1、第 1 页 版权所有 不得复制年级 高一 学科 数学内容标题 圆的标准方程与一般方程编稿老师 蔡秀梅一、学习目标1. 了解圆的定义，理解并掌握圆的标准方程和一般方程.2. 掌握用待定系数法求圆的方程.3. 掌握圆的标准方程与一般方程的互化.4. 体会求轨迹方程的方法与思想.二、重点、难点重点：圆的标准方程，通过圆的一般方程求圆的标准方程，根据已知条件求圆的方程.难点：根据已知条件求圆的方程.三、考点分析本节内容是圆的方程，有关圆的题目，多以选择题、填空题的形式重点考查其标准方程和一般方程，难度不大；有时，也将圆的方程作为解答题考查.1. 圆的定义：平面到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点
2、是圆心，定长是圆的半径.2. 圆的标准方程：以 为圆心， （ ）为半径的圆的标准方程：),(baCr02)()(rbyax3. 圆的一般方程： （ ） ，圆心坐标为2FEyDxy42FE（ ） ，半径为 .特别地，当 时，表示点2,ED4r0D；当 时，不表示任何图形.),(02F4. 点与圆的位置关系已知点 221 )()(:),( rbyaxCyxP圆 的 方 程则 12baC； ； .在 圆 外点r在 圆 上点 Pr在 圆 内点 PC第 2 页 版权所有 不得复制知识点一：圆的方程例 1. （1）求经过点 P（1，3） ，Q（2，2） ，且圆心在直线 上的0832:yxl圆的方程.（2）
3、求圆心在直线 l： 上，且与坐标轴相切的圆的方程.85yx【思路分析】题意分析：求圆的方程关键是求出圆心坐标和半径.解题思路：（1）设出圆心坐标，由已知条件构造方程组求解；或求出线段 PQ 的垂直平分线方程，与直线 的方程联立，解出交点坐标即为圆心坐标.l（2）圆与坐标轴相切，说明圆心到坐标轴的距离相等，即都等于圆的半径，由此可列出圆心坐标所满足的方程，解方程可得圆心坐标和半径.【解答过程】 （1）解法一：设圆心坐标为 ，),(baC则有 ，0832)2()(1222 ba解得： ，ba所以 ，5)32()1(PCr所以所求圆的方程为 .2yx解法二：根据条件可知圆心一定在线段 PQ 的垂直平
4、分线上，由直线的点斜式方程可求得线段 PQ 的垂直平分线方程为，013yx由已知圆心也在直线 ： 上，l0832yx所以由方程组 解得圆心坐标为（1，2） ，3以下解法同解法一.（2）设圆心为 ，因为圆与坐标轴相切，),(ba所以 ，圆心在已知直线上，所以有 ，835所以 ，解得 ，|ba14ba或当 时， 4，所求圆的方程为 ；r 16)4()(22yx当 时， 1，所求圆的方程为 .1ba122【题后思考】由已知条件构造出圆心坐标和半径的方程组，是求圆的方程的关键.第 3 页 版权所有 不得复制例 2. 求过点 A（2，1） ， B（0，1） ，C（2，3）的圆的方程.【思路分析】题意分析
5、：利用圆的一般方程求解. 解题思路：设出圆的一般式方程，分别把三点的坐标代入方程，构成方程组，解此方程组即可得出所求结果.【解答过程】设所求圆的方程为 ，因为 A、B、C 三点在圆上，02FEyDxy所以有 ，解此方程组得： ，032)(2012FE124FED所求圆的方程为 .14yx【题后思考】本题也可以先求出圆心和半径进而列出圆的方程，但不如这种方法简捷.例 3. （1）求与圆 关于直线 对称的圆的方程.022yx 0x（2）求方程 表示圆的充要条件.54m【思路分析】题意分析：（1）所求圆与已知圆的半径相同，故只需求出圆心坐标即可求解.（2）本题的关键是落实运用二元二次方程表示圆的充要
6、条件. 解题思路：（1）先求出已知圆的圆心坐标和半径，再求出该圆圆心关于对称轴的对称点坐标.（2）直接代入 得关于 的不等式，解不等式即可.042FEDm【解答过程】 （1）圆的方程可化为 ，45)1()(22yx所以圆心的坐标为 ，半径为 ，,设圆心关于直线 的对称点为 ，01yx),(ba则有 ，解得 ，0121ba23b所以所求圆的方程为 .45)()(22yx（2） 0)1(016204)(42 mmFED或 .1m第 4 页 版权所有 不得复制【题后思考】 （1）由圆的一般方程要能够准确求出圆心坐标和半径，既可以用配方法将其转化为圆的标准式方程求解，也可以直接套用公式求解.（2）并不
