1、一元微积分 xc 第 - 1 - 页 2019-4-3- 1 -考研高等数学第一轮复习1.1.函数的性质1.1.1. 单调性1.1.2. 奇偶性 0()2()aaafxffx奇 函 数 ：偶 函 数 ：奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数 0F()(),F()Cxftdfxft有 ： 是 奇 函 数 是 偶 函 数 是 任 意 实 常 数 )是 偶 函 数 是 奇 函 数 =0Exa:()(,)(0,()()0 ,0)xfxffxfxf是 奇 函 数 ， 当 推 出 ： 在 上 是单 调 递 增 的 ， 并 且 是 偶 函 数 上 单 调 增 ）所 以 :时 ，1.1.3. 周期性 定义
2、 方法：定义，间接发 性质：一个周期函数在 n 个周期上面的积分=在一个周期上积分的 n 倍，与起点无关020()()()()anTTTTfxdfxfxfx一元微积分 xc 第 - 2 - 页 2019-4-3- 2 -0()(), ()aTTfxdfxttadt证 ：令 左 式 00F()()xTftdFxTf如 果 ： 函 数 f周 期 为 ,且那 么 ：Exa: 0f()(,xftdTT/2-若 是 连 续 的 奇 函 数 。问 ： =是 周 期 为 的 函 数 吗 ？答 ： f()f()是设函数 f(x)的周期是 T:00()()limxTftdfx证明：（不能使用洛必达法则，使用夹逼
3、准则） (1)000000()(1()()(),1.nTxnTTxTftdftftdftftftnnnx设 ： 证 毕Exa1: 00sisi2lmxtdt1.1.4. 有界性判断方法：定义，不等式放大与缩小间接法：函数的有界性和单调性一样，需要相对某个区间而言，当然这个区间肯定是定义域的子集，函数的连续性也是一样，首先是某点连续，闭区间连续是指区间内的每点连续，端点处是左连续和右连续。连续的 3 要素;首先是该点必须要右定义，其次函数在该点的极限存在并且等于函数在该点的值一元微积分 xc 第 - 3 - 页 2019-4-3- 3 -0xf() a,bf(x)af() ,blimf()=x0
4、在 区 间 【 】 上 连 续 在 这 个 区 间 上 有 界在 区 间 （ ） 上 连 续 ， 函 数 在 点 的 右 极 限 存 在 ，b点 的 左 极 限 存 在 在 区 间 （ ） 上 有 界在 含 区 间 上 无 界无穷大量和无界量的区别和联系：1、 区别：无穷量是特殊的函数，是一个变量，当自变量趋于某个数或者无穷大，极限趋于 0 或者无穷大，而无界量根据定义，无界即没有上界和下界，对于任何整数 M，在定义域的某个定义区间，总存在 x1,|f(x1)|M。2、 联系：3、 例题：一元微积分 xc 第 - 4 - 页 2019-4-3- 4 -()sin,():.C.D()sin,i(
5、)2i0()i(2)2Bxsin(2)f()=1fxxfxABfxxfxnf n:当 时 ， 是无 界 量有 界 量无 穷 小 量解 ： 对 于 函 数 由 于 是 周 期 函 数 ， 将 之 改 写 成 ：当 很 大 时 ， 也 很 大 ， 但 是 f(x)趋 于 0。若 改 写 成 ： ， 当 很 大 时 ，也 很 大 ， 但 是 趋 于 。 选210201,A.,0().,23sin()x(,)f=-,1i3-ilim,lfx84sn()x(,)fi2li=,lfx4x(BCD以 下 有 界 区 间 是 ：本 题 考 查 开 区 间 的 有 界 性 。 连 续 ，不 存 在22sn(),
6、)fsi()(2,3)f=1x同 理同 理一元微积分 xc 第 - 5 - 页 2019-4-3- 5 -1.1.5. 连续性与间断点Exa:00 000x 0xxx,()(0)x0()2lim()3li()fli()li()xfxfgfff0f=如 果 是 奇 函 数 ， 且 存 在 ， 问 ：是 的 那 一 类 间 断 点 ？分 析 ： 是 函 数 f间 断 点 的 3个 充 分 条 件 ：1、 没 有 定 义 。、 有 定 义 ， 但 是 不 存 在 。、 有 定 义 ， 存 在 ， 但 是 。判 断 类 型 ： 、 存 在 ，如 果 ： =000x000li()li()lim()lil
