1、1. 排列、组合（一）排列、组合问题1. （均匀分组问题）15 名新生中有 3 名优秀生，随机将 15 名新生平均分配到 3 个班级中.（1）每班级各分配一名优秀生的概率是多少？ 2591（2）3 名优秀生分配到同一班级的概率是多少？ 6（3）甲班至少分到一名优秀生的概率是多少？ 72. （放回、不放回问题）袋中有 5 个红球、6 个白球、8 个黄球，随机抽 3 次，每次抽 1个，颜色相同的事件记为事件 ，颜色互不相同的事件记为事件 ，在下列两种情况下，AB求事件 和事件 的概率：AB（1）抽后不放回；（2）抽后放回.3. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形
2、（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有_种. 204. 某小区有排成一排的 7 个车位，现有 3 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为_ 245. 学校组织高一年级 4 个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有_种6. 从甲、乙等 5 个人中选出 3 人排成一列，则甲不在排头的种数为_ 487. 有 10 件不同的电子产品，其中有 2 件产品运行不稳定，技术人员对它们进行一一测试，直到 2 件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好 3 次就结束测试的方法种数为_328. 思考：（转化与化
3、归思想）连接正方体 8 个顶点的直线中，成异面直线有多少对？解：一个三棱锥可确定 3 对异面直线，故问题可转化成求在正方体中可构造多少个不同的三棱锥？ 对1742-(48）C9. 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这六枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红旗子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同排列方式共有_种. 9010. （斯坦福数学竞赛）30（二）排列、组合的证明1. 把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第 行共有i个正整数，设 表示位于这个数表中从上往下数第 行，从左往右第12i,*ijaNi个数j() 若 ，求 和 的值；03ijij() 记 ，123*
4、n nAaaN求证：当 时，4.nC解：() 因为数表中前 行共有 个数，i1221ii则第 行的第一个数是 ，所以 ，2 分i12i iijaj因为 ，则 ，即 10123,03ija10i令 ，则 5 分j29() 因为 ，则 ，1iijj 1*nN所以 8 分2102nnA 12n当 时， 104nn 013nnC23nC分2. 设 ， 且 ，其中当 为偶数时，012(1)mnnnSC *,Nmn；当 为奇数时， 2nm12nm（1）证明：当 ， 时， ；*N 11nnS（2）记 ，求 的值0 231072142030201SCCC S解：（1）当 为奇数时， 为偶数， 为偶数，nn1n
5、 ， ，10121()nnnS 1012()nnS，101212()nnnCC1110122211()()()(nnnnnnS CC= 10122 1()nn nCS当 为奇数时， 成立 n11nnS同理可证，当 为偶数时， 也成立 1nS（2）由 ，得01231072142030201SCCC 0 32140312110744=0112233107107242032030101201201()()()()CCCCC= 7 614 2 = 202S又由 ，得 ，11nnS6nS所以 ， 20424212042. 随机变量及其概率分布1. 某地区举办科技创新大赛，有 50 件科技作品参赛，大赛组
6、委会对这 50 件作品分别从“创新性”和“实用性 ”两项进行评分，每项评分均按等级采用 5 分制，若设“ 创新性”得分为， “实用性”得分为 ，统计结果如下表：xy实用性作品数量 yx1 分 2 分 3 分 4 分 5 分1 分 1 3 1 0 12 分 1 0 7 5 13 分 2 1 0 9 34 分 1 b6 0 a创新性5 分 0 0 1 1 3() 求“创新性为 4 分且实用性为 3 分” 的概率；() 若“实用性” 得分的数学期望为 ，求 、 的值5167ab解：() 从表中可以看出， “创新性为 4 分且实用性为 分”的作品数量为 6 件，3“创新性为 4 分且实用性为 3 分”
