2016考研数学笔记(公式背诵).pdf-道客多多

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1、1 高等数学高中公式三角函数公式和差角公式和差化积公式 sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sin() 11()tg tgtgtg tgctg ctgctgctg ctg sin sin 2 sin cos22sin sin 2 cos sin22cos cos 2 cos cos22cos cos -2 sin sin22 积化和差公式倍角公式 1sin cos sin( ) sin( )21cos sin sin( ) sin( )21cos cos cos( ) cos( )21sin sin cos( ) cos( )2 2222

2、2222233322 ta nsin 2 2 sin c os1 ta nc os 2 2 c os 1 1 2 sin1 ta nc os sin1 ta n212 212sin 3 3 sin 4 sinc os 3 4 c os 3 c os3313tg ctgtg ctgtg ctgtg tgtgtg 半角公式 1 c os 1 c ossin c os2 2 2 21 c os 1 c os sin2 1 c os sin 1 c os1 c os 1 c os sin2 1 c os sin 1 c ostgctg 11V = S H V = S H V = H ( S + + S

3、 )33 SS 棱柱棱锥棱台球的表面积： 4R2 球的体积：343R椭圆面积： ab 椭球的体积： 43abc第 1 章极限与连续 1.1 集合、映射、函数空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：凡有上 (下 )界的非空数集必有有限的上 (下 )确界。映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，因变量，基本初等函数 1.2 数列的极限性质： 1. （唯一性）收敛数列的极限必唯一。 2. （有界性）收敛数列必为有界数列。 3. （子列不变性）若数列收敛于 a，则其任何子

4、列也收敛于 a。注 1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。注 2. 若数列 xn有两个子列 xp,xq均收敛于 a，且这两个子列合起来就是原数列，则原数列也收敛于 a。注 3. 性质 3 提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：若能从该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。 4. （对有限变动的不变性）若数列 xn收敛于 a，则改变 xn中的有限项所得到的新数列仍收敛于 a。 5. （保序性）若 lim ,limnnnnx a y b ，且 aN 时，有xnN 时， xnynzn，且 limnxn= limnzn=a, 则 limnyn=a。

5、 2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。 3.柯西收敛准则：数列 xn收敛的充要条件是：对于任意给定的正数，都存在正整数 N ，使得当 m， nN 时，有 |xm-xn|0, 0, x,x 0( , )oUx ,有 |f(x)-f(x)|0() f(x1)+(1-) f(x2), (0,1). 3. f(x0)()0. 若函数 f(x)在点 x0 处凹凸性相反，则点 x0 称为 f(x)的拐点。拐点的必要条件： f(x0)=0 或 f(x0)不存在。拐点的充要条件： f(x)经过时变号。渐近线： 1.垂直渐近线： x=a 是垂直渐近线

6、 0limxa或0limxa. 3 2.斜渐近线： f(x)=ax+b, ()lim , lim ( ( ) )xxfxa b f x axx 或 ()lim , lim ( ( ) )xxfxa b f x axx （水平渐近线为其特例）。函数作图的步骤： 1. 确定函数的定义域； 2. 观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等； 3. 判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线； 4. 确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表； 5. 适当确定一些特殊点的函数值； 6. 根据上面提供的数据，作图。第 4 章积分 4.1 不定积分 4.1.1.基本积分表 11 1 1l n |

8、11a r c t a n a r c c ot1Cx dx x C x dx x Cx x dx x C x x dx x Cdx x C x Cxdx x C x Cx 或或22 222222 222222 2222 2 2 22 2 2 21 1 1a r c t a n a r c si n1 1 1l n | | l n | |21 1 1l n | | l n( )2a r c si n222xxdx C dx Ca x a a aaxaxdx C dx x x a Ca x a a x xaxadx C dx x x a Cx a a x a xax a xa x dx a x

