1、三次函数的零点问题1、(2006 全国卷)设 a为实数 ,函数 .)(23axxf()求 的极值.(xf()当 a在什么范围内取值时,曲线 轴仅有一个交点.xfy与)(解：(I) =3 2 1()fx若 =0，则 = ， =1x3当 变化时， ， 变化情况如下表：()ff(， )1 ( ， 1)131 (1，+)fx+ 0 0 +A极大值 A极小值 A 的极大值是 ，极小值是(f 5()327fa()fa(II)函数 32)1)(1xxx由此可知，取足够大的正数时，有 0，取足够小的负数时有 0 即 (1，+)时，它的极大值也大于 0，因此曲线 =f y与 轴仅有一个交点，它在(， )上。x
2、13当 (1，+)时，曲线 = 与 轴仅有一个交点5,27ay(fx2、 （ 2009 江西卷文） （本小题满分 12 分）设函数 39()6fxxa （1 ）对于任意实数 ， ()fm恒成立，求 的最大值；（2 ）若方程 ()0fx有且仅有一个实根，求 a的取值范围 解：(1) 23963(1)2x, 因为 (,)x, fm, 即 9(6)0xm恒成立, 所以 8120, 得 34，即 的最大值为 34(2) 因为 当 1x时, ()0f;当 12x时, ()0fx;当 2时, ()0fx;所以 当 时, 取极大值 5()fa; 当 2x时, ()f取极小值 ;故当 ()0f 或 1时, 方
3、程 ()0fx仅有一个实根. 解得 2a或 5.3、 已知函数 ，x 其中 a0.axf 23)( （I）求函数 的单调区间；（II）若函数 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求 a 的取值范围；)(xf（III）是否存在常数 a，使得函数 在区间（-2 ，0 ）内恰有一个零点，若存在，求 a 的)(xf取值范围，若不存在，说明理由；【答案】4、 （ 2009 陕西卷文） （本小题满分 12 分）已知函数 3()1,0fxa求 ()fx的单调区间； 若 在 1处取得极值，直线 y=m 与 ()yfx的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解析：（1 ）
4、22()3(),fxax当 0a时，对 R，有 )0,f当 时， ()fx的单调增区间为 ()当 时，由 解得 xa或 ；由 ()0fx解得 a，当 a时， ()f的单调增区间为 (,)(,)； (fx的单调减区间为(,。（2 ）因为 ()fx在 1处取得极大值，所以 2130,1.a所以 2(),()3,fxfx由 0解得 12。由（1）中 ()fx的单调性可知， ()fx在 1处取得极大值 (1)f，在 处取得极小值 ()3f。因为直线 ym与函数 yx的图象有三个不同的交点，又 (3)9f，(3)17f，结合 x的单调性可知， 的取值范围是 (3,1)。5、 【 2102 高考福建文 1
5、2】已知 f（x）=x -6x+9x-abc，a bc，且 f（a）=f （b）=f（c）=0.现给出如下结论：f（0 ）f（1）0；f（0 ）f （1 ）0；f（0）f（3）0 ；f （0 ）f （3 ）0.其中正确结论的序号是A. B. C. D.12.【 答案】C 【解析】 ，令 则 或9123)(,96)(23 xxfabcxxf0)(xf1，当 时 ；当 时 ；当 时 ，3x10)(xf31x0)(f3x0)(f所以 时 有极大值，当 时 有极小值， 函数 有三个零点，且 ，又 ，)(,0)(ff cba abcf2754)(，即 ，因此 ， .故选 C.abc 0)(f 0)3(,
6、01f6、 （湖南 21）已知函数 有三个极值点。43219()fxxc（I）证明： ；275c（II）若存在实数 c，使函数 在区间 上单调递减，求 的取值范围。)(f,aa解：（I）因为函数 有三个极值点, 43219fxxc所以 有三个互异的实根.32()0设 则9,gxxc2()3693()1,gxx当 时， 在 上为增函数;3(),当 时， 在 上为减函数;1x0,x()1)当 时， 在 上为增函数;()g所以函数 在 时取极大值,在 时取极小值.x3x当 或 时, 最多只有两个不同实根.(3)0(1)()0因为 有三个不同实根, 所以 且 .gx(3)g(1)0即 ,且 ,27c9
7、c解得 且 故 .,c5275（II）由（I）的证明可知，当 时, 有三个极值点.c()fx不妨设为 （ ） ，则123x， ， 123x123)().x所以 的单调递减区间是 ,()f 1(x， 23若 在区间 上单调递减，x,a则 , 或 ,2a1(x， 2a3x若 ,则 .由（I ）知， ,于是， 115.a若 ,则 且 .由（I ）知，,23x2x3x21x又 当 时， ;()9,fc7()3()f当 时， .5c2()5(1)fxx因此, 当 时， 所以 且27c3,a2.即 故 或 反之, 当 或 时，31.a,.531a总可找到 使函数 在区间 上单调递减.(5)c)(xf综上所
8、述, 的取值范围是 .3,1，7、 （全国二理 22）已知函数 ()fx（1）求曲线 在点 处的切线方程；()yfMt，（2）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明：0a)ab， ()yfx()bf解：（1）求函数 的导数； ()fx2()31xf曲线 在点 处的切线方程为：yMt，()()ftx即 231yt（2）如果有一条切线过点 ，则存在 ，使()ab， t23()btat于是，若过点 可作曲线 的三条切线，则方程b， ()yfx320t有三个相异的实数根记 ，32()gtatb则 6()t当 变化时， 变化情况如下表：t(gt，(0)，0 ()a， a()a，()gt0 0()tA极大值 abA极小值 ()bfaA由 的单调性，当极大值 或极小值 时，方程()gt 00最多有一个实数根；0当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相ab()gt32at， ()gt异的实数根；当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个()0f()0ttt， ()0t相异的实数根综上，如果过 可作曲线 三条切线，即 有三个相异的()ab， ()yfx()gt实数根，则 0().f，即 ab