7、的概率为 0.12()由表可知“实用性” 得分 有 1 分、2 分、3 分、4 分、5 分五个等级，且每个等级y分别有 5 件，b4 件，15 件，15 件，a8 件 “实用性”得分 的分布列为：yP 504b150850a“实用性”得分的数学期望为 ， 167116723450作品数量共有 件， ，解得 ， 503ab1a2b2. 设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的八个顶点中任取四个点，当四点共面时， = 0，当四点不共面时， 的值为四点组成的四面体的体积（1）求概率 P（ = 0） ；（2）求 的分布列，并求其数学期望 E ( )变式 1：如图，从 A1
8、（1,0,0） ，A 2（2,0,0） ，B 1（0，2，0） ，B 2（0,2,0） ，C 1（0,0,1） ，C2（0,0,2）这 6 个点中随机选取 3 个点，将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体” ，记该“立体”的体积为随机变量 V（如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积 V=0）（1）求 V=0 的概率；（2）求 V 的分布列及数学期望 .变式 2：（2012 年江苏高考 22 题）设 为随机变量.从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时， ；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两0条棱异面时， .1（1）求概率 ；（2
9、）求 的分布列，并求其数学期望 .)(P)(E（1）考虑到图形的对称性，不妨先取定第一条，然后再考虑其他的边，故；4)0(（2） 的可能取值为 ，其中 ； ；2,1014)0(P16)(P1)2(P则 6)(E思考：（转化与化归思想）连接正方体 8 个顶点的直线中，成异面直线有多少对？解：一个三棱锥可确定 3 对异面直线，故问题可转化成求在正方体中可构造多少个不同的三棱锥？ 对1742-(48）C变式 3：从棱长为 1 的正方体的 8 个顶点中任取不同 2 点，设随机变量 是这两点间的距离（1）求概率 ；2P（2）求 的分布列，并求其数学期望 E( )【解】 （1）从正方体的 8 个顶点中任取
10、不同 2 点，共有 种28C因为正方体的棱长为 1，所以其面对角线长为 ，2正方体每个面上均有两条对角线，所以共有 条61因此 3 分12387P（2）随机变量 的取值共有 1， ， 三种情况23正方体的棱长为 1，而正方体共有 12 条棱，于是 5 分12387P从而 7 分33217PP所以随机变量 的分布列是1 23P( )3737178 分因此 10 分3231()1277E3. （南京市、盐城市 2013 届高三期末）某射击小组有甲、乙两名射手, 甲的命中率为 1P32, 乙的命中率为 2P, 在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不
11、少于一发, 则称该射击小组为“先进和谐组”.（1）若 2, 求该小组在一次检测中荣获“ 先进和谐组”的概率；（2）计划在 2013 年每月进行 1 次检测, 设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为 , 如果 5E, 求 2P的取值范围.解: (1)可得)21(3)(3(1212C(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为2221212 948)3()()3( PPCP ,而 ),1(PB,所以E,由 5,知51)948(2,解得 2评注：关键是辨识概型4. 设不等式 确定的平面区域为 ， 确定的平面区域为42yxU1yxV（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点” ，在区域
12、 内任取三个整点，求这些整点中恰有 2 个整点在区域 内的概率；V（2）在区域 内任取 3 个点，记这 3 个点在区域 的个数为 ，求 的分布列和数学UVX期望解答：（1）古典概型，解答为 1430)(32518CAP（2）几何概型 服从于伯努利分布 ，求得分布列和数学期望X,B23)(XE5.（2013 年复旦大学自主招生试题）某大楼共 5 层，4 个人从第一层上楼梯，假设每个人等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否是相互独立的，又知电梯只在有人下时才停止.（1）求某乘客在第 层下电梯的概率；（ ） ；i ,32i（2）求电梯在第 层停下的概率；2（3）求电梯停下的次数 的数学期望；解析
