1、 师1995年入学 数学分：4小 : TIAN Peng一个初等 数, 不严格地, 就是 义在 R 或 C 个开上 数, 并且其表 式是由指数 数 (ez = Pn 0 znn! ) 、数 数 (log(1 + z) = Pn 0 ( 1)n 1znn ) 、有理( 、 、商) 数 (n次根)复合而成. , 下 一 数：cos(z) = eiz +e iz2 ;sin(z) =eiz e iz2i ;z1995 3qsin z21+zeplogz ;arctan(z) =log(1 +iz) log(1 iz)2i是初等 数. 根据 样一个模 义, 就 确, 一个初等 数 数也是初等 数, 并
2、且我 道, 一个 数或复数 有理 数有初等 数. 但是, 有一 形式上非常 单 初等 数, 数不是初等 数： 数 z7!ez2 ； 此, 用 常 求不 分 求其 数是不 .个习 一面是 初等 数“ , 一面是 明一个由Liouville 到, 并由Ostrowski 改 判 理, 用 理 判 数是否有初等 数. 我 所用 是fl数 , 不 分看做是 数 逆 ：我 有一个 K ( 由 数或复数 有理 数 成 ), K 一个扩充 E ( 我 承, 在 R 或 C 一个 通开上 义 所有 数 成一个整fl, 此我 考虑 分式 ), 同 E 上 一个求 D : E!E 求 常性质(下 ). 样, 我
3、就 严格地 义 f 2E 是 K 上 初等 数“ 具体含义, 并且 判则, 用 判是否 f 2E 有 数 g2E D(g) = f , 并且 g 是 K 上 初等 数.第0分: 备我 假 , 本 currency1” 所有 包含有理数 Q , 此, x 是 中 元素, n2Qnf0g , 么 nx = 0 就意味着 x = 0 . 我 有 下 ： K 是一个 , 么 K 上 多项式fl KX 是主理 fl.E 是 K 一个扩 , 即一个包含 K . x 2 E , 存在 K 上 非 多项式 P 2 KXnf0g使 P(x) = 0 , 么我 x 是 K 上 数元, 否则x 为 K 上 元. x
4、2E , 我 用 K(x) 表示 E 含有 K x 最小子 .1. x 2 E 是 K 上 数元, 明存在唯一 一多项式 Px 2 KX 使 ,意 Q 2 KX , 我 有 Q(x) = 0 , PxjQ . 明 K(x) =n 1Li=0Kxi , 其1中 n = degPx , 特别地, 有 dimKK(x) = n .之, K(x) 是 K 上 有限 向空 , 明 x 是 K 上 数元(在 K 向空 K(x) 中考虑 x 各个幂).多项式 Px 为 x 在 K 上 最小多项式.2. x 2 E 是 K 上 元素, 明映射 K(X) ! E : R 7! R(x) 是分式K(X) 到 K(
5、x) 同 映射.第I分: 子其初等性质K 上 一个 符 D : K!K 下条 , 则 其为 数 或 子子:8u;v2K;D(u+v) = D(u) +D(v);D(uv) = D(u)v +D(v)uK 同其 子 D 成一个fi分 ; 我 Kcst = fu2KjD(u) = 0g并 其为 K 常数子 .1. D(1) 等 么?意 (u;v)2K K 1, 用 u;v;D(u);D(v) 表示 D(u=v) .同样 : (u;n)2K N 或 (u;n)2K Z , 用 u;n;D(u) 表示 D(un) . Kcst 确 是 K 一个子 . u2K , 我 D(u)=u 为数 数,有 么性质
6、? 在 么条 下会有 D(u)=u = D(v)=v ?2. 多项式 P = PiaiXi2KX ,我 将多项式PiD(ai)Xi 为 PD ,将 P (数上 ) 式 为 P0 , 即 P0 = PiiaiXi 1 . u 2 K , D(P(u) =P0(u)D(u) +PD(u) .3. 我 K 上 一个多项式为 平 子多项式, , 是一个或 个 不同 不 多项式 乘 . 也就是 , 一个 平 子多项式 质 式分中各 子 次数 是1. D 是 义在有理分式 K(X) 上 子, 并且 D(KX) KX . 考虑 KX 中有限个非 平 子多项式 (Qj)j2J , 两两 质, 并且有 外两个
