1、最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息数学重 点、难点归 纳辅导第一部 分第一章 集合与映 射 1.集合 2.映射与函 数本章教学 要求 ： 理解集合 的概念与映射 的概念 ， 掌握实数 集合的表示法 ， 函数的表 示法与函数的一些基 本性质。第二章 数列极限 1.实数系的 连续性 2.数列极限 3.无穷大量 4.收敛准则本章教学 要求 ： 掌握数列 极限的概念与 定义 ， 掌握并会
2、 应用数列的收 敛准则 ， 理解实数 系具有连续性的 分析意义，并 掌握实数系的 一系列基本定 理。第三章 函数极限 与连续函数 1.函数极限 2.连续函数 3.无穷小量 与无穷大量的 阶 4.闭区间上 的连续函数本章教学 要求 ： 掌握函数 极限的概念 ， 函数极限 与数列极限的 关系 ， 无穷小量 与无穷大量阶 的估计，闭 区间上连续函 数的基本性质 。第四章 微 分 1.微分和导 数 2.导数的意 义和性质 3.导数四则 运算和反函数 求导法则 4.复合函数 求导法则及其 应用 5.高阶导数 和高阶微分本章教学 要求 ： 理解微分 ， 导数 ， 高阶微分 与高阶导数的 概念 ， 性质及相
3、 互关系 ， 熟练掌握 求导与求微 分的方法。第五章 微分中值 定理及其应用 1.微分中值 定理 2.L Hospital法则 3.插值多项 式和 Taylor公式 4.函数的 Taylor公式及其 应用 5.应用举例最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息 6.函数方程 的近似求解本章教学 要求：掌握微 分中值定理与 函数的 Taylor公式， 并 应用于函 数性质的研究 ，熟练运用 L Hospital法则计算 极限，熟练应 用微分于求解 函数的极值问 题与函数作
4、图 问题。第六章 不定积分 1.不定积分 的概念和运算 法则 2.换元积分 法和分部积分 法 3.有理函数 的不定积分及 其应用本章教学 要求 ： 掌握不定 积分的概念与 运算法则 ， 熟练应用 换元法和分部 积分法求解不 定积分 ，掌握求有 理函数与部分 无理函数不定 积分的方法。第七章 定积分（ 1 3） 1.定积分的 概念和可积条 件 2.定积分的 基本性质 3.微积分基 本定理第七章 定积分（ 4 6） 4.定积分在 几何中的应用 5.微积分实 际应用举例 6.定积分的 数值计算本章教学 要求 ： 理解定积 分的概念 ， 牢固掌握 微积分基本定 理 ： 牛顿 莱布尼兹 公式 ， 熟练定
5、积分的计 算 ， 熟练运用 微元法解决几 何 ， 物理与实 际应用中的问 题 ， 初步掌握 定积分的数值 计算。第八章 反常积分 1.反常积分 的概念和计算 2.反常积分 的收敛判别法本章教学 要求 ： 掌握反常 积分的概念 ， 熟练掌握 反常积分的收 敛判别法与反 常积分的计算。第九章 数项级数 1.数项级数 的收敛性 2.上级限与 下极限 3.正项级数 4.任意项级 数 5.无穷乘积本章教学 要求 ： 掌握数项 级数敛散性的 概念 ， 理解数列 上级限与下极 限的概念 ， 熟练运用 各种判别法判 别正项级数， 任意项级数与 无穷乘积的敛 散性。第十章 函数项级 数 1.函数项级 数的一致收
6、敛 性 2.一致收敛 级数的判别与 性质 3.幂级数最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息 4.函数的幂 级数展开 5.用多项式 逼近连续函数本章教学 要求 ： 掌握函数 项级数 （ 函数序列 ） 一致收敛 性概念 ， 一致收敛 性的判别法与一致收敛 级数的性质 ， 掌握幂级 数的性质 ， 会熟练展 开函数为幂级 数 ， 了解函数 的幂级数展开的重要应 用。第十一章 Euclid空间上的 极限和连续 1.Euclid空间上的 基本定理 2.多元连续 函数 3.连续函
7、数 的性质本章教学 要求：了解 Euclid空间的拓 扑性质，掌握 多元函数的极 限与连续性的 概念，区分它们与一元 函数对应概念 之间的区别， 掌握紧集上连 续函数的性质 。第十二章 多元函数 的微分学（ 1 5） 1.偏导数与 全微分 2.多元复合 函数的求导法 则 3.Taylor公式 4.隐函数 5.偏导数在 几何中的应用第十二章 多元函数 的微分学（ 6 7） 6.无条件极 值 7.条件极值 问题与 Lagrange乘数法本章教学 要求 ： 掌握多元 函数的偏导数 与微分的概念 ， 区分它们 与一元函数对 应概念之间的 区别 ， 熟练掌握 多元函数与隐 函数的求导方 法 ， 掌握偏导