7、是所有形如 的方程都表示圆，用这样的方程表02FEyDxy示圆的充要条件是 .042E【知识小结】当已知条件与圆心、半径有关时，求圆的方程时，把方程设为标准方程更简便；对于圆的一般方程要会求圆心坐标和半径；另外还要掌握用二元二次方程表示圆的充要条件为 .2FD知识点二：与圆有关的综合问题例 4. 动点 M 到两个定点 O（0，0） ，A （3，0）的距离之比为 1：2，求动点 M 的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.【思路分析】题意分析：动点 M 满足的条件在已知条件中已明确给出，只需把它用坐标表示出来，并化简整理即可. 解题思路：设出动点 M 的坐标，分别用两点间的距离公式表示 MO、MA
8、的长. 【解答过程】设动点 M 的坐标为（ ） ，由已知，yx,， ，21AO21)3(2xy2)3(yx两边平方并整理得： ，02x所以动点 M 的轨迹为以（1，0）为圆心，以 2 为半径的圆.【题后思考】求动点的轨迹方程即求动点的坐标（ ）满足的方程，当已知条件中明确y,给出动点运动的条件时，只需把条件用坐标表示出来，并化简整理即可.例 5. 已知点 ，E 为线段 BD 的中点，求点 E 的轨迹方程.2),0(,2ADBA【思路分析】题意分析：（1）由已知条件可知点 D 的轨迹方程，把点 D 的坐标用点 E 的坐标表示出来，然后代入点 D 的轨迹方程. （2）利用图形的几何性质可推出 ，故
9、可知点 E 的轨迹是以原点为圆心的圆.1O解题思路：（1）设出点 E 的坐标，用中点坐标公式求出点 D 的坐标.（2）由图形可得 OE 为ADB 的中位线.【解答过程】解法一：设点 ，点 ，因为 E 为线段 BD 的中点，所以有),(yx),(1yx，211， ，AD421即 ，整理得： .)(2(yx 12yx解法二：连接 OE，则 OE 为ADB 的中位线，第 5 页 版权所有 不得复制所以 ，12ADOE由圆的定义可知，点 E 的轨迹是以原点为圆心的圆，方程为 .yx【题后思考】本题的两种解法分别用到了求轨迹方程的相关方法和定义法.例 6. 如果实数 满足方程 ，求：（1） 的最大值和最
10、小yx, )()3(22yxxy值；（2） 的最大值和最小值；（3） 的最大值和最小值.【思路分析】题意分析：利用 的几何意义，用数形结合的方法来解决.2,yxy解题思路： 的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率； 的几何意义为设x yx3，则 表示直线在 轴上的截距； 的几何意义表示圆上的点到原点的yb3by2x距离的平方.【解答过程】 （1） 表示圆上的点与原点连线的斜率，过原点作圆的两条切线，x则切线的斜率分别为 0 和 ，所以 的最大值为 ，最小值为 0.3xy3（2）设 ，则 表示直线在 轴上的截距，yb3b作圆的两条斜率为 的切线，这两条切线的截距分别为 2 和 6，所以 的最大值为
11、 6，最小值为 2.x（3） 表示圆上的点到原点的距离的平方，2y因为圆心到原点的距离为 2，所以圆上的点到原点距离的最大值为 3，最小值为 1，所以 的最大值为 9，最小值为 1.2x【题后思考】本题使用代数式的几何意义求解比较直观.易错点是误认为 是圆上的2yx点到原点的距离.例 7. 已知圆 C： 上两点 满足：关于直线 425)3()21(yxQP, 4kxy对称； ，求直线 的方程.OQPP【思路分析】题意分析：由圆上两点 关于直线 对称可知圆心在这条直线上，故斜率 的,kxy k值可求，进而由 .021x解题思路：设出所求直线方程，代入圆方程，用根与系数的关系构造关于所求的方程.第
12、 6 页 版权所有 不得复制【解答过程】由圆上两点 关于直线 对称可知圆心在这条直线上，QP, 4kxy所以有 ，解得 ，4213k2则直线 的斜率为 ，设 P 点坐标为 ，Q 点坐标为 ，),(1yx),(2yx直线 的方程为 ，PQbxy21代入圆的方程整理得： ，0)36(4)(52bx所以 5)36(4)(121 22bx 5324)(214)1)( 222 bxbxxy，所以021yOQP 05362解得 或 ，经检验， 成立.23b45所以所求直线 PQ 的方程为 或 .3yx42yx【题后思考】本题中由 是解此类型题常用的结论；求出021P的值后，应验证 是否成立.b0【知识小结
