1、1.1 集合的概念与运算1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力复习备考要这样做 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用 Venn 图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解1 集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或 表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 N N*(或 N ) Z Q R(5)集合的分类：按集合中元素个
2、数划分，集合可以分为有限集 、无限集、空集 2 集合间的关系(1)子集：对任意的 xA，都有 xB，则 AB( 或 BA) (2)真子集：若 AB，且 AB，则 AB(或 BA)(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集即A ， B(B)(4)若 A 含有 n 个元素，则 A 的子集有 2n个，A 的非空子集有 2n1 个(5)集合相等：若 AB，且 BA，则 AB.3 集合的运算集合的并集 集合的交集 集合的补集图形符号 AB x|xA 或 xB AB x|xA 且 xB UAx|xU，且 xA4. 集合的运算性质并集的性质：AA ；A AA；AB BA；ABABA.交集的
3、性质：A；A A A；AB BA；ABAAB.补集的性质：A( UA)U；A( UA)； U(UA)A.1 正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误2 注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性例如：AB，则需考虑 A和 A两种可能的情况3 正确区分，0，是不含任何元素的集合，即空集0是含有一个元素 0 的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是 0.是含有一个
4、元素的集合 0 ， ，0 .1 (2012江苏)已知集合 A 1,2,4，B2,4,6，则 AB_.答案 1,2,4,6解析 AB 是由 A，B 的所有元素组成的AB1,2,4 ,62 已知集合 Ax |a1x1a，B x|x25x4 0，若 AB，则实数 a 的取值范围是_答案 (2,3)解析 集合 B 中，x 25x 4 0，x4 或 x1.又集合 A 中 a1x 1a.AB，a11，24，即 c4.题型三 集合的基本运算例 3 设 U R，集合 A x|x23x 20 ，Bx|x 2(m1) xm0若( UA)B，则 m 的值是_思维启迪：本题中的集合 A，B 均是一元二次方程的解集，其
5、中集合 B 中的一元二次方程含有不确定的参数 m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据( UA)B对集合 A，B 的关系进行转化答案 1 或 2解析 A 2 ，1，由( UA)B，得 BA，方程 x2(m 1)xm0 的判别式 (m 1) 24m (m1) 20，B.B1或 B2或 B 1，2若 B 1，则 m1；若 B 2 ，则应有( m1)(2) (2) 4，且 m(2)(2)4，这两式不能同时成立，B2；若 B 1， 2，则应有(m1)(1) (2) 3，且 m(1)(2)2，由这两式得 m2.经检验知 m1 和 m2 符合条件m1 或 2.探究提高 本题的主要难点有两个：一是集合
6、A，B 之间关系的确定；二是对集合 B 中方程的分类求解集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过 Venn 图进行直观的分析不难找出来，如 ABA BA，( UA)BB A 等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法设全集是实数集 R，A x|2x27x30， Bx|x 2a3，12当( RA)B B 时，B RA，即 AB.当 B，即 a0 时，满足 B RA；当 B，即 a0，xyV，D 错误故选 A.探究提高 本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力，解题时要充分理解题目的含义，进行全面分析，灵活处理已知集合 S0,1,2,3,
7、4,5，A 是 S 的一个子集，当 xA 时，若有x1A，且 x1A，则称 x 为 A 的一个“孤立元素” ，那么 S 中无“孤立元素”的 4 个元素的子集共有_个答案 6解析 由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素” ，如0,1,2,3 ，0,1,3,4 ，0,1,4,5，1,2,3,4，1,2,4,5，2,3,4,5，这样的集合共有 6 个典例：(5 分)(2012课标全国)已知集合 A1,2,3,4,5，B(x，y )|xA，yA，xyA ，则 B 中所含元素的个数为 ( )A3 B6 C8 D10易错分析 本 题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合 B 是解决本题的关键，该题