8、 数在几何上的 应用 ， 掌握求多 元函数无条件极值 与条件极值的 方法。第十三章 重积分 1.有界闭区 域上的重积分 2.重积分的 性质与计算 3.重积分的 变量代换 4.反常重积 分 5.微分形式本章教学 要求 ： 理解重积 分的概念 ， 掌握重积 分与反常重积 分的计算方法 ， 会熟练应 用变量代换法计算 重积分，了解 微分形式的引 入在重积分变 量代换的表示 公式上的应用 。第十四章 曲线积分 与曲面积分 1.第一类曲 线积分与第一 类曲面积分 2.第二类曲 线积分与第二 类曲面积分 3.Green公式， Gauss公式和 Stokes公式 4.微分形式 的外微分 5.场论初步最新下
9、载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息本章教学 要求 ： 掌握二类 曲线积分与二 类曲面积分的 概念与计算方 法 ， 掌握 Green公式 ， Gauss公式和 Stokes公式的意 义与应用 ， 理解外微 分的引入在给 出 Green公式 ， Gauss公式和 Stokes公式统一 形式上的意义 ，对场论知识 有一个初步的 了解。第十五章 含参变量 积分 1.含参变量 的常义积分 2.含参变量 的反常积分 3.Euler积分本章教学 要求 ： 掌握含参 变量常义积分 的性
10、质与计算 ， 掌握含参 变量反常积分 一致收敛的概念 ， 一致收敛 的判别法 ， 一致收敛 反常积分的性 质及其在积分 计算中的应用 ， 掌握 Euler积分的计 算。第十六章 Fourier级数 1.函数的 Fourier级数展开 2.Fourier级数的收 敛判别法 3.Fourier级数的性 质 4.Fourier变换和 Fourier积分 5.快速 Fourier变换本 章教 学要 求： 掌 握周 期函 数的 Fourier级 数展 开方 法， 掌 握 Fourier级 数的 收敛 判别 法 与Fourier级数的性 质，对 Fourier变换与 Fourier积分有一 个初步的了解
11、。试题一、解 答下列各题1、 求极限 lim tan tansinln( ).x x x 2 212、 .d)1( 3 xee xx +求3、 求极限 lim . . .x x xx x x + + + +100 10 101 001 000123 24、 ，求设 ytdtxy x = 30 22 sin5、 设 ， ；， 求 ，其中 f x x x xx x x f a f a a( ) ( ) ( )= + + + 2 2 1 12 1 1 1 06、 求极限 lim lnx x x 12 17、 设 ，求y x x y= + + ( )ln( )3 1 3 18、 求 dxxx 210
12、2319、 设 ，求 yx xe dyx x( )= =3 2 1最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息10、 求由方程 常数 确定的隐函数的微分 x y a ay yx dy23 23 23 0+ = = ( )( )11、设 由 和 所确定试求 y yx x s y sdydx= = + = ( ) ( ) ( ) ,1 12 12 2 1212、 设 由方程 所确定 求y yx y e yx yx= = +( ) ,13、 若 证明x x x x + + 0
13、1 22 2, ln( )14、 求 +161 4 xxdx15、 求 21 24 xx dx16、 .)1)(1( d 2 + xx x求二、解 答下列各题1、 ?,20, 问其高应为多少要使其体积最大其母线长要做一个圆锥形漏斗 cm2、 求曲线 与 所围成的平面图形的面 积y x y x= =2 2 .3、 求曲线 和 在 上所围成的平面图形的 面积y x y x= =2 3 01, .三、解 答下列各题证明方程 在区间 ， 内至少有一个实根x x5 7 4 1 2 = ( )四、解 答下列各题 )判 定 曲 线 在 ， 上 的 凹 凸 性y x x= + +( )3 0第二部 分（ 1）
14、 课程名 称 ：微分几 何（ 2） 基本内 容 ：三维空 间中经典的曲 线和曲面的理 论。主要内容 有：曲线 论 ， 内容包括 ： 曲线的切 向量与弧长 ； 主法向量 与从法向量 ； 曲率与扰 率 ； Frenet标架与 Frenet公式 ； 曲线的局 部结构 ； 曲线论的 基本定理 ； 平面曲线 的一些整体性 质 ，最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息如 切 线 的 旋 转 指 标 定 理 ， 凸 曲 线 的 几 何 性 质 ， 等 周 不 等 式 ， 四 顶
