1、 本 科 生 毕 业 论 文论 文 题 目： 函数项级数的收敛判别法探究 院 系： 数学与计算机科学学院 专 业： 数学与应用数学 (或计算机科学与技术、信息与计算科学、软件工程)2013 年 5 月 日NO.：2009211402072008200X2XX40XXX200X2XX40XXXHuanggang Normal UniversityThesis GraduatesTopic ：The convergence criterion of series expressed by function termsAuthor ： Dai Le College ： College of Math
2、ematics and Computer Science Specialty ： Mathematics and Applied Mathematics (or Computer Science and Technology,or Information and Computing Science,or Software Engineering)Class ： 200902 Tutor ： Xia Dan May Xth, 2013郑重声明本人所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师 夏丹 的指导下独立研究并完成的。除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范
3、和侵权行为，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。特此郑重声明！指导老师（签名）：论文作者（签名）：2013 年 5 月 X 日黄冈师范学院本科学位论文第 1 页，共 15 页摘 要函数项级数在数学科学本身和工程技术领域都有重要应用. 函数项级数和函数列的一致收敛性问题往往是数学分析的重点，又是难点，不易理解和掌握。而函数项级数的一个基本问题就是研究其一致收敛性，但是一致收敛的判别比较困难，函数项级数 在区间 上的一致收敛性与部分和函数列1()nUxI的一致收敛性是等价的。一种自然的思想是将正项级数的判别法推广到()nSx函数项级数一致收敛的判别法上去.目前，正项级数的 DAlembert
4、 判别法、Cauchy 判别法、Raabe 判别法和它们的极限形式顺利地推广到了函数项级数的一致收敛的判别上.此外，还有很多种判别函数项级数一致收敛的方法，这些方法视条件而定：1 在和函数 或极限函数 可以求出的情况下，可以用定义。()Sx()fx2 利用余项的一致收敛性： 在区间 上一致收敛的充要条件是1nUI在 上一致收敛于 0，即 ， 在 上一致1()nknrxUIlim|()|0nxISupr|()|nfxI收敛于 的充要条件是 =0.fli|()nxISupff3 利用 Cauchy 准则（函数项级数和函数列均可用）.4 利用函数项级数一致收敛的 M 判别法（Weierstrass
5、判别法）.5 利用函数项级数一致收敛的 Dimchler 判别法和 Abel 判别法.6 利用结论：如果函数列 在 上收敛于 ，且每一 在|()|nfx,ab()fx()nfx上满足 Lipschitz 条件，即存在 ，使得 ，,ab0|()|nfyMy，n=1,2,则 在 上一致收敛于 .xy()nf,7 利用结论：如果可微函数列 在 上收敛于 ，且 在()nfx,()fx()nfx上一致收敛于 .,fx8 利用 Dini 定理（函数项级数和函数列均可用）9 利用结论：设幂级数 的收敛半径 ，则1na0R（i）当 或 收敛时， 在 （或 ）上一1na0()n1na,0R致收敛；（ii）当 在
6、 内一致收敛当且仅当 在 上一致收1nx,R1n,敛本文旨在对上述函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结和探究.关键词：函数项级数、 一致收敛 XXXXXXX(论文题目)第 2 页，共 15 页AbstractSeries expressed by function terms in the field of mathematics and engineering science itself has important application.Function series and function of uniform convergence problem often is the ke
7、y point of mathematical analysis,it is difficult,not easy to understand and grasp.And function studies series one of the basic problem is that the uniform convergence ,but the uniform convergence criterion is more difficult,in the uniform convergence of the series expressed by function terms consist
8、ent with the part and function of convergence are equivalent.A natural thought is the criterion.At present,thePosistive SeriesDAlembertcriterion,Cauchycriterion ,Raabe discriminant method and the limits of their form has been generalized to function successfully a series of uniform convergence crite
9、rion.In addition,there are a number of discriminant function is a series of uniform convergence of the method ,these methods depending on the conditions:1. in or limit function can be calculated and the function,can use the definition.2. more than using the uniform convergence:the necessary and suff