7、im(0)xxxffgf为 可 去 间 断 点 （ 第 一 类 ）为 跳 跃 间 断 点 （ 第 一 类 ）非 第 一 类 间 断 点 即 第 二 类 间 断 点 ， 有 无 穷 间 断 点 和 震 荡 间 断 点解 答 ：在 =没 有 定 义 。f()f()-存 在 ， 所 以是 的 可 去 间 断 点 。1.2.极限1.2.1. 极限的定义 0lim|xx0 0函 数 极 限 的 定 义 ： f(x)在 U有 定 义 ， 对 一 任 意 该 定 的 正 数， 不 管 它 有 多 小 ， 总 存 在 ,)使 得 |f(x)-A|f()=AU,1.2.2. 极限的唯一性一元微积分 xc 第 -
8、 6 - 页 2019-4-3- 6 -1.2.3. 极限的局部保号性0x00lim()(1),()()0()2,)fAUffxAffx若 ： 00 0000 0000 ():() lim2() ()lim(,(),(), nn nxn fexaffxfxUnfxx 在 某 邻 域 内 连 续 ， 且讨 论 在 处 的 极 值 。解 ：为 奇 数 ，为 偶 数 ， 00(),()nfxnx为 任 意 整 数 ，所 以 ： 为 奇 数 时 ， 不 是 极 值 点为 偶 数 时 ， 是 极 小 值 点注 ： 本 题 关 键 ： 去 极 限 符 号 ， 用 保 号 定 理分 n的 奇 偶 性 ， 极
9、 值 的 讨 论 方 法112222:(),()0,()0,0.()()lim,(,),() ,0xabexafbfabfabfff xfxfaf bb:连 续 ，求 证 ：证 明 ： 不 妨 设 那 么零 点 定 理 得 结 论 ， 需 记 住 此 结 论一元微积分 xc 第 - 7 - 页 2019-4-3- 7 -000()exa3:()()lim1|()lim1,(,)(0,()|(),()()0(4:()limxxxffff Ufxffffxxffea连 续 ,且讨 论 在 的 特 殊 点 情 况 。分 析 ： 存 在 在 内因 此 是 的 极 小 值 点连 续 ,且 00)1()
10、()li1,(,0();)()xf fxUfxf 讨 论 在 的 特 殊 点 情 况 。分 析 ： 存 在 在 内显 然 ： ,-根 据 拐 点 的 判 断 条 件 ： 一 阶 导 数 单 调 性 改 变 的 点 是 f()的 拐 点 。单 调 性 改 变 的 点 是 f的 极 值 点 。1.2.4. 极限存在的条件极限存在的充要条件是函数在该点的左右极限存在且相等，但是与函数在该点是否定义，或者是否等于函数在该点的值没有关系。P63Exa:0002cos()f()lim(),in3()li2cos)2lim() 1,n3xxxaxxbfabaf ab若 存 在 ， 求存 在 任 意 实 数1
11、.2.5. 几个潜规则1(.)(.)02 ()03、 极 限 若 存 在 ， 必 有（ 分 子、 极 限 若 存 在 且 （ 分 母 ） ， 必 有 分 子（ 分 母 ）（ 分 子 )、 极 限 若 存 在 且 0（ 分 子 ） ， 必 有 分 母（ 分 母 ）一元微积分 xc 第 - 8 - 页 2019-4-3- 8 -3223222 221:lim8,?()40li()18: )0,?1lim(lim()01li)xxx xxabexaxebabxaa原 式 22 230303300li111li(lili()sn:m(0),?l(1)ln()isi(cos)lli(1)n1xx x x
12、xaxaxxb xbecabtdtbbxtd 若 320colimli12xxb1.3.导数导数存在的充要条件是函数在该点的左右导数存在且相等，首先函数必须在该点有定义。导数的实质是函数的极限，即增量趋于零的极限，极限的定义形式有 3 种：1.4.极限的求法1.4.1. 步骤：判断类型、选择方法。 0001不 定 型 ： 、 、 、 、 、 、要区别“真正的 0 和 1”和“极限为 0 和 1”一元微积分 xc 第 - 9 - 页 2019-4-3- 9 -真正的 0 乘以任何数为 0.0limns(2)x真正的 1 的任何次幂为 1.lix一元微积分 xc 第 - 10 - 页 2019-4
