1、第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,1 数学期望,返回主目录,1、数学期望定义,(1) 离散型,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,返回主目录,(2)、连续型,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,说 明,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例2,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例2（续）,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例3,返回主目录,例 4,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,此例说明了数学期望更完整地刻化了x的均值状态。,返回主目录,例 5,第四章
2、随机变量的数字特征,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,（2）旅客8：20分到达,X的分布率为,返回主目录,2、随机变量函数的数学期望,定理 1：,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,返回主目录,设 Y=g(X), g(x) 是连续函数， （1）若 X 的分布率为 且 绝对收敛, 则 EY=,定理 2：,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,返回主目录,例 6,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,返回主目录,例 7,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,解：,设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 求EX，
3、E(-3X+2Y)，EXY。,例 8,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,返回主目录,（例8续）,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,3、数学期望的性质,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,若x , y独立，则 EXY=EXEY,返回主目录,例 9,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,对N个人进行验血，有两种方案：,（1）对每人的血液逐个化验，共需N次化验； （2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其中的一份，按k个人一组混合后进行化验（设N是k的倍数），若呈阴性反应，则认为k个人的血都是阴性反应，这时k个人的血只要化验一次；如果混合血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份
4、血液逐一进行化验，这时k个人的血要化验k+1次；,返回主目录,（例 9续）,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,解：设X表示第二个方案下的总化验次数， 表示第i个组的化验次数，则,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,（例 9续）,例如：当p=0.1，q=0.9时，可证明k=4可使最小；这时，,工作量将减少40%.,返回主目录,例 10,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例 11,用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器 所用次数的增加而指数下降，即 P第k次生产出的产品是正品=,假设每次生产100件产品，
5、试求这台机器前10次生产中平均生产的正品总数。,解：,设X是前10次生产的产品中的正品数，并设,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例 11（续）,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例 12,对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格。,假设产品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平均需抽查的件数。,解：,设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为1,2,n，且,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例 12（续）,返回主目录,2 方差,1、定义,2 方差,第四章 随机变量
6、的数字特征,返回主目录,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,方差也可由下面公式求得：,注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离程度。,返回主目录,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例13,返回主目录,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例13（续）,返回主目录,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例13（续）,返回主目录,2、方差的性质,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,证：,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,若X,Y独立，则 E(X-EX)(Y-EY)=E (X-EX)E (Y-EY)=0 故：,注：令， 则 EY=0,DY=1。 称Y是随机变量X的标准化了的随机变量。,
7、返回主目录,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例 14,解：,返回主目录,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例 14续,先求：,返回主目录,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例 14（续）,则：,思考题：若,返回主目录,3、定理,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,定理：（切比晓夫不等式） 设随机变量X有数学期望 , 对任意0, 不等式 成立， 或,返回主目录,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,返回主目录,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例15,假设一批种子的良种率为 ，从中任意选出600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所占比例与
8、之差的绝对值不超过0.02的概率。,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例16,返回主目录,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例16（续）,返回主目录,3.几种重要随机变量的数学期望及方差,方法1：,第四章 随机变量的数字特征,2. 二项分布,1.两点分布,返回主目录,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,方法2：,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,返回主目录,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,4.均匀分布,返回主目录,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,返回主目录,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,在上一节用切比晓夫不等式
9、估计概率有：,返回主目录,4.协方差及相关系数,4 协方差,第四章 随机变量的数字特征,1、定义,定理：若X，Y独立，则X,Y不相关。 证明：由数学期望的性质有E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)又 E(X-EX)=0, E(Y-EY)=0 所以 E(X-EX)(Y-EY)=0。即 COV(X,Y)=0,称COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY 为随机变量X,Y的协方差. 而 COV(X,X)=DX.为随机变量X,Y的相关系数。,返回主目录,2、协方差的性质,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,注意：若E(X-EX)(Y-EY) 0, 即EXY
10、-EXEY 0， 则X，Y一定相关，且X，Y一定不独立。,D(aX+bY)=,返回主目录,3、相关系数的性质,证明：,令：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,说 明,X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,5、例子,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,返回主目录,
11、第四章 随机变量的数字特征,X，Y独立 =0X，Y不相关。,返回主目录,5 矩,1、定义,5 矩,第四章 随机变量的数字特征,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,例1,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,返回主目录,2、n维正态分布的性质,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,例2,解：,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,求随机变量 和 的密度函数 和 ，及 和 的相关系数 (2)问 和 是否独立？为什么？,解 （1）由于二
12、维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此有,第四章 随机变量的数字特征,随机变量 和 的相关系数,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,（2）由题设,第四章 随机变量的数字特征,1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望和方差。 2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。 3 给出了契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式 作简单的概率估计。 4 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的性质与计算。 5 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价性。 6 给出了矩与协方差矩阵。作业：,第四章 小 结,返回主目录,