15、点 定 理 与Cauchy-Crofton公式 ；空 间曲 线的一 些整 体性 质，如 球面 的 Crofton公式 ， Fenchel定理与 Fary-Milnor定理。曲面 的局部 理论 ， 内容包括 ： 曲面的表 示 、 切向量 、 法向量 ； 旋转曲面 、 直纹面与 可展曲面； 曲面的第一基 本形式与内蕴 量；曲面的第 二基本形式； 曲面上的活动 标架与基本 公式； Weingarten变换 与曲面 的渐近 线、共 扼线； 法曲率 ；主方 向、主 曲率与 曲率线 ； Gauss曲率和平 均曲率 ； 曲面的局 部结构 ； Gauss映照与第 三基本形式 ； 全脐曲面、极 小曲面与常 Ga
16、uss曲率曲 面；曲面论 的基本定理 ；测地曲率 与测地线； 向量的平行移动 。基 本要 求 ： 通过 本课 程的 学习 ，学 生应 掌握 曲线 论与 曲面 论中 的一 些基 本几 何概 念与 研究 微分几何的 一些常用方法 。 以便为以 后进一步学习 、 研究现代 几何学打好基 础 ； 另一方面 培养学生理论联 系实际和分析 问题解决问题 的能力。二 、 讲授纲 要 第一章 三维欧 氏空间的曲 线论1 曲线 曲线的 切向量 弧长教 学要 求： 理解 曲线 的基 本概 念、 会求 曲线 的切 向量 与弧 长、 会用 弧长 参数 表示 曲线。2 主法向 量与从法向 量 曲率与 扰率教学要求 ：理
17、解曲率与 挠率、主 法向量与从法 向量、密切平 面与从切平面 等基本概念，会计 算曲率与挠率 。3 Frenet标架 Frenet公式教学要求 ：掌握 Frenet公式，能 运用 Frenet公式去解 决实际问题。4 曲线在 一点邻近的 性质 教学要求 ：能表达曲线 在一点领域内 的局部规范形 式，理解扰率 符号的集合意 义。5 曲线论 基本定理 教学要求 ：掌握曲线论 的基本定理， 能求已知曲率 与扰率的一些 简单的曲线。6 平面曲 线的一些整 体性质6 1 关于闭 曲线的一些 概念6 2 切线的 旋转指标定 理6 3 凸曲线 *6 4 等周不 等式 *6 5 四顶点 定理 *6 6 Cau
18、chy-Crofton公式 *教 学要 求： 理解 平 面曲 线的 一些 基 本概 念： 闭曲 线 、简 单曲 线、 切 线像 、相 对全 曲最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息率、旋转 指标、凸曲线 。掌握平面曲 线的一些整体 性质：简单闭 曲线切 线的旋转 指标定理，凸 曲线的几何性 质，等周不等 式，四顶点定 理与Cauchy-Crofton公式。7 空间曲 线的整体性 质7 1 球面的 Crofton公式 *7 2 Fenchel定理 *7 3 Fary-
19、Milnor定理 *教学要求 ：理解全曲率 的概念。掌握 空间曲线的一 些整体性质： 球面的 Crofton公式， Fenchel定理与 Fary-Milnor定理。第二章 三维欧 氏空间中曲 面的局部几 何1 曲面的 表示 切向量 法向量1 1 曲面的 定义1 2 切向量 切平面1 3 法向量1 4 曲面的 参数表示1 5 例1 6 单参数 曲面族 平面族 的包络面 可展曲 面教学要求 ： 掌握曲面 的三种局部解 析表示 ； 会求曲面 的切平面与法 线 ； 了解旋转 曲面与直纹面 的表示；掌握 可展曲面的特 征。2 曲面的 第一、第二 基本形式2 1 曲面的 第一基本形 式2 2 曲面的 正
20、交参数曲 线网2 3 等距对 应 曲面的 内蕴几何2 4 共形对 应2 5 曲面的 第二基本形 式教学要求 ： 掌握曲面 的第一基本形 式及相关量 曲面上曲 线的弧长 、 两相交曲 线的交角与面 积的计算 ， 并理解其 几何意义 ； 了解等距 对应与共形对 应 ； 掌握第二基本 形式。3 曲面上 的活动标架 曲面的 基本公式3 1 省略和 式记号的约 定3 2 曲面上 的活动标架 曲面的 基本公式3 3 Weingarten变换 W3 4 曲面的 共轭方向 渐近方 向 渐近线教学要求 ： 掌握曲面 上的活动标架 与曲面的基本 公式 ， 能求正交 参数曲线网的 联络系最新下 载 (NewD) 中