8、解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合 B 中的元素(x，y )不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合 B 的元素的性质中的“xA，yA，x yA” ，只关注“xA，yA” ，而忽视 “xyA”的限制条件导致错解解析 B( x，y )|xA，yA，xyA，A1,2,3,4,5，x2，y1；x 3，y1,2；x4，y1,2,3；x 5，y1,2,3,4.B(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2) ，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3) ，(5,4) ，B 中所含元素的个数为 10.答案 D温馨提醒 判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表
9、元素的字母符号，区分 x、y 、(x ，y )；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合 x|yf (x)表示函数 yf(x )的定义域，y|y f(x)表示函数 yf(x)的值域，(x，y)|y f (x)表示函数 yf(x) 图像上的点典例：(5 分) 若集合 Px|x 2x60 ，Sx| ax10，且 SP，则由 a 的可取值组成的集合为_易错分析 从集合的关系看，SP，则 S或 S，易遗忘 S的情况解析 (1)P3,2当 a0 时，S，满足 SP；当 a0 时，方程 ax10 的解集为 x ，1a为满足 SP 可使 3 或 2，1a 1a即 a 或 a .13 12故所求集合为 .0，
10、13， 12答案 0，13， 12温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征(2)在解答本题时，存在两个典型错误一是忽略对空集的讨论，如 S时，a0；二是易忽略对字母的讨论如 可以为31a或 2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.方法与技巧1集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化2对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号3对离散的数集间的运算，或抽象集
11、合间的运算，可借助 Venn 图这是数形结合思想的又一体现失误与防范1空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集时刻关注对空集的讨论，防止漏解2解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系3解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形) 和化简集合是正确求解的两个先决条件4Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心5要注意 AB、A BA、A BB、 UA UB、A( UB)这五个关系式的等价性A 组 专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题
12、(每小题 5 分，共 20 分)1 2012广东)设集合 U1,2,3,4,5,6 ，M 1,2,4 ，则 UM 等于 ( )AU B1,3,5 C3,5,6 D2,4,6答案 C解析 U1,2,3,4,5,6，M1,2,4， UM3,5,62 (2011课标全国)已知集合 M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，则 P 的子集共有( )A2 个 B4 个 C6 个 D8 个答案 B解析 M0,1,2,3,4，N1,3,5，MN1,3MN 的子集共有 224 个3 (2012山东)已知全集 U0,1,2,3,4，集合 A1,2,3，B2,4，则( UA)B 为( )A1,2,4 B2,3,
13、4C0,2,4 D0,2,3,4答案 C解析 UA0,4，B 2,4，( UA)B0,2,44 已知集合 Mx | 0，xR ，N y|y3x 21，xR ，则 MN 等于 ( )xx 1A Bx| x1Cx| x1 D x|x1 或 x1 或 x0， Mx |x1 或 x0，Ny|y 1 ，MNx| x1二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5 已知集合 A1,3，a，B1，a 2a1 ，且 BA ，则 a_.答案 1 或 2解析 由 a2a13，得 a1 或 a2，经检验符合由 a2a1a，得 a1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去故 a1 或 2.6 已知集合 A(0,1)，(1,
14、1)，( 1，2)，B(x，y )|xy10，x，yZ，则AB _ _.答案 (0,1)， (1,2)解析 A、B 都表示点集，A B 即是由 A 中在直线 xy10 上的所有点组成的集合，代入验证即可7 (2012天津)已知集合 A xR |x2|m2 ，A RB，m23 或 m25 或 m0，Nx|x 24，则 MN_.答案 (1,2解析 M x|lg x0x|x 1，Nx| x24 x|2x 2，M Nx|10，By |y x2x ，0x312 52(1)若 A B，求 a 的取值范围；(2)当 a 取使不等式 x21ax 恒成立的 a 的最小值时，求( RA)B.解 A y|ya21，By|2y4(1)当 A B时，Error! a2 或 a .3 3(2)由 x21ax，得 x2ax 10，依题意 a 2 40，2a2.a 的最小值为2.当 a2 时，Ay| y5 RA y|2 y5，( RA)By|2 y4