10、icient condition of uniform convergence in the range is on the uniform convergence to zero,i.e,the necessary and sufficient condition of uniform convergence in the is=0.3. using Cauchy criterion(function series and column are available).4. using the function of the M series of uniform convergence (W
11、eierstrassdiscriminant method).5. using the series of uniform convergence of Dimchler discriminant method and Abel discriminant method.6. with the conclusion that if a function listed in converges to,and each in satisfied the Lipschitz condition,that is,make,n=1,2,the uniform convergence in.7. using
12、 the conclsion:if the convergence in differentiable function on,and on the uniform convergence in the.8. Dini theorem(function series and column are available)9. use conclusion:a power series and column are available,and is(i) when or convergence,uniform convergence on (or);(ii)when on the uniform c
13、onvergence if and only if in uniform convergence黄冈师范学院本科学位论文第 3 页，共 15 页This paper aimed to the convergent series expressed by function terms discriminant method carries on the comprehensive summary and exploration Keywords: function series,uniform convergence目 录第一章 绪论11.1 引言11.2 定义: .11.2.1 函数项级数定义
14、.11.2.2 函数项级数一致收敛性的定义.11.3 函数项级数一致收敛的判定方法31.3.1 定理 1（柯西一致收敛准则）41.3.2 定理 2（余项判别法）41.3.3 定理 3（魏尔斯特拉斯判别法）51.3.4 定理 4（狄利克雷判别法）51.3.5 定理 5（阿贝尔判别法）61.3.6 定理67第二章 函数项级数的收敛判别方法应用.8XXXXXXX(论文题目)第 4 页，共 15 页函数项级数的收敛判别法应用摘要：函数项级数的收敛判别问题是函数项级数问题中最基本最重要的问题，在研究函数项级数收敛的问题时可借鉴一些数项级数的方法，本文对函数项级数的收敛判别方法及其应用做了全面细致的阐述
15、关键词：函数项级数、收敛判别1 引言函数项级数作为数项级数的推广,在研究内容上同数项级数有许多极其相似的地方,比如它们的收敛性、和的问题，但函数项级数还有一点不同于数项级数,就是关于它的一致收敛性。对比数项级数的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法,不难发现,它们在判断方法上极其相似,特别是在它们判别法的名称上,比如它们都有Cauchy判别法、Abel判别法等. 对于函数项级数的一致收敛性,有没有类似于数项级数收敛性判别的其它方法,是一个值得研究的课题.函数项级数在一致收敛的条件下，可以讨论其和函数的连续性、可微性以及可积性.函数项级数在一致收敛时，求和和求导、求和和求积分的顺序可以交换顺序.
16、并且，往往交换顺序以后方便我们解决一些函数项级数中的基本问题.这个应用非常重要，因此，本文将对函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结.2 定义：2.1 函数项级数定义2.1.1 定义 设u (x)是定义在数集 E 上的一个函数列，表达式nu (x)+u (x)+ u (x) 12 nx,称为定义在 E 上的函数项级数，简记为 或 。称1)(n)(n黄冈师范学院本科学位论文第 5 页，共 15 页， n=1,2,)()(1xusnk,E.为函数项级数的部分和函数列。2.2 函数项级数一致收敛的定义若函数项级数 的部分和函数列 在数集 上一致收敛于 ，则1)(nxu)(xSnD)(xS称函数项级数
17、 在 上一致收敛于 或称 在 上一致收敛.1)(nD)(1)(nu我们可以看到，函数项级数 的一致收敛性归结到其部分和函数列1)(nxu的一致收敛性的研究上。)(xSn例 1 考察级数 )0(12xexn的一致收敛性分析：由于函数项级数的一致收敛性要归结到它的和函数列的一致收敛性上。所以我们首先要求出它的和函数列，由等比级数求和公式知当 时，x，对于任意 ，由于xnxexS1)(212 nxnnkxneS1)(212因此级数的一致收敛性等价于函数列 对区间 的一致收敛于零。xe2)0(证明: 由等比级数求和公式知当 时，xnxeS1)(212对任意 ，n xnnkkxnex)(212XXXXX
18、XX(论文题目)第 6 页，共 15 页下面证明此函数列是一致收敛于零的。由于 ，所以 在 有界且对于任意给定的 ，01lim20xxexef1)(2100存在 ，当 时，有 。于是对所有自然数 ，有 ),(x2 ),(xn，xnxee1122而当 时，由 知，当 时xx)(011)2()2(2 neenxnx于是 在 地一致收敛于零，因此存在 ，当 时，对所有nxe12N有,x nnxee1122这样当 时，对所有 ，有 ，因此级数Nn0xnkkx22在 上一致收敛。12nxe定义 1： 设 ，（ ）都是在数集 D 上由定义的函数，若存在一个在)(un.2,1D 上由定义的函数 S(x),对任意的 ，存在自然数 N,使得当 nN 时，对一切 均有0 Dx| |)(1xsuk则称函数项级数 在数集 D 上一致收敛于 S(x).)(1xun3 函数项级数一致收敛的判定方法下面将给出一些判别函数项级数一致收敛的基本方法：柯西一致收敛准则，维尔斯特拉斯判别法（M 判别法），狄利克雷判别法，阿贝尔判别法以及不常用的方法，例如：两边