7、质 多项式 P;Q 等式Xj2JPjQj = D(PQ);Pj;P 2KX;Q2KXnf0g;gcd(P;Q) = 1明 QjD(Q) , 然后明 个 j2J , Qj 与 Q 质, 么 QjjPj .第II分: K(X)上 数 子一个fi分 K fi分扩 E 是一个包含 K fi分 , 其 子 D 是 K 上 子在 E 上 , 并且 E 与 K 有同样 常数子 , 即 D(K) K , 且 Ecst = Kcst .在 一分我 考虑有理分式 K(X) 其 子 D 使 K(X) 是 K fi分扩 ,并且 D(X)2K .1. P = PiaiXi2KX ; 借 D(P) 表 式(第I分: 2)
8、, 明 D(P)2KX 并 D(P) P 次数. 在 么 下会有 degD(P) degP ?2. 么条 一 多项式 Q 2 KX 够整除 D(Q) ? 么条 多项式 P 2KX 够 D(P)2K ?1 : 带星 合 K ;R 等表示合除乘 不 逆元素, K , 我 就有 K =Knf0g .23. R 是 K(X) 中 有理分式, 并且 D(R) 2 K , 明 R = cX + g 其中 c 2Kcst;g2K .在fi分 K 中, 我 够表示成 下形式 元素 为 K 中 Liouville :D(g) +nXi=1ciD(fi)fi;g2K;ci2Kcst;fi2Knf0g:4. f 2
9、 K ; 我 假 f 是 K(X) 中 Liouville , 明存在 c 2 Kcst 使 f cD(X) 是 K 中 Liouville . 为此, 根据 K(X) 中 Liouville 义, 我 先明, f 成 下形式:f = D(R) +Xi2IciD(fi)fi+Xj2JdjD(Qj)Qj;其中 R2K(X);fi 2Knf0g;ci;dj 2Kcst , Qj 2KXnf0g是彼此不同, 次数不为, 不 一多项式. 然后我 用第I分: 3在一个fi分 K 中,我 v2K 是 u2Knf0g 数, D(v) = D(u)=u ( 公式 (logu)0 = u0=u ).K fi分扩
10、 E 为数 , E = K(v) , 其中 v 2E 是 u2Knf0g 数.5. E = K(v) 是 K 数 fi分扩 , 假 v 是在 K 上 , 明Liouville归 理: f 2K 是 E 中 Liouville , 则 f 是 K 中 Liouville . 为此, 我 通 K(X)$E 同 映射将 E 上 数 转化成 K(X) 上 数( 0.2) 然后 用上一 .第III分: K(X)上 指数 子在 一分我 考虑有理分式 K(X) 上 下条 数 D :K(X)是K fi分扩 , 并且D(X)X 2K:上条 前半分 理为 D(K) K 且 K(X)cst = Kcst (特别地,
11、 D(X)6= 0 ).1. P 2KX , 明 D(P)2KX 并 两个多项式 次数.2. P 2KX , 明 P 整除 D(P) 当且当 P = aXn , 其中 a2K .3. R 2 K(X) 是有理分式, 明 D(R) 2 KX , 么或者 R 2 Kcst , 或者 R 是与 D(R) 有同次数 多项式(特别地, D(R)2K , 么 R2K ).4. f 2K 是 K(X) 中 Liouville , 明9c2Kcst 使 f cD(X)=X 是 K 中Liouville .在fi分 K 中, 我 v2Knf0g是 u2K 指数, D(v)=v = D(u) ( (eu)0 =
12、u0eu ).fi分 K 扩 E 为指数 , E = K(v) , 其中 v 2 E 是元素 u2K 指数.5. E = K(v) 是指数 扩 , 并假 v 是 K 上 元素. 并明与II.5 类似 Liouville 归 理.3第IV分: 有限 扩充 中 范数(Norme), (Trace), 归 理在 一分, K 表示一个包含有理数 Q ; E 是 K 一个 n 向空 ,u 是 E 上 性 换, 我 用 u(T) 表示 u 特 多项式即 u(T) = det(TIE u)2KT , 用 u(T)2KT 表示多项式 u(T) u(0)T , 用 u# 表示映射 ( 1)n 1 u(u) .1