13、-3- 10 -1.4.2. 利用基本极限求极限221x000 1113lim)lisinl1xi2sin2:lml1:lili13:lim()li()lixxxxxnntgntn nnneeatgttgexatg e利 用 基 本 极 限 求 极 限 ：（实 质 ： 型1112111331311013.lim()3li()()3(,limlimxxxxxabcxxabcx txx ttnabcabcabct注 ： ， 加 减 颠 倒 还 原自 变 量 是 “”的 函 数 不 能 直 接 用 洛 必 达 法 则 ， 应 该 是 一 般 -特 殊ea4: 求 极 限解 ： 原 式 =令130 0
14、3)()()nllnli li ()tttttt tatbtcab一元微积分 xc 第 - 11 - 页 2019-4-3- 11 -1.4.3. 利用等价代换求极限 23tan30ta2xarcsinrtax1ln1x()te1:lim?scxxx xxaexae:m利 用 等 价 代 换 求 极 限 （ 上 面 其 实 已 经 用 过 ）常 用 的 等 价 无 穷 小 ： （ 0)sitx（ 0)（ e-（ l(+（ )（ 0-cos求 极 限 ：解 法 ： 原 式 =tan20tan2tanta0030tantan30lim3escseclili 0666elim(t,! )1e13li
15、mlixxxxxxxxxxxxe :（ 错 误 很 隐 蔽 ： 和 解 法 一 样 ）解 法 ： 原 式 =错 等 价 代 换 不 能 用 在 加 减 运 算 中（ ） （ ）解 法 ： 原 式 3033330000xtantan330030( )tanlimlililie(1)e14()lilimtanli1 xxx xx e错 ！ ！ ！ 前 提 条 件 是 两 个 极 限 都 存 在 ， 由 下 面 知 道 ， 这 两 个极 限 都 是 不 存 在 的 。 这 样 做 没 有 道 理解 法 正 确 ： 原 式一元微积分 xc 第 - 12 - 页 2019-4-3- 12 -1.4.4.
16、 洛必达法则求极限 220330 33ln(1)lim() 1l,2lixxxxtdex:总 之 ， 用 洛 必 达 法 则 求 极 限 时 （ 如 果 可 以 用 洛 必 达 法 则 ） ， 可 以先 用 等 价 代 换 化 简 ， 但 是 等 价 代 换 只 能 用 在 乘 法 或 者 除 法 ， 千 万不 能 用 在 加 减 法 中 ， 即 被 作 等 价 代 换 的 因 子 不 能 是 加 减 法 的 一 部 分 。ea2:求 极 限解 ： 当 时 ， 且 这 几 个 因 子 是乘 积 的 关 系 ， 所 以 原 式20036440055ln(1)ln()im2ln(1)22limli
17、339ln66xxxtdtdx20 22 200 02020sili()ncosinl cosininim()l lmx1sili(1)nsinsin()0l(1)1sixlimlix x xxx xxx:原 式很 复 杂另 解 ： 原 式时 ，原 式 30sco36:应 用 洛 必 达 法 则结 论 洛 必 达 法 则 和 等 价 代 换 混 合 使 用1.4.5. (夹逼定理和)定积分定义Exa1:一元微积分 xc 第 - 13 - 页 2019-4-3- 13 -101111lim(.)2.X,11Xn.22.lim(.)lim(.)22linn nnni innndx:求令 则求 不
18、出 来 101 11 lsiisinl(.)22limsin()silmsin()2lilisin()2()nnninII xdI:求 夹 逼 准 则一元微积分 xc 第 - 14 - 页 2019-4-3- 14 -1.4.6. 利用收敛级数的通项为 01 n112nni1n1n1:!lim?!li0uuuuulimnnnexa ni n级 数 收 敛基 本 概 念 ： 、 级 数 是 一 个 数 项 ， 确 切 的 说 是 一 个 数 列 的 和 表 达 式， 数 列 的 一 般 项 也 是 级 数 的 一 般 项 。 表 示 一 个 级 数、 数 列 的 前 项 的 和 s称 为 级 数