9、Caxx a dx x a 22222 2 2 2 2 22222ln2l n( )22c os ( c os si n )si n ( si n c os )axaxaxaxax x a Cxax a dx x a x x a Cee bx dx a bx b bx Cabee bx dx a bx b bx Cab 不可积的几个初等函数： 2 221 s in c o ss in c o slnx xxe x xx x x 4.1.2.换元积分法和分部积分法换元积分法： 1.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。 2.第二类换元积分法，拆分。分部积分法： ( ) ( ) ( ) ( )

10、( ) ( )u x v x d x u x v x u x v x d x 4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分有理函数 ()()()PxRxQx的积分可以归结为下列四种简单分式的积分：（ 1） Adxxa ；（ 2） A()ndxxa；（ 3）2Mx+N dxx px q；（ 4）2 Mx+N()n dxx px q 12 2 2 2 2 1 21 2 3( ) 2 ( 1 ) ( ) 2 ( 1 )nnnnd x x nIIx a a n x a a n 三角函数有理式的积分一般用万能代换 tan2x t，对于如下形式可以采用更灵活的代换：对于积分 22(sin ,c

11、os )R x x dx ，可令 tanx=t；对于积分 (sin )cosR x xdx ，可令 sinx=t；对于积分 (cos )sinR x xdx ，可令 cosx=t，等等。某些可化为有理函数的积分 1. ( , )n ax bR x dxcx d型积分，其中 n1，其中 ad bc。这里的关键问题是消去根号，可令 ax b tcx d 。 2. 2(,R x ax bx cdx 型积分 , 其中 2 40b ac， a 0 。由于222 24()24b ac bax bx c a x aa ，故此类型积分可以化为以下三种类型： 22( , )R u k u dx

12、，可用三角替换 sinu k t ； 22( , )R u u k dx ，可用三角替换 secu k t ； 22( , )R u u k dx ，可用三角替换 tanu k t 。 1 21tan tan1nnnnI xdx x In 倒代换： 2411 x dxx， 2411 xdxx，由此还可以求出411 dxx， 241x dxx 2211s in c o s , ( 0 )s in c o sa x b x dx a ba x b x 解：设 11s i n c o s ( s i n c o s ) ( c o s s i n )a x b x A a x b x B a x b

13、 x ，为此应有11aA bB abA aB b ，解得 1 1 1 12 2 2 2,aa bb ab baABa b a b，故 11s i n c o s ( s i n c o s )s i n c o s s i n c o sa x b x a x b xd x A d x B d xa x b x a x b x 1 1 1 12 2 2 2 l n | s i n c o s |a a b b a b b ax a x b x Ca b a b 4.2 定积分 4.2.1.可积条件可积的必要条件：若函数 f(x)在闭区间 a,b上可积，则 f(x)在 a,b上有界。可积函数

14、类：闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。 4.2.2.定积分的计算 1.换元积分法 ( ) ( ( ) ( )ba f x dx f t t dx 从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类换元积分法。 2.分部积分法 ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( )bbbaaau x v x d x u x v x u x v x d x 常见的积分和式 11( ) ( )( ) l im ( )( 1 ) ( ) ( )( ) l im ( )nba n inba n ii b a b af x d x f a nni b a b af x d

15、 x f a nn 4 101 1lim ( ) ( )nni if f x dxnn 220020020 0 0( sin ) ( c o s )( sin ) 2 ( sin )( sin ) ( sin ) ( sin )2f x d x f x d xf x d x f x d xx f x d x f x d x f x d x 22 200 1s i n c o s ,nnn n nnI x d x x d x I In 使用分部积分法的常见题型：被积函数的形式所用方法 ( ) , ( ) sin , ( ) cosxn n nP x e P x x P x x 进行 n 次

16、分部积分，每次均取,sin ,cosxe x x 为 ()vx ( ) ln , ( ) sin , ( ) arctann n nP x x P x arc x P x x 取 ()nPx为 ()vx sin , cosxxe x e x 取 xe 为 ()vx ，进行两次分部积分 4.2.3.定积分的应用 (1)平面图形的面积 21( ) ( ) ( )2d S f x d x y d y r d (2)旋转体的体积 22( ) ( ) 2 ( )d V f x d x y d y xf x d x (3)弧长、曲率弧微分公式： 2 2 2 2( ) ( ) 1 ( )