21、国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息数 ；理 解 Weingarten变 换与 共轭 方 向、 渐近 方向 ， 会求 一些 简单 曲 线的渐近曲线 。4 曲面上 的曲率 4 1 曲面上 曲线的法曲 率4 2 主方向 主曲率4 3 Dupin标线4 4 曲率线4 5 主曲率 及曲率线的 计算 总曲率 平均曲 率4 6 曲率线 网4 7 曲面在 一点的邻近 处的形状4 8 G aussG G G 映照及 第三基本形 式4 9 总曲率 、平均曲率 满足某些性 质的曲面教学要求 ： 理解法曲 率 、
22、 主方向与 主曲率 、 曲率线 、 总曲率和 平均曲率概念 与几何意义 ， 并会对它 们进行计算 ； 掌握 Gauss映照及第 三基本形式 ； 能对全脐 曲面与总曲 率为零的曲面 进行分类 ； 掌握极小 曲面的几何意 义并会求一些 简单的极小 曲面。5 曲面的 基本方程及 曲面论的基 本定理 5 1 曲面的 基本方程5 2 曲面论 的基本定理教学要求 ：掌握、理解 曲面的基本方 程与曲面论基 本定理。6 测地曲 率 测地线6 1 测地曲 率向量 测地曲 率6 2 计算测 地曲率的 Liouville公式6 3 测地线6 4 法坐标 系 测地极 坐标系 测地坐 标系6 5 应用6 6 测地扰 率
23、6 7 G auss-BonnetG G G 公式教学要求 ： 理解与掌 握测地曲率和 测地线 、 测地扰率 、 法坐标系 、 测地极坐 标系与测地 坐标 系的 定义 及其 几何 意义 ；能 用 Liouville公 式计 算测 地曲 率与 测地线 ； 能 用测 地 极 坐 标 系 对总 曲 率 为 常 数 的曲 面 进 行 研 究 ；理 解 （ 局 部 ）Gauss-Bonnet公式。7 曲面上 的向量的平 行移动 7 1 向量沿 曲面上一条 曲线的平行 移动 绝对微 分最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、
24、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息7 2 绝对微 分的性质7 3 自平行 曲线7 4 向量绕 闭曲线一周 的平行移动 总曲率 的又一种表 示7 5 沿曲面 上曲线的平 行移动与欧 氏平面中平 行移动的关 系教学要求 ：理解向量沿 曲面上一条曲 线的平行移动 与绝对微分。习题 ：1. 证明推论 2.3.1，2. 设 X， Y为 Banach空间 ， Xbatx ,:)( 是连续抽 象函数 , 对有界线 性算子 YXT : ，证明： Tx在 , ba 上 R可积， 并且 =ba ba dttxTdttTx )()( 。3. 设 , baC 到 , baC 中的算子 T由 +=ta ds
25、sxstTx 22 )()1()( 给出 ， T在任一元 素 x处是否 F可导？ 若答案肯定， 求导算子 )(xT 。4. 设 f 是 nR到 R中 的 一 个 1C映 射 。 证 明 ： f 在 nRx 0 处 沿 方 向 nRh 的 G 微 分);( 0 hxdf 等于 gradf(x0)hT,这里 gradf =（ nxfxfxfxf L, 321 ） , ;),( 21 nhhhh L=在 nne xxxxxxxxf 132131 ),;( += LL 和 ),1,0,0,0,3,2,1( L=h)1,2,3,1,(0 L= nnx 的情 况下计 算 );( 0 hxdf ，又 问：
26、f 在 nRx 处的 F导 数是什 么？当 nnxxxxxf += L33221)( 时求 )(xf 。5. 设 32: RRT 由 )54,3,(),( 222 yxyxyyxyxT += 定义 ， 求 T在 （ 1， 2） 处沿方向（ 1， 1）的 G微分。解 ： 写 += yx yxy yxyxT 54 32 22 ， 知 += 54 32 222 xyy yxyxT ， 故 所 求 G 微 分 为= =1521154 14421121T 。最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站
27、 转载请 保留本信息6. 设 X、 Y是赋范线 性空间， T： YX由 XxyAxTx += ,0 定义，其Yy 0 ， AB(X,Y)，证明 T在 Xx 处 F 可微，且 求其 F 导算子。解：ooo yAhAxyAxyhxAxThxTXhXx +=+=+ )()()()(,+= AhyAx o ， 由于 AB(X,Y)， 且 Thh ),0(,001 = 在 x处是 F 可微的 ，且 AxT = )( 。7. 设 23: RRT 由 ( ) 3222 ),(,)2,23(), RzyxRxzyyxzyxT += 确 定 ， 求 T在（ 1， 2， 1）处的 F 导数。解 ： 采用列向 量表