19、 的 部 分 和 。 s又 可 以 构 成 一 个新 的 数 列 ， 称 为 该 级 数 的 部 分 和 数 列 s3、 n1nnn,()!1lilim()li()ns e存 在 ， 级 数 收 敛 ， 和 为 反 之 ， 发 散 。4、 审 敛 法 ： 收 敛1.4.7. 泰勒公式-皮亚诺余项泰勒公式-皮亚诺余项： min,()()mnoxox无 穷 小 运 算 法 则 ：一元微积分 xc 第 - 15 - 页 2019-4-3- 15 -0212000()0 ()20120() 1().()(),!().(),!()si nnnn nnxfxaxaxaxoxf ffxxoeao在 含 有
20、的 开 区 间 具 有 直 到 阶 的 导 数其 中 如 果 即 成 带 有 佩 亚 诺 型 余 项 的 麦 克 劳 林 公 式 ：常 见 的 带 有 佩 亚 诺 型 余 项 的 麦 克 劳 林 公 式 :32434320220341n!co()1ln()ta()(1tnsectan1osa(i)ecttanisitn()cosxxxoxxxxx证 明 ： 623os)2(1)(1) ()! xmxxxo）一元微积分 xc 第 - 16 - 页 2019-4-3- 16 -20 020 000 ()61:lim,lim?x()6xli )lililim36(xxx xx feafo333 22
21、+sin已 知 求 （ +） sin-分 析 ： 凑 ， 原 式 si-s-(co1)-()x或 者 sin=-!00 lim36l36xx 332 sn-)， 存 在f()+2023 30 01:lim(cot)?an()t11(t) ()2li )2limxx xexxoxox:原 式 303 33333 3tan()si(n:lim?11ta()ta()ta(tn)(1(.)(2.11sin()sin()siin66xexoxxoxxoxxox洛 必 达 法 则 求 ？ 不 必 求 了 333333 ()()1.(21 xoxxoxx不 必 求 了（ ） =原 式一元微积分 xc 第 -
22、 17 - 页 2019-4-3- 17 -2022014:lim?()41()1limxxxeaxoox分 析 ： 可 以 用 洛 必 达 ， 有 理 化 ， 泰 勒 公 式原 式1.4.8. 无穷小比较 222 00 0042 5111():li1()cos1mcos()()lim0)li li6xnx xxn nnnnfeaftdnftdftd cxf x:且 与 是 同 阶 无 穷 小 ， 求分 析 ： 与 是 同 阶 无 穷 小一元微积分 xc 第 - 18 - 页 2019-4-3- 18 -1.4.9. 其它方法总结0limalialimlilimxx xxx:+ +2x1 +-
23、22x x110 02x2210x21x20ln(+e)（ ） =b,求 al解 ： 表 示 不 超 过 的 最 大 整 数 ， 如 ： 0=， 1，ln(+e)n(e)（ ） =l()（ -）（ 方 法 ） e（ ）4()e4limlim2li22li lilim2lialimx xxx xxx xb :+ + +-1 1x 1x2 x20 00x22 22xxxx11110 002x10 0（ -） eee（ ）n()nel()（ 方 法 ） el+1ln(+e)（ ） =l ali)2xaab:- - 2x102x1 ln(+e（ )+（ le一元微积分 xc 第 - 19 - 页 20
24、19-4-3- 19 -3122221112lim()() ()lilimlim()()xx x xx x1.4.10. 几个常用的结论0sin2x/20/1/21 20/220/ /02012idsncosi()incos()sin1s1()i()(),)2nnn nnnIxxdxddxIIII 左 式 其 中3456 011123142.()2,1342.5nII nI I 为 正 偶 数 （ ）为 正 奇 数 且 大 于一元微积分 xc 第 - 20 - 页 2019-4-3- 20 -/2/2000/2/2/200 / /01sindxcosdxt/,in(/)t=cosdtcosdx
