1、1复变函数第一章学习指导一 知识结构1. n复 数 的 定 义有 序 实 数 对代 数 式复 数 的 五 种 表 示 三 角 式复 数 指 数 式向 量复 数 的 模 、 辐 角 、 共 轭 复 数棣 莫 夫 公 式复 数 的 次 方 根2. 平 面 点 集预 备 知 识 区 域 曲 线复 变 函 数 数 复 变 函 数 的 概 念 及 其 集 合 意 义复 变 函 数 的 极 限 与 连 续 概 念 与 性 质学习要求:了解复数定义及其几何意义；熟练掌握复数的运算；知道无穷远点邻域；了解单连通区域与复连通区域；理解复变函数；理解复变函数的极限与连续。内容提要:复数是用有序数对 定义的，其中
2、为实数。要注意，因为复数是),(yxyx,“有序数对” ，所以一般地讲， 。)(,正如所有实数构成的集合用 表示，所有复数构成的集合用 表示，即RC,:)(RbazC复数的四则运算定义为),(),( dbcadcba2),(),( adbcadcba0,222c复数的四则运算满足以下运算律加法交换律 121zz加法结合律 323)()(z乘法交换律 121zz乘法结合律 323)()(z乘法对加法的分配律 31211 zz称为 的共轭复数，记为 。 称为 的模，),(yx),(yxz 2yx),(yx记为 。共轭复数满足zzzzImi2,Re2, 121z0,)(212zz复数的三角式 （其中
3、 ）)sin(corzr复数的三角式 iez由此得如下关系式)(i21i2i121 21 rrz0,e2)(i2i221znnrzi2121z30,212zz)Arg()r()Arg(211z212zz对于复数 ，它的 次方根为 。iern )1,0(e2i nkrznn 点的 邻域为复数集合 ，记为 .0z:0z),0N点的去心 邻域为复数集合 ，记为 。:z),(0*z无穷远点的 邻域为复数集合 ，记为 .z),(开集：所有点为内点的集合；开集的余集我们称为闭集.区域：1、 是开集；D2、 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于 。对于区域 ，若
4、中任意一条简单闭曲线的内部仍属于 ，则称 为单连D通区域。不是单连通区域的区域称为复连通区域。复变函数的定义：设 ，如果对于 中任意以点 ，有确定的复数 同它对应，则称在CGzw上定义了一个复变函数，记为 .)(f复变函数 的定义类似于数学分析中实函数 的定义，不同的)(zfw )(xfy是前者 是复平面到复平面的映射，所以无法给出它的图形。注 1、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个 和 对应；z注 2、同样可以定义函数的定义域与值域；注 3、复变函数等价于两个实变量的实值函数。复变函数的极限：设函数 在集合 上确定， 是 的一个聚点，)(zfE0是一个复常数。如果任给 ，可以找
5、到一个与 有关的正数a0，使得当 ，并且 时，)(|，|af则称 为函数 当 趋于 时的极限，记作：zf0)()(lim0, zAE当或4复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即且AzfAzfzz Re)(lim)(li 00 IRe AzfzIm)(Ili0mIRe复变函数连续性的定义：如果 成立，则称 在 处连续；如果 在 中每一)(li00fz )(f0zE点连续，则称 在 上连续。E如果 ， ， 在 处连续的充,yxivui)(f0z要条件为： ， ,l)(li,0, 00 yxvyxyx 四.典型例题例 1 设 ，求 i3,i522zz21z分析：直接利用运算法则
6、也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。解 为求 ，在分子分母同乘 ，再利用 ，得21z2z1i2i07i)i3(52212zz例 2 求复数 的模)i(4A解 令 ，有21,i31zz 21zA由共轭复数的运算结果得 1212121 zz例 3 求 8)i1(解 ，故有4ie2 16e)2(e()i1( 2i48i84i8 5例 4 设 ，求 iz14z解 因 ，故 于是， 的四个四次方根为4ie24arg,2zz16i80ew9i12167i8e25i3w例 5 试确定不等式i0arg4z所确定的点集是什么图形？解法 1 （按复数几何意义和辐角定义分析）先考虑满足等式 irz的
7、点的集合.因为 iargr(i)arg(i)zz又 arg(i)z和 r(i)z分别是始点在 和 而终点在 的向量与正实轴的夹角（根据本书规定：主辐角的范围为 02，故上述描述成立）.因此等式 iarg4z表示到两定点 i,的张角之差等于定数 的点z的集合.由平面几何的定理知，这是缺了点 i和i的两个圆弧.见图 1.10 所示，图中两个圆弧实际上只有实线圆弧才是iarg4z所确定的点集；虚线圆弧是iarz所确定的点集.再考虑等式 irg0z确定的点集.实际上，此点集是虚轴上点 i以上，点i以下的点的全体。从图中看出可见，该点集和图 1.10 中实线圆弧将整个平面分为两半. 容易验证，左边的部分