28、示 ， T将 zyx 变换成 +xzy yx 22322 ， 故 T在 zyx 处的 F 导数应是 变换T的 Jacobi矩阵 xyzx 222 026 ，在 )1,2,1(),( =zyx 处，此矩 阵为 242 026 ， 在列向量表 示下， T在（ 1， 2， 1）处的 F 导数作为 线性算子就是 此常数矩阵决 定的变换 ：,242 026 3321321321 Rhhhhhhhhh a 右端即 2321 21 242 26 Rhhh hh + 故 T在（ 1， 2， 1）处的 F 导数就是 将 ),( 321 hhh 变换为 )242,26( 32121 hhhhh + 的线性变 换。
29、备注 1：这一答 案保持了原题 用行向量叙述 的方式 。 备注 2： 当 23: RRT 表示为 3222 ,223 RzyxRxzy yxzyxT += ， 我们可得 T在 zyx处的 F 导数是： = xyzxzyxT 222 026 ，即 3321321321 ,222 026 RhhhhhhxyzxhhhzyxT = ，故 = 321121 hhhT 3321321 21 ,242 26 Rhhhhhh hh + 或 = 242 026121T ，算子对 向量的作用以 相应的矩阵对 向量的左乘表 示 。 最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信
30、息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息第三部 分1. 高等代 数基本定理设 K为 数 域 。 以 xK 表 示 系 数 在 K上 的 以 x为 变 元 的 一 元 多 项 式 的 全 体 。 如 果)0(,)( 0110 += axKaxaxaxf nnn ， 则称 n为 )(xf 的次数 ， 记为 )(deg xf 。定理 （高等代 数基本定理） C x的任一元 素在 C中必有零 点。命题 设 )10(,)( 0110 += naaxaxaxf nnn ， 是 C上一个 n次多项式 ， a是一个复数 。则存在 C上首项系 数为 0a的 1n 次
31、多项式 )(xq ，使得)()()( afaxxqxf +=证明 对 n作数学归 纳法。推论 0x为 )(xf 的零点， 当且仅当 )( 0xx 为 )(xf 的因式（ 其中 1)(deg xf ） 。命 题 （ 高 等 代 数 基 本 定 理 的 等 价 命 题 ） 设 nnn axaxaxf += )( 110)10( 0 na ， 为 C上的 n次多 项式， 则它可 以分解 成为一 次因式 的乘积 ，即存 在 n个复 数naaa , 21 ，使 )()()(210 nxxxaxf =证明 利用高等 代数基本定理 和命题 1.3，对 n作数学归 纳法。2高等 代数基本定 理的另一种 表述方
32、式 定义 设 K是一个数 域， x是一个未 知量，则等式0 1110 =+ nnnn axaxaxa （ 1）（其中 0, 010 aKaaa n ） 称为数域 K上的一个 n次 代数 方程 ； 如果以 Kx = 带入（ 1）式后使 它变成等式， 则称 为方程（ 1）在 K中的一个 根 。定理 （ 高等代数 基本定理的另 一种表述形式 ） 数域 K上的 )1(n 次代数方 程在复数域 C内必有一 个根。命题 n次代数方 程在复数域 C内有且恰 有 n个根（可 以重复 ） 。命题 （高等代 数基本定理的 另一种表述形 式）给定 C上两个 n次、 m次多项式)0()( 10 += nnn axax
33、aaxf ，)0()( 10 += mmm bxbxbbxg ，最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息如果存在 整整数 l , nlml , ,及 1+l 个不同的 复数 121 , +ll ，使得)1,2,1()()( += ligf ii ，则 )()( xgxf = 。1.2.2 韦达定 理与实系数 代数方程的 根的特性设 10 1( ) n n nf x ax ax a= + + +L ， 其 中 0, 0ia Ka 。 设 ( ) 0f x = 的 复 根
