1、三角函数导数公式推导的初等方法 李天福 中国地质科学院地质研究所 100037 孙岩 北京联合大学特殊教育学院 100075 摘要：为了用不同于通常教材中常见的途径求得三角函数的导数公式，本文用初等几何方法推导了三角函数的求导公式，概要步骤是正弦函数差商转化为单位圆中的线段/弧比，然后通过x 0limcosx=1将线段/弧比转化为三角形的边/边比，根据几何关系获得并求极限x 0limcos(x+x/2)，从而求得正弦函数的导数公式；用类似的方法，也求得了余弦函数的导数公式。本文的方法具有明了和直观的特点。 关键词：三角函数，导数，初等几何 Abstract：In order to deduce
2、 the derivative formulas of trigonometric functions by other approach than usual one in current using，our paper presents a new method that only uses elementary geometry knowledge to derive the formulas. The main process is roughly: line segment/arc length ratio of sine function in unit circle is tra
3、nslate into side/side ratio of triangle through key step x 0limcosx=1, cos(x+x/2) is gotten according to relationship of line segment/line segment ratio, and the derivative formula of sine function is attained operating the x 0limcos(x+x/2). Derivative formula of cosine function is also acquired usi
4、ng the similar method. This process is primary and plain. Keywords：trigonometric functions，derivative，elementary geometry 1.问题的提出 现行的高等数学1、高中教材2乃至数学普及著作3中，对于三角函数的求导所用的方法都是千篇一律的解析法，在第二步差商阶段，一般有两种方法，或者将分式的分子用三角函数的和差化积方法，或者用两角和的三角函数公式，然后在第三步取极限时用到重要极限x 0limsin xx=1。 然而，重要极限x 0limsin xx=1 是00型未定式，在用单位圆推
5、证重要极限的过程中需要较高的技巧性，证明中又用到了极限存在定理，总地来说直观性差。另外，三角函数的求导是分析学大厦的基础之一，该基础的建立除了上述方法外，还有没有其它途径和方法？更进一步地，还有没有比较直观的、相对初等的和非解析的证明方法？ 2.三角函数导数公式推导的初等方法 本文用不同于一般教材中通常所用的途径，给出一个相对初等的几何和三角方法求得三李天福，男，1962年生，汉族，甘肃，研究员，博士研究生学历，数学地质学。 角函数的导数公式。 先做单位圆 O（如图），在其中做 OC、OD， BOC=x ， COD=x ；连接 AD OA ，BC OB ，CE AD 。 第一步求增量，在 OA
6、D 和 OBC 中，sinx=sin(x+x)-sinx=AD-BC=DE0； 第二步求比值（差商）， sinxx=（sin(x+x)-sinx）/x= DECD， 第三步取极限，x 0lim DECD。 下面探讨如何求得极限x 0lim DECD，主要目的是如何把线段DE与弧CD的比转化成线段DE与线段CD的比，即三角形两边之间的比。 做DF OC ，DG OD ， 所以 OBC DEF ， ODG DFG ， 所 以 E DF= BOC=x ，FDG= DOG=x 。 则在 DFG 中有 DFDG=cos FDG=cosx ， 所以FDG 0 FDG 0 x 0DFDGlim = lim
7、FDG= lim xcos cos =1， 即x0时，DF=DG。 又因为DFCDCDDG， 所以x0时，DF=CD=CD=DG， 所以x0时，DECD= DECD， 即在CDE中，DECD=cos CDE 。 有了以上的准备，现在求极限x 0lim DECD： x 0lim DECD=x 0limDECD=x 0limcos CDE=x 0limcos（ EDF+ CDF ）。 又因为弦切角 CDG=x/2 ， 所以 CDF= FDG - CDG=x -x/2=x/2，即 CDF= CDG=x/2 。 x 0limcos（ EDF+ CDF ）=x 0limcos(x+x/2)=cosx=O
8、B。 类似地，对于余弦三角函数的求导，有 单位圆中三角形边角关系图 A O B D E C F G x x x cosx=cos(x+x)-cosx=OA-OB=CE0； cosx/x=（cos(x+x)-cosx）/x= CECD 0； 所以x 0limCECD = x 0limCECD=-x 0limsin CDE= -x 0limsin（ ED F+ CDF ） =-x 0limsin(x+x/2)=-sinx=-BC。 推导完毕。 3.结论和评注。 a.通过不同于一般教材中通常所用的解析法途径，用初等方法获得了三角函数的求导公式，对于分析学中占重要份量的三角函数求导公式获得了另一个推证
9、途径。 b. 弃用了理解起来比较艰涩的重要极限，推证过程直观，尤其是在这里所起作用类似于极限存在定理的x 0limcosx= DFDG=1的运用便于理解。 c. 本方法求得余弦函数求导公式的过程显示了其负号的几何意义明显。 参考文献 1 同济大学应用数学系主编.高等数学（上册）M.第五版.北京：人民教育出版社，2002：196. 2 人民教育出版社中学数学室编.全日制普通高级中学教科书：数学（第三册选修II）M.北京：人民教育出版社，2004：73114. 3 柯朗，罗宾著，斯图尔特修订.左平，张饴慈译.什么是数学：对思想和方法的基本研究.第二版.上海：复旦大学出版社，2005:317318,431.