17、 1 ( )d s d x d y f x d x y d y 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x t y t dt r r d 曲率：2 2 3 / 2 2 3 / 2| ( ) ( ) ( ) ( ) | | | ( ) ( ) (1 )d y t x t y t x t yK d s x t y t y (4)静矩、转动惯量 mr, mr2 (5) 122mmFGr 引力均匀细杆质量为 M，长度为 l，在杆的延长线上离右端为 a 处有一质量为 m的质点，则质点与细杆之间的引力为 F=kMm/a(a+l). 均匀圆环质量为 M，半径为 r，在圆心的正上方距离为 b 处有一

18、质量为 m的质点，则质点与均匀圆环之间的引力为3222F=()kMmbrb. 均匀圆盘可以看作是无数个均匀圆环。 4.3 广义积分广义积分审敛法 1.比较法 f(x)kg(x),k0 2.比较法的极限形式 ()lim()x fxkgx 3.柯西收敛准则 | ( ) |AA f x dx 几个常见的广义积分 , 1 , 11 . , 0 , 0(), 1 , 1, 1 , 03 . , 1 , 0ln , 1 , 0kbppaaxpppd x d xaax x apdx a x e d x kxx p 收敛收敛；发散发散收敛收敛；发散发散 2011 I=(1 )(1 )

19、 4xI dx txx 2xe dx 第 5 章无穷级数常数项级数敛散性的判定 1.若 lim 0nn u，级数发散，等于零，需进一步判定。 2.若1nn u为正项级数，根据一般项的特点选择相应判别法：一般项中含有 n!或 n 的乘积形式，采用比值判别法；一般项中含有以 n 为指数幂的因子，采用根值判别法；一般项中含有形如 n（不一定是整数）的因子，采用比较判别法；利用已知敛散性的结果，结合级数的性质，判别其敛散性；采用定义，部分和数列 Sn有上界。 3. 若1nn u为任意级数，若其为交错级数，采用莱布尼茨判别法，若不为交错级数或是交错级数但不满足莱布尼茨判别法

20、的条件，采用比值判别法和根值判别法。求函数项级数的收敛域：（ 1）比值法1()lim| | 1()nn nuxux ；（ 2）根值法 lim ( ) 1n nn ux 。求幂级数的收敛域：（ 1）比值法11()lim | | lim | | 1()nnnna u xa u x 或；（ 2）根值法 lim | | lim ( ) 1nnnnnna u x = 或。常数项级数的求和： 1.直接计算部分和 Sn，然后求极限； 2.利用相应的幂级数。幂级数的求和：利用逐项求导，逐项积分，四则运算等手段，将其化为可求和形式（即前面的麦克劳林公式）。求函数的幂级数展开式：就是

21、求泰勒公式（前面有求泰勒公式的三个方法）。傅立叶级数01() 2( cos sin )nnnafxa nx b nx， 1 ( ) cos1 ( ) sinnna f x nxdxb f x nxdx 狄利克雷充分条件()( 0 ) ( 0 )()21 ( 0 ) ( 0 ) 2fxf x f xSxf f x ，续点，间断点，几个重要的级数 1.几何级数11 | | 1| | 1nn qaq q 当时收敛当时发散2.p-级数111n 1pn 当 p 时收敛当 p 时发散 3.2 11 =ln 1pn pnn p 当时收敛当时发散4.0 1!n en

22、 5. 221 1 6n n 第 6 章微分方程 1. 可分离变量方程 ( ) ( )dy g x h ydx2.1 1 12 2 2( , ) ( )()d y yf x yd x xa x b y cdy fd x a x b y c 齐次方程可化为可分离变量方程的方程可化为齐次方程的方程3.一阶线性方程 ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) )P x d x P x d xdy P x y Q y y e C Q x e d xdx 5 4.伯努利方程1( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )d y d zP x y Q

