1、用心 爱心 专心 1弹簧类问题分析方法专题江西省广丰中学 周小勇高考要求 轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见.应引起足够重视. 弹簧类命题突破要点 1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量 x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.2.因弹簧（
2、尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：Wk=-（ 21kx22- kx12） ，弹力的功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式 Ep= 21kx2，高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.弹簧类问题多为综合性问题，涉及的知识面广，要求的能力较高，是高考的难点之一.在高考
3、复习中，常常遇到有关“弹簧类”问题，由于弹簧总是与其他物体直接或间接地联系在一起，弹簧与其“关联物”之间总存在着力、运动状态、动量、能量方面的联系，因此学生普遍感到困难，本专题此类问题作一归类分析。案例探究一、最大、最小拉力问题例 1. 一个劲度系数为 k600N/m 的轻弹簧，两端分别连接着质量均为 m15kg的物体 A、B，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图所示，现加一竖直向上的外力 F 在物体 A 上，使物体 A 开始向上做匀加速运动，经 0.5s，B 物体刚离开地面（设整个加速过程弹簧都处于弹性限度内，且 g10m/s 2）。求此过程中所加外力的最大和最小值。用心 爱心 专心 2解析
4、：开始时弹簧弹力恰等于 A 的重力，弹簧压缩量 ，0.5s 末 B 物体刚要离开地面，此时弹簧弹力恰等于 B 的重力， ，故对 A 物体有，代入数据得 。刚开始时 F 为最小且，B 物体刚要离开地面时，F 为最大且有 ，解得 。二、最大速度、最小速度问题例 2. 如图 3 所示，一个劲度系数为 k 的轻弹簧竖直立于水平地面上，下端固定于地面，上端与一质量为 m 的平板 B 相连而处于静止状态。今有另一质量为m 的物块 A 从 B 的正上方 h 高处自由下落，与 B 发生碰撞而粘在一起，已知它们共同向下运动到速度最大时，系统增加的弹性势能与动能相等，求系统的这一最大速度 v。解析：A 下落到与
5、B 碰前的速度 v1为：A、B 碰后的共同速度 v2为： B 静止在弹簧上时，弹簧的压缩量为 x0，且：A、B 一起向下运动到最大速度 v 时的位移为 x，此时 A、B 的加速度为 0，即有：由机械能守恒得：用心 爱心 专心 3解得：例 3. 在光滑水平面内，有 A、B 两个质量相等的木块， ，中间用轻质弹簧相连。现对 B 施一水平恒力 F，如图所示，经过一段时间，A、B 的速度等于 5m/s 时恰好一起做匀加速直线运动，此过程恒力做功为 100J，当A、B 恰好一起做匀加速运动时撤除恒力，在以后的运动过程中求木块 A 的最小速度。解析：当撤除恒力 F 后，A 做加速度越来越小的加速运动，弹簧
6、等于原长时，加速度等于零，A 的速度最大，此后弹簧压缩到最大，当弹簧再次回复原长时速度最小，根据动量守恒得： 根据机械能守恒得： 由以上两式解得木块 A 的最小速度 vA0。三、最大转速和最小转速问题例 4. 有一水平放置的圆盘，上面放一个劲度系数为 k 的轻弹簧，其一端固定于轴 O 上，另一端系着质量为 m 的物体 A，物体 A 与盘面间最大静摩擦力为 Ffm，弹簧原长为 L，现将弹簧伸长 后置于旋转的桌面上，如图所示，问：要使物体相对于桌面静止，圆盘转速 n 的最大值和最小值各是多少？解析：当转速 n 较大时，静摩擦力与弹簧弹力同向，即：当转速 n 较小时，静摩擦力与弹簧弹力反向，即：用心
7、 爱心 专心 4所以圆盘转速 n 的最大值和最小值分别为：四、弹簧模型与绳模型瞬态变化问题例5.（01 年上海）如图 9-12（ A）所示，一质量为 m 的物体系于长度分别为 l1、l 2 的两根细线上，l 1 的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为 ，l 2 水平拉直，物体处于平衡状态.现将 l2 线剪断，求剪断瞬时物体的加速度 .（1）下面是某同学对该题的一种解法：解：设 l1 线上拉力为 T1，l 2 线上拉力为 T2，重力为 mg，物体在三力作用下保持平衡：T1cos =mg,T1sin =T2,T2=mgtan剪断线的瞬间，T 2 突然消失，物体即在 T2 反方向获得加速度.因为 m
8、gtan =ma,所以加速度 a=gtan ,方向在 T2 反方向.你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明理由.（2）若将图 A 中的细线 l1 改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图 2-12（B）所示，其他条件不变，求解的步骤与（1）完全相同，即 a=gtan ，你认为这个结果正确吗?请说明理由. 5.（1）结果不正确.因为 l2 被剪断的瞬间， l1 上张力的大小发生了突变，此瞬间T2=mg cos ,a=g sin（2）结果正确，因为 l2 被剪断的瞬间、弹簧 l1 的长度不能发生突变、 T1 的大小和方向都不变.五、与物体平衡相关的弹簧问题 例 6.(1999 年，全国)如图示
