1、工程力学（C）,北京理工大学理学院力学系 韩斌,( 26),（下册）,附录 II 平面图形的几何性质,1. 静矩（一次矩）与形心,任意平面图形 A （例如杆的横截面）,建立 yz 坐标系（x轴为杆的轴线）,平面图形的形心C(yc,zc),静矩的单位：m3,cm3,mm3,静矩与形心,静矩的性质,（1）静矩与轴有关，可正可负可为零。,（2）若yC,zC坐标轴过形心，则有,（3）组合图形静矩可分块计算求代数和,（4）求形心,2.惯性矩（二次矩）,惯性矩的单位：m4,cm4,mm4,惯性矩的性质：,（1）惯性矩与轴有关，恒为正。,（2）组合图形惯性矩可分块计算求代数和。,例 题 II-1,II 平面
2、图形的几何性质, 例题,求矩形截面对z轴的惯性矩,解：,常见图形的惯性矩：,3.惯性积,惯性积的性质：,（1）惯性积与轴有关，可正可负可为零。,（2）若 y , z 轴有一为图形的对称轴，则 Iyz = 0。,4.平行移轴公式,若两组坐标轴分别平行，且其中一组为形心轴，则,A 为图形的面积，a,b 为形心 C 在 yz 坐标系中的坐标,平行移轴公式可用于求组合图形的惯性矩,例 题 II-2,II 平面图形的几何性质, 例题,求T形截面对其形心轴的惯性矩。,解：,建立过形心的zCyC坐标系，及平行于zC轴的z轴,(1)求形心的位置,(2)求惯性矩,5. 转轴公式,设y,z为任一对坐标轴，将 其绕
3、O点逆时针旋转 角， 得到新坐标轴y, z，则有：,6主惯性轴、主惯性矩,（1）主惯性轴：若图形对某一对坐标轴的惯性积等于零，这一对坐标轴就称为主惯性轴。 （2）主惯性矩：图形对主惯性轴的惯性矩。,注意：图形对过某点的所有轴的惯性矩中，两个主惯性矩中的一个是最大值，另一个是最小值。,（3）形心主惯性轴：通过形心C的主惯性轴。,注意：对称轴一定是形心主惯性轴。,（4）形心主惯性矩：图形对形心主惯性轴的惯性矩。,比较：应力的主方向，主应力,求图示截面对z轴的惯性矩。,例 题 II-3,II 平面图形的几何性质, 例题,负面积法,例 题 II-3,II 平面图形的几何性质, 例题,正方形对 和 轴的
4、惯性矩均为 。而 与 轴是形心主惯性轴， ， 都是形心主惯性矩。对所有的形心轴来说， 及 中的一个是最大值，另一个是最小值。,实际上任意过形心的轴都是正方形的主惯性轴，对其任意形心轴的惯性矩为一常数。,此结论可推广到任意正多边形，即任意正多边形对其任意一形心轴的惯性矩为常量。,例如，求图示图形对z轴的惯性矩,判断正误,例 题 II-4,II 平面图形的几何性质, 例题,错！,错！,例 题 II-5,II 平面图形的几何性质, 例题,画出下列图形形心主惯性轴的大致方位,7.工程上常用的各种型钢截面几何参数,工程上常用的工字钢、槽钢、等边角钢、不等边角钢可查附录III型钢表,例如：型号为25a的工
5、字钢,查表可知：,13 梁的弯曲,13.1 弯曲的概念,1.弯曲的特点,外力垂直于杆轴线的横向力或作用于轴线所在平面内的力偶,变形杆轴线由直线变为曲线,内力杆件横截面内的剪力FS，弯矩M,2.常见的几种弯曲类型,平面弯曲外力系为轴线所在平面内的平面力系，变形后轴线变为平面曲线,对称弯曲横截面有一纵向对称轴（y轴），外力作用于该对称轴与杆轴组成的纵向对称面内，内力分量为剪力FS，弯矩M,纯弯曲：横截面上只有M，无FS,剪切弯曲（一般弯曲）：FS，M均有,例如：,AB，CD段：剪切弯曲,BC段：纯弯曲,3.列剪力、弯矩方程，画剪力、弯矩图复习上学期内容,13.2 纯弯曲时横截面上的应力弯曲正应力公
6、式,纯弯曲实验观察：,平面假设：变形后横截面保持平面且仍与轴线正交,单向受力假设：纵向纤维间无挤压,将中性轴取为z轴，纵向对称轴取为y轴， 杆轴取为x轴,1. 变形几何关系,微段 ,截面mm相对nn转动 ，中性层曲率半径 设bb线段的线应变,（a）,bb变形后长度,bb变形前长度,2.物理关系,由单向受力假设：,(b),中性轴处,3.静力学关系,横截面上的正应力分布力系向截面形心简化得到截面上的内力分量,(c),(e),(d),(c),中性轴z轴必过截面形心,(d),yz轴为截面形心主惯性轴,（y为对称轴，已满足）,(e),(13.1),EIz为梁的弯曲刚度,若截面关于z轴上下对称，则有：,若
7、截面关于z轴上下不对称，则有：,应分别计算,如M为正，则,常见各种形状截面的弯曲截面系数：,13.3 剪切弯曲时横截面上的应力弯曲切应力公式,1.剪切弯曲（一般弯曲）时横截面上的正应力,剪切弯曲（一般弯曲）时，横截面上既有M，也有FS,横截面上既有 ，也有 ,剪切弯曲时,某横截面上的正应力,弯曲正应力的最大值,2 .剪切弯曲时横截面上的切应力,切应力分布与截面形状有关:,（1）矩形截面上的弯曲切应力,假设：,从梁中切出分离体：,x方向平衡：,其中,矩形截面：,中性轴上切应力最大：,（2）工字形截面上的弯曲切应力,主要考虑腹板上的弯曲切应力,其中,（3）圆形、圆环形截面上的弯曲切应力,最大切应力
8、在中性轴处：,任意水平线上某点处切应力的 y 方向分量,最大切应力也在中性轴处：,（1）横截面上切应力的存在使得梁在弯曲时横截面出现翘曲，不再保持平面。,（3）某些形状的截面（薄壁梁如T梁、L梁、工字梁） 或某些受力情况（如支座附近有较大集中力）下，横截面上的切应力是主要应力。,3.弯曲中心的概念,观察薄壁杆件弯曲切应力的特点,在截面上形成切应力流,截面上分布切应力系向该平面内任意一点简化，即为该截面上的内力分量,一定存在某点 e ，向 e 点简化的结果只有一个合力即剪力FS而没有扭矩T,e 点称为该截面的弯曲中心,外力若作用在弯曲中心所在的纵向截面内 该梁仅产生弯曲而不会产生扭转,截面的弯曲中心位置的确定,决定于截面的几何 形状、尺寸,例如，确定槽钢的弯曲中心：,常见各种形状截面的弯心位置见书中表13.1,而各种实心形状截面的弯心与其形心十分接近,弯曲中心的位置通常有以下规律：,（1）具有两个对称轴的截面，两个对称轴的交点为弯曲中心。,（2）具有一个对称轴的截面，弯曲中心一定位于对称轴上。,（3）开口薄壁截面，当其各直线段的中线交于一点时，该点为弯曲中心。,