23、 x y y z P x z Q xd x d x 令5.全微分方程特殊路径法，凑微分法 6. y ( , ) ,x ( , ) ,dpy f x y p y ydxdpy f y y p y y y dy 不含令可降阶的高阶方程不含令7.12 1 21 1 2 2( 1 )( 2) ( )( ) ( ) 0( 3 )(yy u x y yy p y q x yy c y c yy p x 已知二阶齐次线令，代入求出性微分二阶非齐次方程121 1 2 2*1 1 2 2 1 21 1 2 2*1 1 2 2( 1 ) ,0( 2) ( ) (

24、) ( ) ( ) , ,) ( ) ( ) ()( 3 )yyu y u yy u x y x u x y x u uy q x y f x u y u y f xy c y c y y 求出对应齐次方程的令求出 8.常系数线性微分方程二阶齐次 ()y pxy () 0qxy 特征方程的根微分方程的线性无关解微分方程的通解互异实根 r1,r2 12,rx rxee 12rx r xy ce ce 二重实根 r1=r2=r ,rx rxe xe 12()rxc cxe 共轭复根 r1,2=i cos , sinxxe xe x 12( cos sin )xe

25、c x c x 二阶非齐次 ()y pxy () ()qxy f x （ 1）求对应齐次方程的 y1,y2 （ 2）01 2* ( ) ( . . . )( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )x k m xmmy Q x e x A A x A x eQ x p Q x p q Q x p x 令（ 3） *1 1 2 2y c y c y y 9.欧拉方程 ( ) 1 ( 1 )11()11. . . ( ), , ( 1 ) . . . ( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 ) ( 1 ) . . . ( 2 ) . . . ( )n n n n nnkt k k kk

26、tnx y p x y p x y p y f xdx e D x y D D D k ydtD D D n p D D D n p D y f e 令则第 7 章向量代数与空间解析几何 ()( , , ) ( ) = x y zx y z x y zx y z x y zi j k a a aa b a a a a b c a b c b b bb b b c c c 叉积混合积平行六面体的体积0 0 0( ) ( ) + C( z - z ) = 010A x x B y yx y za b cA x B y Cz D 点法式三点式混合积为零平

27、面方程截距式一般式0000 0 01 1 1 12 2 2 200x x mty y ntz z ptx x y y z zm n pA x B y C z DA x B y C z D 参数式直线对称式方程一般式平面束方程 1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C z D A x B y C z D 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2|c o s s in ( )A A B B C CA B C A B C 两平面夹角平面与直线的夹角两直线夹角点到直线的距离0 0 02 2

28、2|Ax By Czd A B C点到直线的距离 10|pp sd s2 2 2 222 2 2 22 2 22 2 2 22 2 21 - 1 20()()()zx z x zx pza b a bx y zx y z Rabcx x ty y tz z t 绕轴旋转柱面：椭圆柱面双曲柱面抛物柱面球面椎面常见二旋转面次曲线22222 2 2222 2 222 222 2 222222 2 222( ) ( ) c os( ) ( ) si n()+1+( , ) 1 ( )( , ) 001 ( )2zx x t y ty x t y tz z t

29、x y zabx y zf x zf x y z abyx y zabx y pzx y za b c 绕轴旋转旋转椭园面旋转双单叶曲面双叶旋转抛物面椭球面222 2 2 222 2 2 2 2222()11- ( )xyzx y z ababc xyzab 椭圆单双曲面抛物面双双曲第 8 章多元函数微分学复合函数微分法，关键在于确定哪些是中间变量，哪些是自变量 12( , , . , )1 ( , )( , , ) 0 ( , )( , , ) 0 1 ( , )( , )(,iniyFxyF x x xxFdu F GF x u

30、v dx J x vG x u v dv F Gdx J u xF x y 由方程确定的隐函数隐函数微由方程组确分定的隐函数法1 ( , ) 1 ( , ), , ) 0 ( , ) ( , )( , , , ) 0 1 ( , ) 1 ( , ),( , ) ( , )u F G du F Guv x J x v y J y vG x y u v v F G v F Gx J u x y J u y 0 0 000( ( ) , ( ) , ( ) )( ) , ( )( , ) ( , ) ( , )( , ,( , ) ( , ) ( , )x t y