13、：（1） ；（2） ；42561743)(AP（3） 的可能取值为,1； ;64)1(34P 641)()2(4C；1694)3(32ACP 324)(AP所以 75E6.（2013 年通州区热点难点检测）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球和 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖 （每次游戏结束后将球放回原箱） （1）在一次游戏中：求摸出 3 个白球的概率；求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为 ：求 的分布列；求 的数XX学期望解：（1）
14、记“在一次游戏中摸出 k 个白球” 为事件 (0,123)kA -2 分2135()CPA -5 分2133223257()()0CPA（2） 129 749(0),(),(2)10510PXXPX 的分布列为0 1 2P912504910-8 分 的数学期望 -10 分X92497()015015EX【或： ， 】72,B:77.（分类讨论思想在概率问题中的应用）甲，乙两队各有 3 名队员，投篮比赛时，每个队员各投一次，命中率均为 ， （1）设前 n（n=1，2，3，4，5，6）个人的进球总数与 n2之比为 an，求满足条件 a6= ，且 an （n=1 ，2，3，4，5）的概率；（2）设甲
15、，乙两队进球数分别为 i，j （i，j 0，1，2，3） ，记 =|ij|，求随机变量 的分布列和数学期望（1）a 6= ，即 6 个人投篮进了 3 个球，又 an （n=1，2，3，4，5） ，则有两种情况：第一，第 1 人投篮没投进，第 2 人投篮投进了，第 3 人投篮没投进，第 4、5 人总共投进了 1 个球，第 6 人投篮投进了，其概率为 P1= C （ ） 2 = ；1231第二，第 1 人投篮没投进，第 2 人投篮没投进，第 3、4、5 人总共投进了 2 个球，第 6人投篮投进了，其概率为 P2= C （ ） 3 = .从而，所求概率为 P=P1+P2=3645（2）P（=0）表示
16、两队进球数相同，即有P（=0）=（ ） 3（ ） 3+C （ ） 3C （ ） 3+C （ ） 3C （ ） 3+（ ）11122123（ ） 3=265P（=1）=2（ ） 3C （ ） 3+C （ ） 3C （ ） 3+C （ ） 3（ ） 3=12122215P（=2）=2（ ） 3C （ ） 3+C （ ） 3（ ） 3= 16P（=3）=2（ ） 3（ ） 3=E=0 +1 +2 +3 =165216258.（2011 安徽理科高考题） （化归转化突破重难点）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 10 分钟，如果有一个
17、人 10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别 ，假设 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.,p,p（）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 ，其中,q是 的一个排列，求所需派出人员数目 的分布列和均值（数学期望）,q,p X；EX（）假定 ，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小（本小题满分 13 分）本题考查相互独立事件的概率计
18、算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等)1()1(32pp于 .321321321 ppp（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 时，随机变量 X 的分布,q列为X 1 2 3P q1)(q)1(2q所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX 是 .23)1(3)1(2 21122qEX （III） （方法一）由（ II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙
19、最后的顺序派人时， .3211p根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于 的任意排列 ，都有321, 321,q（*）213q21p事实上， )()( 2112 p.0)()(112 )()()(221 221121 qpqpq即（*）成立.（方法二） （i）可将（II）中所求的 EX 改写为 若交换前两,)(3121qq人的派出顺序，则变为 .由此可见，当 时，交换前两人,)(3121q的派出顺序可减小均值.（ii）也可将（II ）中所求的 EX 改写为 2113q，或交换后两人的派出顺序，则变为 .由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当 时，3