13、. A 是 u 在 下 阵, 明在同一 下 u# 阵 A# 是 A 伴 阵( 先考虑 u 逆 , 然后 2K 考虑映射 u IE ).2. E 是 K 一个有限 扩 , 我 义两个映射: tr : E !K (), N : E !K (范数) 下:tr(x) = tr(mx);N(x) = det(mx);其中mx = y7!xy表示E 个元素乘 x 换 tr 是性映射; 当 2K tr( ) 等 么? 意 x;y2E N(xy) =N(x)N(y) ; 当 2K N( ) 等 么?x2E , 明存在唯一 x# 2E 使 (mx)# = mx# . 明等式 x#x = xx# =N(x) .3
14、. D 是 K 上 数 ; A = (ai;j)2Mn(K) , 用 D(A) 表示阵 (Dai;j) ,明 D(detA) = tr(A#D(A) .4. D 是 E 上 数 并且 D(K) K . 明8x2K;tr(D(x) = D(tr(x) .为此, 我 选 E 一 B = fe1;e2;:;eng(n = dimKE) , 有唯一 性 换 : E !E (ei) = D(ei) (意, D 不是 K 向空 E 上 性 换); (ai;j) 是 mx 在 B 下 阵, mDx : E!E 是阵 (D(ai;j) 义 性 换, 明:( ) mx +mD(x) = mx +mDx然后 ”.
15、5. 明 tr(x#D(x) = D(N(x) (我 用上一 中确 B=fe1;e2;:;eng ,等式 ( ) ). 然后明下列 ”:8x2Enf0g;D(N(x)N(x) = trD(x)x:6. 并明有限 扩充 上 Liouville 归 理.第V分: Liouville/Ostrowski 理1. E 是 K fi分扩 , x2E 是 K 上 数元, 明 D(K(x) K(x) .K 一个fi分扩 E 为初等扩张, 存在 E 一列子 (Ki)0 i m :K = K0 K1 K2 : Km 1 Km = E其中 Ki+1 么是 Ki 有限 扩张, 么存在 vi+1 2Ki+1 是 Ki
16、 中元素 指数或数, 使 Ki+1 = Ki(vi+1) . 次指, E K 有同样 常数子 .2. f 属 fi分 K , 假 f 数存在 K 初等扩 E 中, 即9g2E 使 D(g) = f . 明 f 是 K 中 Liouville . 就是Liouville/Ostrowski 理( 将 K 扩 E 中 性质转换成 K 中 性质).4第VI分: R et2 dt不是初等 数K 是fi分 , u2K ; 为 化 , 我 用 eu 表示 u 所有 在 K 个fi分扩 中 指数 数, 同样用 log(u) 表示 u 所有数 数.1. 我 到第III分开头 假 . f 2K , 明 Xf 是
17、 K(X) 中 Liouville 当且当存在 g2K 使 f = D(g) + gD(X)=X . 假 K 是 子 k 分式k(T) ,并附带通常意义下 数 2,明 f D(X)=X 属 kT ,么 g2kT (即 f D(X)=X 是关 T 多项式, 么 g 也是 T 多项式).2. E 是 K fi分扩 ; 我 考虑 v2E 使 D(v) 2K ( 当 v = log(u);u2Knf0g ). 明 v62K , 么 v 在 K 上是 . 类似式明, 除非个正整数 n 使 nu 是 K 中 一个元素 数, 否则 eu 是 K 上 (两考虑 v 最小多项式, 并使用正 ).3. 我 考虑通
18、常 fi分 K = C(T) . 明 C(T) 中 非常数元素在 C(T) 中有数, 然后 下 ”: u2C(T) 不是常数, 么 eu 在 C(T) 上是 .4. 明Liouville 判别 : f 2C(T);u2C(T)nC , 么 feu 在 C(T) 个初等扩 中有 数当且当9g2C(T) 使 f = g0 + gu0 . 一步, f;u 是多项式, 么 g 也是多项式, 并且 degu 1 + degf .5. ”: R et2 dt 不是初等 数(即 不属 C(T) 何初等扩 ).2 : 中 表 并不明确, 际上指 是 k = Kcst;D(T) = 1 , 即我 通常所理 T 数. 下面 3 4.5