31、 t z ty x z xF G F G F Gy z z x x y 曲线的切线和法平面0 0 00 0 0 0( ( ) , ( ) , ( ) )( ( , ) , ( , ) , 1 ), ) ( , ) ( , )( , , )( , ) ( , ) ( , )x y zxyF P F P F Pf x y f x yy z z x x yu v u v u v 曲面的切平面和法线二元函数泰勒公式 ( ) ( 1 )0 0 0 0 0 00( ) ( )( , ) ( , ) ( , )!knnkh l h lx y x yf x h y l f x y

32、f x h y lkn 多元函数取极值的必要条件： 0 0 0 0( , ) 0 , ( , ) 0xyf x y f x y 0 0 0 02221 . ( , ) 0 , ( , ) 02 . ( 1 ) 0 , 0 , 0 ,( 2 ) 0 , 0 ,( 3 ) 0xyf x y f x yA C B A AA C B AA C B 多元函数正定 , 有极小值 ; 负定 , 有极大值取极值的不定 , 无极值充分条件 , 不能确定求条件极值，用拉格朗日数乘法 0m in ( m a x ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( ,

33、 ) , 0( , ) 0 ( , ) 0xyFz f x y F x y f x y x y Fxy xy 或令有方向导数：偏导数是函数在平行于坐标轴方向上的变化率，有时需要考虑函数沿某一指定方向的变化率，这种变化率就是方向导数。 6 方向导数 c o s c o s c o su u u ul x y z 梯度 ( , , )uuux y z 第 9 章多元函数积分学 9.1 二重积分 2121()()()()1. ( , )2.y ( , )( , )3 . ( ( , )( , )b y xa y xd x yc x yDx I dx f x y dy

34、I dy f x y dxx x u vI f x uy y u vI f x y d 型区域型区域二重积分换元法令 , ) , ( , ) ) | |1 ( , )c os2 ( c os , si n )si nDDDv y u v J dudvx u aI f u a v b dudvy v bxrI f r r rdr dyr 平移变换令极坐标变换令9.2 三重积分 ( , , )2. ( , , ) ( ( , , ) , ( .) , ( .) ) | |( , , )( 1 )( , , )vvx x u v wy y u v w I f

35、x u v w y z J dud v dwz z u v wI f x y z dv 1. 二套一，一套二换元令法平移三重积分2( .)c os( 2) si n ( .)si n c os( 3 ) si n si n ( .) sc osvvx u ay v b I f dud v dwz w cxry r I f rd rd dzzzxry r I f rzr 令变换柱坐标令变换球坐标令变换2insi n c os( 4) si n si n ( .) si nc osvvdr d dx ary br I f abc r dr d dz c r 椭

36、球坐标令变换 9.3 重积分的应用 2 2 22( 1 ) , 1 ( , ) ( , ) ,c os( , )( , , )( 2)( , , )( 3 ) ( ) (xyvvzdx dy f x y f x y dx dy EG F dud vnzx x y z dvxx y z dvm r dJ 曲面面积面积元素：物体重心转动惯量对 z 轴 2 2 2) ( , , ) ( , , )xyx y x y z dv x y dJ z x y z dv 对平面9.4 曲线积分 ( , )( ( , , ) )( ) ( . . . ) ( ) ( .

37、. . ) ( ) ( . . . ) ( ) LL A Bf x y z d sP d x Q d y R d z P x t Q y t R z t d t 代入参数方程第一类代入弧微分公式第二类9.5 曲面积分 ( ( , , ) )( ) ( ) ( ) SS D x yf x y z d SzzP d y d z Q d zd x R d x d y P Q R d x d yxy 第一类代入面积元素第二类9.6 格林公式 ()( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )( 1 )DLLDDLLQdx dy Q dyxQPPdx Q dy dx dyPxydx dy PdxyQPi Pdx Q dy ii iii du Pdx Q d

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