20、1123q 23q交换后两人的派出顺序也可减小均值.综合（i） （ii）可知，当 时，EX 达到最小. 即完成任务概),(),(321321p率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.9. 在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对 ”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为 p，判断错误的概率为 q，若判断正确则加 1 分，判断错误则减 1 分，现记“该明星答完 n题后总得分为 nS”（1）当 21q时，记 |3，求 的分布列及数学期望及方差；（2）当 ,3p时，求 )4,321(028iSi且的概率（1） |S的取值为 1，3，又 qp； 1 3故 43
21、)21()1(3CP， 41)2(1)(3P 所以 的分布列为：且 E =1 4+3 = ； （2）当 S8=2 时，即答完 8 题后，回答正确的题数为 5 题，回答错误的题数是 3 题， 又已知 ),321(0ii ，若第一题和第二题回答正确，则其余 6 题可任意答对 3 题；若第一题和第二题回答错误，第三题回答正确，则后 5 题可任意答对 3 题 此时的概率为 3536 872080()()()21PC且 10. （2013 年南通通州区查漏补缺专项）一位环保人士种植了 棵树，已知每棵树是否n成活互不影响，成活率均为 ，设 表示他所种植的树中成活的棵数， 的数学(01)p期望为 ，方差为
22、ED（1）若 ，求 的最大值；n（2）已知 ，标准差 23，求 的值并写出 的分布列3,np解：（1）当 =1， =0，1，于是 的分布列为：0 1pp =0( )+1 = E1 22221(0)(1)()4Dppp即当 时， 有最大值 4 P431（2） ， (,)Bnp,(1)EnpDp ，33144 kkCP)()( ( =0，1，2，3，4)， 即 的分布列为： 0 1 2 3 4p256347862568111. 甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为 ，且各次3投篮的结果互不影响甲同学决定投 5 次，乙同学决定投中 1 次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数
23、不超过 5 次（1）求甲同学至少有 4 次投中的概率；（2）求乙同学投篮次数 的分布列和数学期望x解：（1）设甲同学在 5 次投篮中，有 次投中， “至少有 4 次投中”的概率为 ，则x P(4)()Px= = 150522(33C1243（2）由题意 ,4x， ， ， ，(1)3P12()3912(3)7Px 312(4)8Px4(5)81x的分布表为 x1 2 3 4 5P9781的数学期望 x221213459788Ex12. 由数字 1，2，3，4 组成五位数 ，从中任取一个54321a（1） 求取出的五位数满足“对任意的正整数 ，至少存在另一个正整数)(j，使得 ”的概率；（变式：如
24、果四个数字分别是 0,1,2,3 呢？),5(jkkja）（2）记 为组成五位数的相同数字的个数的最大值，求 得分布列和数学期望 13.（2013 年南通学科基地密卷 5）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方对 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且每局胜负相互独立。3231（1）求比赛进行两局恰好停止的概率；（2）设 为比赛停止时已打的局数，求 的概率分布及数学期望 .)(E（和南通四模的附加题方法一致）（利用化归思路研究第 2 问）14. 如 图 ， 一 个 小 球 从 M 处 投 入 ， 通
25、 过 管 道 自 上 而 下 落 A 或 B 或 C 已 知 小 球 从 每 个 叉 口落 入 左 右 两 个 管 道 的 可 能 性 是 相 等 的 某 商 家 按 上 述 投 球 方 式 进 行 促 销 活 动 ， 若 投 入 的 小球落 到 ， 则 分 别 设 为 等 奖 ABC、 、 123、 、（1）已知获得 等奖的折扣率分别为 记随机变量 为获得1,2350%,79k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量 的分布列及期望 ； ()E（2）若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次) 参加促销活动，记随机变量 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求 2)P（1） （2）43)(16
