1、合肥皖智教育培训中心He Fei Wan Zhi Educational Training Center第 1 页 共 8 页1、函数的有关概念（1）函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意： “y=f( x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y
2、=g(x)”；函数符号“y=f(x )”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 x（2）构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域（3）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y=ax +b (a0)y=ax2+bx+c (a0)y= (k0)（三）1、如何求函数的定义域例 1：已知函数 f (x) = +321x（1）求函数的定义域；（2）求 f（3） ，f ( )的值；2（3）当 a0 时，求 f（a）, f(a1) 的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式 y=f(x)，而没有
3、指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式时间段 授课内容一 函数定义域二 函数值域三 函数解析式四 例题讲解与小结、练习合肥皖智教育培训中心He Fei Wan Zhi Educational Training Center第 2 页 共 8 页解：例 2、设一个矩形周长为 80，其中一边长为 x，求它的面积关于 x 的函数的解析式，并写出定义域.分析：小结几类函数的定义域：（1）如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R .（2）如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果 f(
4、x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.2、如何判断两个函数是否为同一函数例 3、下列函数中哪个与函数 y=x 相等？（1）y = ( )2 ; （2）y = ( ) ;x3x（3）y = ; （4）y =2分析：构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决 1定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一
5、致，而与表示自变量和函数 2值的字母无关。合肥皖智教育培训中心He Fei Wan Zhi Educational Training Center第 3 页 共 8 页（2）判断下列函数 f（x ）与 g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ f ( x ) = (x 1) 0；g ( x ) = 1 f ( x ) = x； g ( x ) = 2 f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 f ( x ) = | x | ；g ( x ) = （3）求下列函数的定义域 1()|fx f f(x) = +1x2 f(x) = 4 131fx一. 求函数的定义域与值域的常
6、用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出 y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数 fg（x） 的表达式，求 f（x）的表达式时可以令tg（x） ，以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出 f（x）和 f（x） ，或 f（x）和 f（1/x）的一个方程，则可以 x 代换x（或 1/x） ，构造出另一个方程，解此方程组，消去 f（x） （或 f（1/x） ）即可求出 f
7、（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之合肥皖智教育培训中心He Fei Wan Zhi Educational Training Center第 4 页 共 8 页间的等量关系，列出等式，解出 y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析
8、式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数 yfg（x） 的定义域的求解，应先由 yf （u）求出 u 的范围，即g（x）的范围，再从中解出 x 的范围 I1；再由 g（x）求出 yg（x）的定义域 I2，I 1 和 I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复
9、合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例 1. 已知21()xxf，试求 ()fx。解：说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例 2. （1）已知21()345fxfx，试求 ()fx；（2）已知 2，试求 ；合肥皖智教育培训中心He Fei Wan Zhi Educational Training Center第 5 页 共 8 页解：说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。例 4. 求下列函数的解析式：（
10、1）已知 是二次函数，且 ，求 ；)(xf 1)(1(,2)0( xfxff )(xf（2）已知 ，求 ， ， ；x12（3）已知 ，求 ；f)(2)(f（4）已知 ，求 。3(fx【思路分析】【题意分析】 （1）由已知 是二次函数，所以可设 ，)x )0()(2acbxxf设法求出 即可。cba,（2）若能将 适当变形，用 的式子表示就容易解决了。x21（3）设 为一个整体，不妨设为 ，然后用 表示 ，代入原表达式求解。ttx（4） ， 同时使得 有意义，用 代替 建立关于 ， 的两个方)(xf)(f)xf程就行了【题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例，一般用待
11、定系数法。对于二次函数问题要注意一般式 ，顶点式 和标根式)0(2acbxy khxay2)(的选择；)(a（2）已知 求 的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）gfxf（3） ；（3）函数方程问题，需建立关于 的方程组，如本例（ 4） 。若函数方程中同时出)(f现 ， ，则一般将式中的 用 代替，构造另一方程。)(xf1f x1特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例 3. 求324xy的定义域
12、。合肥皖智教育培训中心He Fei Wan Zhi Educational Training Center第 6 页 共 8 页解：由题意知：204x，从而解得：x2 且 x4.故所求定义域为：x|x2 且 x4 。例 2. 求下列函数的定义域：（1） ； （2）35)(f xf1)(【思路分析】【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。【解题过程】【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的 的范围的交集，利用数轴可便于解决x问题。求函数
13、的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“ ”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例 4. 已知函数由下表给出，求其定义域X 1 2 3 4 5 6Y 22 3 14 35 6 17解：1，2，3，4，5，6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数 f（u）的定义域可以确定内函数 g（x）的范围，从而解得 xI 1，又由 g（ x）定义域可以解得 xI 2.则 I1I 2 即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。 2()3,(),()43f yfg例 8 已 知 求 的 定 义 域 .
14、解： 2xxxg由 例 9. 若函数 f（2 x）的定义域是 1，1 ，求 f（log 2x）的定义域。解：三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。合肥皖智教育培训中心He Fei Wan Zhi Educational Training Center第 7 页 共 8 页1、分离变量法例 11. 求函数231xy的值域。解：说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量 x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例 12. 求函数 y2x 24x 的值域。解：说
15、明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如 yaf 2（x）bf （x）c。3、判别式法例 13. 求函数23456xy的值域。解：说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于 x 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故 0。4、单调性法合肥皖智教育培训中心H
16、e Fei Wan Zhi Educational Training Center第 8 页 共 8 页例 14. 求函数23yx，x 4，5的值域。解：5、换元法例 15. 求函数 241yx的值域。解：例 3. 求下列函数的值域：（1） 5,4321,xy（2）（3） 2（4） )25(,3xxy【思路分析】【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域上的函数 ，其值域就是指集合 ；二是函数的定A)(fAx),(fyC义域，对应关系是确定函数值的依据。【解题过程】【题后思考】求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进行分析。