9、，两木块的质量分别为 m1和 m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为 k1和 k2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧在这过程中下面木块移图 212用心 爱心 专心 5动的距离为( ) A.m1g/k1 B.m2g/k2 C.m1g/k2 D.m2g/k2此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出注意缓慢上提，说明整个系统处于一动态平衡过程，直至 m1离开上面的弹簧开始时，下面的弹簧被压缩，比原长短(m 1 + m2)g k2，而 ml刚离开上面的弹簧，下面的弹簧仍被压缩，比原长短 m2g
10、 k2，因而 m2移动x(m 1 + m2)g k2 - m2g k2m lg k2 此题若求 ml移动的距离又当如何求解? 参考答案:C六、与能量相关的弹簧问题例 7. 如图所示，质量为 2m 的木板，静止放在光滑的水平面上，木板左侧固定着一根劲度系数为 k 的轻质弹簧，弹簧的自由端到小车右端的距离为 L0，一个质量为 m 的小木块从板的右端以初速度 v0开始沿木块向左滑行，最终回到木板右端，刚好不从木板右端滑出，设木板与木块间的动摩擦因数为 ，求在木块压缩弹簧过程中（一直在弹性限度内）弹簧所具有的最大弹性势能。解：弹簧被压缩至最短时，具有最大弹性势能 ，设 m 在 M 上运动时，摩擦力做的
11、总功产生内能为 2E，从初状态到弹簧具有最大弹性势能及从初状态到末状态，系统均满足动量守恒定律，即：由初状态到弹簧具有最大弹性势能，系统满足能量守恒：由初状态到末状态，系统也满足能量守恒且有：由求得：例 8.（2004 广东）图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块 B 相连，B 静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态另一质量与 B 相同的滑块 A，从导轨上的 P 点以某一初速度向B 滑行当 A 滑过距离 L1时，与 B 相碰，碰撞时间极短，碰后 A、B 紧贴在一起运动，但互不粘连已知最后 A 恰好返回到出发点 P 并停止滑块 A 和 B 与导轨的滑动摩擦因数都为，运动过程中弹簧最大形变量为 L2，
12、重力加速度为 g。求 A 从 P 点出发时的初速度 v0用心 爱心 专心 6解析：解析：令 A、B 质量皆为 m，A 刚接触 B 时速度为（碰前），由功能关系，有1v12120glvmA、B 碰撞过程中动量守恒，令碰后 A、B 共同运动的速度为 有2v21v碰后 A、B 先一起向左运动，接着 A、B 一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设 A、B 的共同速度为 ，在这过程中，弹簧势能始、末两状态都为零，利用功能关系，有)2()2(1)(23lgmvm此后 A、B 开始分离，A 单独向右滑到 P 点停下，由功能关系有13glv由以上各式，解得 )160(20lgv注意：与发生碰撞有机械能损失。七、与
13、动力学相关的弹簧问题例 9.（2005 全国理综 23）（19 分）如图所示，在倾角为 的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块 A、B，它们的质量分别为 mA、m B，弹簧的劲度系数为 k,C 为一固定挡板。系统处一静止状态，现开始用一恒力 F 沿斜面方向拉物块 A 使之向上运动，求物块 B 刚要离开 C 时物块 A 的加速度 a 和从开始到此时物块 A 的位移 d，重力加速度为 g。解析：令 x1表示未加 F 时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知1sinkmA令 x2表示 B 刚要离开 C 时弹簧的伸长量， a 表示此时 A 的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知：kx2=mBgsin F
14、m Agsink x2=mAa 由式可得 ABmgFsin)(由题意 d= x1+x2 由式可得 kdBAsi)(八、应用型问题ABC用心 爱心 专心 7例 10.惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速度计，加速度计的构造原理示意图如下图所示。沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上套一质量为 m 的滑块，滑块两侧分别与劲度系数为 K 的弹簧相连，弹簧处于自然长度，滑块位于中间，指针指示 0 刻度，试说明该装置是怎样测出物体的加速度的?分析 当加速度计固定在待测物体上，具有一定的加速度时，例如向右的加速度 a，滑块将会相对于滑杆向左滑动一定的距离 x 而相对静止，也具有
15、相同的加速度 a，由牛顿第二定律可知：aF 而 Fx，所以 ax。因此在标尺相应地标出加速度的大小，而 0 点两侧就表示了加速度的方向，这样它就可以测出物体的加速度了。从以上各例可以看出，尽管弹簧类问题综合性很强，物理情景复杂，物理过程较多，但只要我们仔细分析物理过程，找出每一现象所对应的物理规律，正确判断各物理量之间的关系，此类问题一定会迎刃而解。从以上各例可以看出，尽管弹簧类问题综合性很强，物理情景复杂，物理过程较多，但只要我们仔细分析物理过程，找出每一现象所对应的物理规律，正确判断各物理量之间的关系，此类问题一定会迎刃而解。弹簧类问题训练题1.如左图所示，小球在竖直力 F 作用下将竖直弹
16、簧压缩，若将力 F 撤去，小球将向上弹起并离开弹簧，直到速度变为零为止，在小球上升的过程中A.小球的动能先增大后减小 B.小球在离开弹簧时动能最大C.小球的动能最大时弹性势能为零D.小球的动能减为零时，重力势能最大2.（00 年春）一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为 M 的平板，处在平衡状态.一质量为 m 的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为 h，如图右所示.让环自由下落，撞击平板.已知碰后环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长.A.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒B.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒C.环撞击板后，板的新的平衡位置与 h 的大小无关D.在
