1、基本初等函数训练题例 1 已知函数 当 f(x)分别是幂函数、正比例函数、反比例函221(),mfxx数、二次函数时，求 m 的值。分析与简答：本题考查上述数函数的定义。如幂函数要求 ，解得 m= ；2112正比例函数要求 =1，反比例函数要求 ，二次函数要求1m=2，且都要求 ，顺次得 m 的值是 。21m20m3,2例 2 求下列式子的值。（1） （2）5 （3）9log75log32 2lgl501A（ ）分析与简答：同学们认识对数较比认识指数要困难些，为此， （1）我们要抓住“对指互化”这个基本方法，具体我们可循如下三句话来突破：（1） 是一个数 x,这个数 x 多大？9 的这么大次方
2、是 27，即 。9log27 927x于是， ，所以 。23xx（2） 是一个数，这个数多大？5 的这么大次方是 32。于是，5 =32.l 5log32（3）则需要对数式的化简，代数式的运算。 2lgl01A（ ） 225g(4)lll1=（ ）（ ）（ ）=（lg2+lg5 ） 2-1=1-1=0例 3（2009 年北京卷）为了得到函数 3lg10xy的图象，只需把函数 lgyx的图象上所有的点（ ） （A）向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度（B）向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度（C）向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度（D）向右平移
3、3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度分析与简答：本题主要考查对数的运算、函数图象的平移变换等基础知识考查了基本变形与转化能力可以将 3lg10xy变形为 ，因此可以将函数 lgyx的图象向左平移lg(3)1yx3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，故应选 C 另外，也可以先把函数 l的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的 10 倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，然后再向左平移 3 个单位长度，得函数lg10xy3lg10xy的图像。函数的图象变换往往会出现变换不唯一的情形，不同的解析式变形，或不同的变换顺序，会产生不同的变换方法，代数运算变幻多样，图象变换殊途同归，选项 C 只是一种
4、变换方式例 4 设 a，b，c 都是正数，且 3a=4b=6c，那么，正确的选项是 （ ）A B C D1c12ba2bac21分析：本题障碍在于分别求出 的表达式，为此，设原等式为 x，利用“对指互化”，,分别解出 是确定选项的关键。,abc解：设 3a=4b=6c =x（x0）,分别取对数得 ，346log,l,logaxbcxa，b，c 都是正数， ，利用对数换底公式得1x， ， ，1log3xl4xlog6xc代入选项，即知正确选项是 B。反思：如果题目涉及指数式相等，设其等于一个值，构建对、指互化的桥梁是一个好方法；在对数式的运算中，我们又往往通过化“同底”的方法，为对数运算法则的使
5、用创造条件；解决指数式与对数式的相关运算，上述两种方法是同学们务必要掌握的。例 5、已知 ，且 则下列不等式中正确的是（ ）01a0,xyA B C D xyaxaay分析与简答：解答选择题，很多的时候可采用对相关量赋特殊值的方法，但从逻辑上讲，赋特殊值只能否定，不能肯定，有时要否定三个命题，还需几次赋值。本题涉及幂的大小比较，而已知条件把相关量限定的不易取到整数，可以采用赋值和利用函数性质结合的方法。如 A，由指数函数 为减函数可否； (01)xyaB 由幂函数 为增函数可确定为正确的选项；或取 更直观； )12aC 视两端为不同的指数函数，由 可否； xaD 取 可否。ay例 6（2007
6、 年天津卷）设 均为正数，满足 ， ，cba, aa21logbb21log.则 a、b 、c 的大小关系是（ ） 。c2log1A. B. C. D. abacca分析与简答：本题是综合运用指数函数、对数函数图像的好题。对比，我们可以右侧函数 的图像为基准，a、b 视为左侧函数 图像12logyx 12,()xxy与基准线交点的横坐标，易知 a1, 所以 0a ；因为 0 1，所以 ；因12loga1212logb1b为 0 1,所以 ；综上可知 2lccca例 7、 已知函数 如果对任意 都有 成()log(0,1)afx3,)x()1fx立，求实数的取值范围。分析与简答：通过观察函数的图
7、像，谋求解题策略，是数学解题的入门功，本题较好的体现了这一点。但要画出函数的草图，首先要考虑函数不同的单调性，于是取 或(0,1)a分类画出草图。(1,)a分析题意可得， 时，只需 ；(0,1)a(3)1f时，只需 ；(,)3f注意到 ，所以可化为 ，即 ，log(,)alog3laa1log3laa又因 ，据增减性得 。(0,1)1,3a仿此解 ，最终解得实数的取值范围是 。,1)(,例 8、已知 ，且 ， ，当 时，均有 ，求实0a1x2a)(f,21)x(f数 的取值范围。分析与简答：由 时，均有 可得 ，即在区间 上，1,x21)x(f21xa1,恒成立。记 ， 在 上图像已定，只需把
8、底21xa2(),xhg()h,数 同样要分类成 或 ，以便从函数 g(x)= 不同的单调性角度思考问0,1)axa题。当 时（请图示） ，欲使 g(x)在-1,1上恒成立，只需 g(1)，得 ，(0,1)a()hx(1)h12a即有 ；2当 时（请图示） ，欲使 g(x)在-1,1上恒成立，只需 g(1)，得(,)()x)，即有 ；a1综上所述， 的取值范围是 。a1(,)2例 9、设方程 的根为 m, 的根为 n,求 m+n 的值。24x2log4x分析与简答：m,n 分别是方程 的根，所以 m,n 分别是,x函数 与函数 图像公共点 A,B 的横坐标,根据点 A,B 关于直线 y=x 对
9、称，且点2,logxxA(B)的坐标和为 4,所以，m+n=4.例 10、讨论 y=（ ） 的单调性。21x分析与简答：设 u= =（ x-1） -1,我们可根据在 区间( -， 1、 上 ， 函 数 u 的 不 同2 ,)单调性，研究本题函数 y=（ ） 单调性。2u当 x 在(-， 1内由小变大至 1 时，根据函数图象不难得到如下判断：u=（ x-1） -1 由大变小至-1，y =（ ） 由小变大至 2。22u根据 x、y 之间的依存关系，可知 y=（ ） 在（- ， 1内为增函数。1x2当 x 在1， +)内由小变大时，根据函数图象不难得到如下判断：u=（ x-1） -1 从 -1 逐 渐 变 大 ， y=（ ） 由 2 逐 渐 变 小 ， 越 来 越 接 近 0。21u根据 x、y 之间的依存关系，可知 y=（ ） 在区间1 ， +)内为减函数。x所以，区间( -， 1 是函数 y=（ ） 的单调增区间，区间1， +)是函数 y=（ ）21x 21的单调减区间。x2同学们如有兴趣，仿此讨论函数 f(x)= 的单调性。2log(3)x