34、 为1 2, , , n L（可能有 重复 ） ，则1 21011 2 1 21 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .n i ni n nn nf x x x x xa x x = = = + + + + + LL L L所以)()1( 21101 naa += L ；= nii iiaa 21 210202 )1( ；LLLLLLLL.)1( 210 nnnaa L=我们记 1),(210 =n L ；nn += LL 21211 ),( ；LLLLLLLL= niii iiinr r rL LL 21 21021 ),( ；LLLLLLLLnnn LL 2121 ),( =（ 1
35、 2, , , n L称为 1 2, , , n L的 初等对 称多项式 ） 。于是有定理 2.5(韦达定理 ) 设 10 1( ) n n nf x ax ax a= + + +L ， 其中 0, 0ia Ka 。 设 ( ) 0f x =的复根为 1 2, , , n L。则最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息),()1( 211101 naa L= ；),()1( 212202 naa L= ；LLLLLLLL).,()1( 210 nnnnaa L=命题
36、给定 R上 n次方程 01110 =+ nnnn axaxaxa ， 00 a ，如果 ba+= i是方程的 一个根，则共 轭复数 ba= i也是方程 的根。证明 由已知，10 1 1 0n n n na a a a + + + + = .两边取复 共轭，又由于 naaa , 10 R，所以10 1 1 0n n n na a a a + + + + = .高等代 数试题设 VVL ),( ， 并且 ， )( ， ， )(1 k 都不等于 零 ， 但 0)( =k ， 证明 ： ，)( ， ， )(1 k 线性无关答案：按 线性无关的定 义证明2、 令 xFn 表 示 一 切 次 数 不 大
37、于 n的 多 项 式 连 同 零 多 项 式 所 成 的 向 量 空 间 ，)()(: xfxf a ，求 关于以下 两个基的矩阵 ：（ 1） 1， x， 2x， ， nx，（ 2） 1， cx ， !2)( 2cx ， ， !)( ncx n ， Fc最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息答 ： （ 1）0000 0000200 0010LLLLLLL LLn （ 2） 0000 10000100 0010LLLLLLL LL3、 4F表示数域 F上四元列 空间
38、取 =7931 18133211 1511A 对于 4F ，令 A=)(求 )dim (ker( ， )dim (Im ( 解： 2)( =AR ，取 4F的一 个基 （如 标准基 ） ，按 列排 成矩 阵 B，矩 阵 AB的列 向量 恰是 这个基的象 。又 0B ，所以 2AR)AB(R ）（ 所以 2)dim (Im ( 2)(4)dim (ker( = AR解空间的秩4、 设 F上三维向 量空间的线性 变换 关于基 321 , 的矩阵是678 8152051115 ，求 关于基321332123211224332 += +=+= 的矩阵= 3211ATTB=211 243132T5、 令
39、 是 数 域 F上 向 量 空 间 V的 一 个 线 性 变 换 ， 并 且 满 足 条 件 ， 证 明 ： （ 1） V= )()ker(（ 2） )Im ()ker( =V证明 ： （ 1） V )( ，则0)()()()()()( 2 = ， )( Ker反之， )( Ker ， 0)( = ， V= )()(于是 V= )()ker(最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息)()(, += V ，即 )Im ()ker( +=V设 )Im ()ker( 由 )Im ( ， 有 V ， 使 得）（）（，所以因 22 ),()(,)( = 又 )ker( ，所以00 ）（，于是）（ ，即 0 所以 0)Im ()ker( 6、 设 = 163 053 064A ，求 10A解：特征 值 21 321 ， 特征向量 T），（ 1001 T），（ 0122 ， T），（ 1113 ），（ 321 P 则 ，=APP1 11010 = PPA最新下 载 (NewD) 中国最 大、最专业 的学习资料 下载站 转载请 保留本信息