13、】在本讲中，我们学习了圆的标准方程和一般方程.在求圆的方程时，可根据已知条件选择适当的方程求解.解决有关圆的最值问题时，利用代数式的几何意义求解比较简便.在解答有关圆的综合问题时，结合圆的性质求解是关键；求圆的方程时，如果已知条件与圆心、半径有关，一般采用圆的标准方程求解，如果与圆心、半径无直接关系，则使用圆的一般方程求解.（答题时间：50 分钟）一、选择题1. 圆 关于原点对称的圆的方程是（ ）5)2(yx第 7 页 版权所有 不得复制A. B. 5)2(yx 5)2(2yxC. D. )(22. 点（1，1）在圆 的内部，则 的取值范围为（ ）4)(2ayxaA. B. C. 或 D. a
14、10113. 已知直线 的方程为 ，则圆 上的点到直线 的距离的l 0532yxl最小值是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 64. 一个动点在圆 上移动，它与点 A（3，0）连线的中点的轨迹方程为（ 12yx）A. B. )(2x 1)(2yxC. D. 1)(3y5. 经过圆 的圆心，且与直线 垂直的直线方程是（ ）022x 0A. B. x 1yxC. D. 1y 6. 已知圆 ，则 的最大值为（ ）422yx2A. 9 B. 14 C. D. 5615614二、填空题7. 已知点 A（4，5） ，B（6，1） ，则以线段 AB 为直径的圆的方程是 .8. 已知圆 过原点且与 轴相
15、切，则 应满足的条)0()()(22rbyax yrba,件是 .9. 圆心在直线 上的圆与 轴交于点 A（0，4） ，B（0，2） ，则圆的方程是 .10. 直线 与圆 相交于点 A、B ，弦 AB 的中点为l24(3)xya（0，1） ，则直线 的方程为 .三、解答题11. 求与 轴相切于点（5，0） ，并在 轴上截得的弦长为 10 的圆的方程.xy12. 方程 表示圆，求实数 的取值范围，并求出其中04)1(2xaya a半径最小的圆的方程.13. 已知圆 和直线 相交于 两点，若62mx 032yxQP,，求 的值.OQP第 8 页 版权所有 不得复制一、选择题1. A 解析：圆心的坐
16、标为（ 2，0） ，则关于原点对称的点的坐标为（2，0）.2. A 解析：由已知 ，解得 .(1)()4a1a3. B 解析：圆心到直线的距离 ， 最小值为 514.253d4. C 解析：设 为圆上的动点， 的中点为 ，则0(,)MxyMA(,)Nxy00,2xy.2200023,1,3()1xyxyxy5. A 解析：圆的圆心为（ 1，0） ，直线的斜率为 1，故所求直线的方程为即 .1yxy6. D 解析：圆心为（2 ，1） ，半径为 3，圆心到原点的距离为 ，所以5的最大值为 .2 2(53)465二、填空题7. 解析：由中点坐标公式得圆心坐标为（1，3） ，由两点间22(1)()9x
17、y的距离公式得半径为 .8. 且 解析：由已知： .ar0b22(0)()(0),0abrab9. 解析：线段 AB 的中点坐标为（0，3） ，所以圆心坐标为22()(3)5xy（2，3） ，则半径为 .2(3)510. 解析：圆心为（1，2） ，圆心与弦 AB 的中点（0，1）的连线的斜0率为1，所以所求直线 l 的斜率为 1，且过点（0，1） ，故所求直线 l 的方程为 即1yxxy三、解答题11. 解：因为与 轴相切于点（5，0） ，x所以圆心的横坐标为 5，设圆的半径为 ，r则有 ，所以圆心的纵坐标为 .221()r52故所求圆的方程为 .22()()0xy12. 解：圆方程可化为 ，214()aa方程表示圆 且 ， 时方程表示圆.20,R，当且仅当 时取等号.224()()aaa第 9 页 版权所有 不得复制时，圆的半径最小，此时圆的方程为 .2a 22(1)()xy13. 解：设 ，由 得 ，12(,)(,)PxyQ2306xym5010m，12124,5m12,OPQxy即12(3)0yy9()50，解得： .96()3