25、s-,2n nnnIItI 令令（ ） /200/2/2/20/2/2/2/ 00sisinnsisit (/)cossinnnnxdxdxdtdtdxd 证 明 ：左 式只 需 要 证 明 ： 即 可令 =x- 证 明 完 毕 /200/2/2/ /2/20 0/200coscostcoscos(/2)(1cosnnnn nnnnxdxdtdtdxdxd 问 题 ： 吗左 式令 =- （ 是 奇 数 ）所 以 ： （ 是 偶 数 ）Exa: 00002220si sint=n,()si()()sinsinnnn xxttdttdxn 求 ： a解 ： 去 绝 对 值 符 号 ？ 这 样 会
26、出 现 很 多 的 项 ， 可 以 这 样 考 虑 ,因 为是 一 个 周 期 为 函 数 ， 令aa一元微积分 xc 第 - 21 - 页 2019-4-3- 21 -1.5.分段函数1.5.1. 分段函数的复合 2222 22exa1:()cos,().()cos11131|3: (0)(0)()()()ffxxDfxxxxxeagffgxxgf求 的 定 义 域 。设 的 定 义 域， 值 ，有 求方 法 一 ：2()0(01)()0:gxxxfgx对 来 说 什 么 时 候 呢 ？令 或 者 所 以 ：（方 法 二 2 2122012211011,03:(),()|,()0()|(),
27、0()x1,()()()xexafgxdfxgfgxffgxdxdxx 求 其 中 或 者34一元微积分 xc 第 - 22 - 页 2019-4-3- 22 -1.6.微分中值定理1.6.1. 费马引理00000 0000 00()()3,()()(),()(),()lim()()xfxUffxfUfxUxff fxxf费 马 引 理 ： （ 1） 有 定 义（ 2） 存 在（ ） 若 有或 者 ， 那 么证 明 过 程不 妨 设 有 ， 对 于 有由 极 限 的 局 部 保 号 性 ： 在 内 ， 有0 000 ()()()lix xff ff同 理 存 在 ， ， 证 明 完 毕1.6.
28、2. 罗尔定理 1 12 21(),(2), (,)0(),(), (fxababffxabxabfxa罗 尔 定 理 ： 满 足 1连 续可 导3f=那 么 ， 至 少证 明 过 程 （ 证 明 不 妥 ） ：满 足 连 续至 少 ， 对 有至 少 ， 对 有翻 译 下 ： 闭 区 间 连 续 的 函 数 必 有 最 大 值 和 最 小 值如 果 这 两 个 最 值 不 同 时 在 端 点 处 ， 不 妨 设1 ,)()0,()0bfabf那 么 由 费 马 引 理 :若 这 两 个 最 值 同 时 在 端 点 处 f(a)=,fx必 是 一 个 常 数 ， 这 时 必 有（ ） ，一元微积
29、分 xc 第 - 23 - 页 2019-4-3- 23 -1.6.3. 拉格朗日中值定理 ()(1),2(,)()()()fxabfbafbafba拉 格 朗 日 中 值 定 理 ： 满 足连 续可 导至 少 使 得证 明 过 程 ：若 即 是 罗 尔 定 理 ， 因 此 拉 格 朗 日 中 值 定 理 是 罗 尔 定 理 的 推 广1.6.4. 柯西中值定理1.6.5. 习题： (,)(),(0)1,()e: ,(0)11,(,) () 0xfxfffxffyffxffxx22证 明 ： 若 函 数 在 内 满 足 则分 析 由 条 件 知 道 ， 在 整 个 连 续 ， 可 导 。， 切 线 ：令 ()=则 在 内 有e(e()C,(0)1(),01)!nfxfxf(n-)设 y=在 的 某 邻 域 内 具 有 阶 导 数 ， 且0f.f=.试 用 柯 西 中 值 定 理 证 明 ： 1230 102()lim(1():)?lim?4xx xxfeffffe如 果 ：求答 案