26、79.083).(165.0EP409617)(P15.（2013 年南通四模数学试题）甲乙两人进行一场不超过 10 局的比赛规定：每一局比赛均分出胜负，且胜者得 1 分，负者得 0 分；每人得分按累加计分；比赛中一人的得分比另一人高出 2 分则赢得比赛，比赛结束，否则 10 局后结束比赛；各局比赛的结果是相互独立的已知每局比赛甲获胜的概率为 p(0 p 1)，比赛经 局结束（1）当 时，求概率 P(=4)；3p（2）求 的分布列，并求其数学期望 E()（1） 表示 4 局后比赛结束，即第 1，2 两局甲乙各胜一局，第 3，4 两局甲连胜或乙连胜所以当 时， 23p 221204()(1)98
27、1Ppp（2）用 表示 k 局后比赛结束的概率 P若 k 为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数，所以 必为偶数考虑连续两局比赛结果：(记 )1qp（i）甲连胜或乙连胜两局（称为有胜负的两局） ，则此结果发生的概率为 p2+q2；（ii）甲乙各胜一局（称为无胜负的两局） ，有两种情况，则此结果发生的概率为 2pq由经 k 局比赛结束知，第 1，2 两局；第 3，4 两局；第 k3，k2 两局均未分胜负若 k10，则第 k1，k 两局为有胜负的两局，从而有 12kPpq若 k10，比赛必须结束，所以 P( =10)(2pq) 4则 的分布列为 2 4 6 8 10P p2+q2 2pq (p2+q2)
28、4 p2q 2 (p2+q2) 8 p3q 3 (p2+q2) 16 p4q 4 的数学期望为 2222324()8()()64()160E，其中 31+410pqpqpqp16. 盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机抽出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P；（2）从盒中一次随机抽出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为 x1，x 2，x 3，随机变量 X 表示 x1，x 2，x 3 的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 E(X)3. 复数（一）复数的四则运算1. 已知 是虚数单位，复数 z 的共轭复数
29、为 ，若 2z = 2 3 ，则 z 2 i ii2. 已知 是虚数单位，复数 ，则 = i 7i3zzi3. 已知 是纯虚数，则52iaz_a4. 已知 为虚数单位，计算 = 2(1i)5. 复数 （其中 i 是虚数单位）的虚部为 i2z 25（二）复数的几何意义1. 对应的点在第_象限；其共轭复数为_34iz2. 设复数 满足 ，则 的最大值和最小值为 _14izz3. 已知 是虚数单位，复数 对应的点在第 象限i 3i4. 已知 是虚数单位，复数 z ，则 | z | 24i5已知 是虚数单位，复数 z 的共轭复数为 ，若 2z 3 4 ，则 z i i6已知复数 z 满足 z2 4 =
30、 0，则 z = 7. 若复数 满足 ，则 的最大值为_. 1ii4. 集合计数问题研究1. 集合 ，集合 是 S 的子集，且 满足1,23,9S 123,Aa123,a，且 ，那么满足条件的子集 的个数为_83123a6a2. 记集合 P = 0，2，4，6，8 ，Q = m | m = 100a1 10a2 a3，且 a1，a 2，a 3P ，将集合 Q 中所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第 68 项是_4643.（13 年南通学科基地密卷）设 为给定的正整数，数集 的两个子集nnM,构成一个有序对BA, ),(BA（1）记 为满足 的有序对 的个数，求 ； na),(na（2）记
31、为所有满足集合 是集合 的真子集的有序对 的个数，求b ),(BAnb变式：设集合 A，B 是非空集合 M 的两个不同子集，满足：A 不是 B 的子集，且 B 也不是 A 的子集（1）若 M= ，直接写出所有不同的有序集合对(A,B) 的个数；1234,a（2）若 M= ，求所有不同的有序集合对(A,B) 的个数n解：（1）110； 3 分（2）集合 有 个子集，不同的有序集合对(A,B)有 个M2n 2(1)n若 ，并设 中含有 个元素，则满足 的有序*(1,)knkN AB集合对 (A,B) 有 个 6 分100)23n knnkkCC同理，满足 的有序集合对(A,B) 有 个 8 分满足条件的有序集合对(A,B )的个数为 10 分(1)(2)423nnnn4. (13 年南通学科基地密卷）设 为集合 的子集，其中 为jP,21， i,3, ji,正整数，记 为满足 的有序子集组 的个数.ijajP31 )(21jP（1）求 的值；（2）求 的表达式ija
