边形的周长是 cm(“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 设法将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决，六边形的外角都为 60，利用 60构造等边三角形是解本例的关键注 证明线段相等是最基本的几何问题，目前常用证法有：(1)若两线段属于两个三角形，则考虑证对应的三角形全等；(2)若两线段是同一个三角形两边，则考虑用等角对等边证明；(3)寻找中间线段，通过等 量代换证明类似的，我们可以对证明角相等、等边三角形的判定作归纳总结不同形状的几何图形之间可互相转化，向外补形与对内分割是基本的两种转化方式 第 2 页（共 8 页）【例 2】 如图
3、，已知 RtABC 中，C=90，A=30，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的 P 点有( )A2 个 B4 个 C6 个 D8 个(江苏省竞赛题)思路点拨 AB 既可作等腰三角形 PAB 的腰，也可作为等腰三角形 PAB 的底，故要思考全面，才能正确地得出符合条件的 P 点的个数【例 3】 如图，ABC 中，ADBC 于 D，B=2C，求证：AB 十 BDCD(天津市竞赛题)思路点拨 如何利用条件B=2C?又怎样得到 AB+BD?不同的思考方向，会找到解题的不同方法 【例 4】 如图甲，点 C 为线段 AB 上一点，ACM、CBN 是等边三角形，直线
4、AN、MC 交于点 E，直线 BM、CN 交于点 F(1)求证：AN=BM；(2)求证：CEF 是等边三角形；(3)将ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转 90，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然 成立(不要求证明)(荆门市中考题)思路点拨 图甲中有多对全等三角形，这是解(1)、(2)问的基础注 若仅将题中的条件A30改为A=45，则符合条件的点有几个?若将题中的条件A=30，改第 3 页（共 8 页）为A30，A45，则符合条件的 P 点有几个?请读者思考分折法(执果溯因)，综合法(由因导果)是两种最基本的分析方法处理题设条件中的“两倍角”的基本
5、途径是：(1)向外构造等腰三角形； (2)对内作角平分线 【例 5】 如图，在五边形 ABCDE 中，BE，C=D，BC=DE，M 为 CD 中点，求证：AMCD (武汉市选拔赛试题)思路点拨 证明AMC=90或应用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作辅助线将五边形问题恰当地转化为三角形问题是解本例的关键学历训练1如图，在ABC 中，B、C 的平分线相交于 O点作MNBC，EFAB，GHAC，BCa，AC=b，ABc，则GMO 周长+ENO 的周长FHO 的周长 2如图，ABC 中，AB=AC，B=36，D、E 是 BC 上两点，使ADE=AED=2BAD，则图中等腰三角形共有 个3如图，AB
6、C 中，AD 平分BAC，AB+BD=AC，则D：C 的值= （“五羊杯”竞赛题）4如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于 E 点，若 AC 平分DAB，且 AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：ACBD；BC=DE；DBC= 21DAB；ABE 是等边三角形请写出正确结论的序号 (把你认为正确结论的序号都填上) (2002 午天津市中考题)第 4 页（共 8 页）5如图， 在ABC 中，BAC=106 ，EF、MN 分别是 AB、AC 的中垂线，E、M 在 BC 上，则EAM 等于( )A58 B3 2 C 36 D346如图，在ABC 中，B2C，则 AC 与 2AB
7、 之间的关系是( )AAC2AB BAC2AB CAC2AB DACAB+ACCPA+PB+PC=AB+AC DPA+PB+PC 与 AB+AC 的大小关系不确定，与 P 点位置有关19如图，在ABC 内，BAC=60，ACB=40，P、Q 分别在 BC、CA 上，并且 AP、BQ 分别为BAC、AB C 的角平分线求证： BQ+AQ=AB+BP(2002 年全国初中数学竞赛矗)20，如图，在ABC 中，AB=AC，ABC60，ABD=60，且ADB=90一 21BDC，求证：AC=BD+DC (天津市竞赛题)21如图，在ABC 中，BAC=90，ABAC，D 是ABC 内一点，且DAC=DC
8、A=15，求证：BDBA22在平面内确定四点，连接每两点， 使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形)，且每两点之间函线段长只有两个数值，则这四点的取法有多少种?画图说明(潍坊市中考题)23 （1）如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，ABD=60，BCD=120，证明：BC+DC=AC(2) 如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC=60，P 为四边形 ABCD 内一点，且APD=120，证明：PA+PD+PCBD (江苏省竞赛题)第 7 页（共 8 页）24如图，等边三角形 ABD 和等边三角形 CBDD 的长均为 a，现把它们拼合起来，E 是 AD 上异于 A、D 两点的一动点，F 是 CD 上一动点，满足 AE+CFa(1)E、F 移动时，BEF 的形状如何?(2)求BEF 面积的最小值第 8 页（共 8 页）