8、除去圆域（即图中淡灰色）为不等式i0arg4z所确定的点集.解法 2 根据辐角定义得出，由 izxyX Y 图 1.0 1 i 62222ii1i()(1)arg()arctnizxyxyxyz由题意得到 20()14xy注意到，在 (,/4)的角度区域，正切函数是单增的，对上述不等式两边均取正切得到 201xy由此得到 2(1)x或 20()xy注意到 2()xy是以（1，0）为圆心，以 为半径的圆周，所以满足题给条件的是图 1.10 中灰色的部分. 根据题给辐角不等式，对于 0x，其辐角不满足要求.例 6 研究下列函数在 z点的连续性.（1）Im()1fz（2） Re, 0()0, zf解
9、（1） ii 2000snsinli()lilm11zr rfe，又因为 (0)f，故函数()fz连续 .（2）i 2i000coslim()llcoszr rf e，又因为 ()f，故函数 ()f连续.1. 证明不等式（1） zRt， zIm（2） 2121证明：（1）设设 iy，则 z 2yx故 xzt 2同理: zyIm(2).由21（ 1 2） （ 1 2） z 1z 27 212121zzz tR（ ） 由（1）2121 2)z（zz2、证明：（1） 、 ，并作图。332()（2） 、 。12证明：设 ，31,iyxziziyx则(1) ，)()33z，(2221所以)(3313ii
10、)(221yx(yxz)(32131i).2z(2) )(3232yixz)(11 )( 321xy1z23z8)()( 3121321xyxiyx221 iiz(33所以， 1)(z3、证明：设 、 是两复数。如果 和 都是实数，那1221z么 和 或者都是实数，或者是一对共轭复数。1z2证明：设 ,iyxi)()2121x(2y由于 和 为实数，所以1z012x若 ，因此 和 为实数；,1y则 z2若 ，所以 ，即则 1x。122iiz4、求复数 的实部与虚部。解： 2|)()(zzw221|Im|1(i所以， ， 。Re2I5、设 、 实、是两复数，求证1z29（1） 、 ；21212R
11、e| zzz（2） ；（3） 、 ，并说明)|(|22其几何意义。证明：(1)、 )(| 2111zzz 212)( |2211Re(2)、因为 ，所以z|2| zz| 21211 ，2)(|所以 |1(3)、 ，212Re| zzz)(|211所以， |(| 2122几何意义如图，平行四边形的对角线的平方和 2 乘以起两边的平方和.1z2z2106、设 ，证明iyxz。|2|yxz证明： ，| |因为 （算术-几何平均不等式）|yx所以 2|2|2yx，| 所以 .|zyx7、试证：分别以 、 、 及 、 、 为顶点的两个三角1231w23形相似的必要与充分条件是。0321z证明： 3210
12、wz)(23132 zz231)( wz231312 )(11231312312 )()()()( wzzwz2所以， 1313同理，有， 22z所以 31wzw| 22即三角形的三边成比例，所以相似，反之，若三角形相似，则对应三边成比例，对应角相等，可以证明 ，所以231312zz结论成立。8、如果 ，且 ，证明 、|31z021、 是内接于单位圆的一个正三角形。2z3证明：由于 ，所以它们在单位圆上；又因为|2，故0131z2z3312z12如图，则 与 的夹角和 与 的夹角相等；1z32z3同理， 与 的夹角和 与 的夹角相等；21与 的夹角和 与 的夹角相等；因此，容易证明， 、 、
13、的夹角为 120 度，所以结论成立。1239、求证： )2sin(cos)sinco( n证明： )| 22i，s4)s1(所以 ，2incoinco2)(2故 .)si(si1n11、设 ，证明：|0z如果 ，那么 ；10如果 ，那么|（1） 、 ；0z（2） 、 ；202|1|)(z13（3） 、 ；|1|1000zzz（4） 、 。|证明： ，所以 ，因此|zz；1|)(100z(1)、 22Re|zz，000)(所以 2222 |)(1| z1)(0zz即 ，0|所以 ；(2)、由上面的讨论，有：，)|1(|1| 2022020 zzz即 |)(3)、 2020|Rezz0| 1420
14、20|)|1(| zzz024020433 Re|Re2)(zz|1|zz0240203e| |20|)|(1)(z z0022333Re|zz020Re)1|()1|(|z20|e|，)|)( 0所以， ；200|1z2)(|15zzzz 0240204332 Re|Re| 2)(1| zz0240203Re| |20|)(|1)(zzz0022333e| |z022Re)1|()1|(|zz020|2)|)( 所以2020200 |)|(1| zz；z|116(4)、类似于(3)，可以证明结论。14、满足下列条件的点 所组成的点集是什么？如果是区域，是单连通区z域还是多连通区域：（1） 、
15、 ； 3Im解：直线，不是区域；（2） 、 ；Re解：半平面，单连通无界区域；（3） 、 ； |iz解： ，圆心5i在 i，半径为 的闭圆盘，有界闭区域；5（4） 、 ；|2|z解：椭圆，不是区域；（5） 、 ； 4)arg(i解：半射线，不是区域；（6） 、 ；21Re,|z解：半园，不是区域，因为既不是开集，也不是闭集；（7） 、 ；|0i解：去心圆盘，有界多连通区域；（8） 、 ；1z解：圆盘的外区域，无界多连通闭区域；， ；iyx83)4(2y（9） 、 ；Re,argz解：梯形区域，有界单连通区域； （10） 、 ；0iz17解： )arg(argiziiz圆盘的外区域，无界多连通闭区域.