17、碰后板和环一起下落的过程中，它们减少的动能等于克服弹簧力所做的功3.如图 2-10 所示的装置中，木块 B 与水平桌面间的接触是光滑的，子弹 A 沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短.现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射图 2-10用心 爱心 专心 8入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中A.动量守恒，机械能守恒 B.动量不守恒，机械能不守恒C.动量守恒，机械能不守恒 D.动量不守恒，机械能守恒4.如图 2-11 所示，轻质弹簧原长 L，竖直固定在地面上，质量为 m 的小球从距地面 H 高处由静止开始下落，正好落在弹簧上，使弹簧的最大压缩量为 x，在
18、下落过程中，空气阻力恒为 f，则弹簧在最短时具有的弹性势能为Ep=_.4.分析从小球下落到压缩最短全过程由动能定理：（mg-f）（H-L+x ）- W 弹性 =0W 弹性 =Ep=（mg-f）（H-L+x ）5.如图 2-2 所示，劲度系数为 k1 的轻质弹簧两端分别与质量为 m1、m 2 的物块 1、2 拴接，劲度系数为 k2 的轻质弹簧上端与物块 2 拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态.现施力将物块 1 缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块 2 的重力势能增加了_，物块 1 的重力势能增加了_.5. 2km2（m 1+m2）g 2 （ 21k
19、）m 1（m 1+m2）g 26.S1和 S2表示劲度系数分别为 k1，和 k2两根轻质弹簧， k1k2；A 和 B 表示质量分别为 mA和 mB的两个小物块，m AmB,将弹簧与物块按图示方式悬挂起来现要求两根弹簧的总长度最大则应使( )A.S1在上，A 在上 B.S 1在上，B 在上C.S2在上，A 在上 D.S 2在上，B 在上7.一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长 0.2m，它们的一端固定，另一端自由，如图所示，求这两根弹簧的劲度系数 k1(大弹簧)和 k2(小弹簧)分别为多少?(参考答案 k1=100N/m k2=200N/m)8.如图所示，在重力场中，将一只轻质弹簧的上端悬
20、挂在天花板上，图 2-11用心 爱心 专心 9下端连接一个质量为 M 的木板，木板下面再挂一个质量为 m 的物体当剪掉 m 后发现：当木板的速率再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，(不考虑剪断后 m、M 间的相互作用)则 M与 m 之间的关系必定为 ( ) A.Mm B.M=m C.ML C.sL D.条件不足，无法判断 (建议从能量的角度、物块运动的情况考虑) 12.如图所示，一弹簧振子物块质量为 m，它与水平桌面动摩擦因数为 ，开始用手按住物块，弹簧处于伸状态，然后放手，当弹簧回到原长时物块速度为 v1，当弹簧再次回到原长时物块速度为 v2，求这两次为原长运动过程中弹簧的最大弹性势能13.A
21、、 B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图 2-6 所示，已知木块 A、B 质量分别为 0.42 kg 和 0.40 kg，弹簧的劲度系数 k=100 N/m ，若在木块 A 上作用一个竖图 2-6用心 爱心 专心 10直向上的力 F，使 A 由静止开始以 0.5 m/s2 的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s 2）.（1）使木块 A 竖直做匀加速运动的过程中，力 F 的最大值；（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到 A、B 分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了 0.248 J，求这一过程 F 对木块做的功.命题意图：考查对物理过程、状态的综合分析能力.B 级要求.错解分析：此题难点和失
22、分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0 时 ,恰好分离.解题方法与技巧:当 F=0（即不加竖直向上 F 力时），设 A、B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为 x，有kx=（m A+mB） gx=（m A+mB）g/k 对 A 施加 F 力，分析 A、B 受力如图 2-7对 A F+N-mAg=mAa 对 B kx- N-mBg=mBa 可知，当 N0 时，AB 有共同加速度 a=a，由式知欲使 A 匀加速运动，随 N 减小F 增大. 当 N=0 时，F 取得了最大值 Fm,即 Fm=mA（g+a）=4.41 N又当 N=0 时，A 、 B 开始分离，由 式知，此时，弹簧压缩量 kx=m B（ a+g）x=m B（a+ g）/k AB 共同速度 v2=2a（x -x） 由题知，此过程弹性势能减少了 WP=EP=0.248 J设 F 力功 WF，对这一过程应用动能定理或功能原理WF+EP-（m A+mB）g（x-x）= 21（m A+mB）v 2 联立，且注意到 EP=0.248 J可知，W F=9.6410-2 J
