1、灾区物资运输的最优路径规划摘要近些年，自然灾害频繁发生。海啸、地震、泥石流、台风等自然灾害给人们带来了无尽的灾难，使人们的生活处于水深火热之中。面对大自然的爆发，人类却显得那么渺小。虽然我们无法避免自然灾害，但却可以降低它给人们带来的损失。因此，灾难发生后，如何快速、准确的确定灾区的位置、各灾区之间的联系及确定物资的发放路径便显得尤为重要了。本文讨论了一个灾区物资运输的最优路径规划问题，灾区应急物资运输非一般的物流活动，它具有弱经济性，讲究时间的紧迫性和运输路程的最优化，为此本文将提出一套优化的路径，来解决灾区物资运输难，速度慢，效率低的问题。对于问题一，计算任意两区域间的最短距离，题干中已经
2、明确指出这 30 个受灾区域并非任意两个区域间都有道路直接相通，所以不能直接求这 30 个坐标两两之间的欧氏距离来作为这两个区域间的最短距离，所以我们把问题转化为图论问题来求解，先确定赋权图的权矩阵，然后再运用 Floyd 算法来求任意两点间的最短路径。对于问题二，把一批物资从发放站出发运输到各受灾区，最后运输车辆又回到发放站，这是一个典型的 TSP 回路问题，我们运用寻求最佳 Hamilton 圈的方法来求解，其中结合了二边逐次修正法进行优化，从而得到近似最佳Hamilton 圈,从而确定了灾区物资运输的最优路径。关键词：最短路径问题、物资运输、Floyd（弗洛伊德）算法、赋权图、权矩阵、0
3、-1 规划问题、最佳 Hamilton 圈、TSP 回路一问题的重述1.1 问题背景在一次大的自然灾害中共有 30 个区域受灾，现需将A、 B、 C、 D、 E、 F、 G 共 7 种物资发放到各个受灾区域，并且这 30 个受灾区域并非任意两个区域间都有道路直接相通。1.2 问题描述问题一：计算任意两区域间的最短距离；问题二：有一批物资需从发放站出发运输到各受灾区，最后运输车辆又回到发放站，请设计一条最短路径；二问题分析计算任意两区域间的最短距离，属于图论中无向图的最短路径问题，任意两点之间的权可取为这两点的欧氏距离，显然在求解此最短路径问题前，需要先将问题转化为一个图论问题，即将二维空间的路
4、线问题转化为平面的图问题。问题一要求计算任意两区域间的最短距离，这里需要注意的是，题干中已经明确指出这 30 个受灾区域并非任意两个区域间都有道路直接相通，所以不能直接求这 30 个坐标两两之间的欧氏距离来作为这两个区域间的最短距离，而是要先根据道路间的相通条件来确定出赋权图，对不满足此道路相通条件要求的，可赋权为无穷大，从而转化为图论问题来求解。对于问题二则是利用上一问构造出完备图，用二边逐次修正法求解最优 Hamilton 圈的 TSP 回路问题。三模型假设与符号说明3.1 模型假设（1）忽略七种物资从体积和重量方面不同而对各运输车辆的运输速度产生的影响。（2）忽略运输途中自然灾害和外界的
5、客观因素对正常运输速度的影响。（3）任意两点间的曲线距离近似为其欧氏距离。（4）假设任意一区域都为一质点，不考虑区域内的距离。3.2 符号说明G(V,E,W): 赋权连通图V: G 的点集合，即为各灾区及物资发放站的集合E: G 的边集合，即为相邻各灾区或相邻的灾区与物资发放站之间两两连线的集合W：G 的权集合，即为相邻两灾区或物资发放站与灾区之间距离的集合v 、v ：受灾区域ijv ：物资发放站1e :两受灾区域间的路径ijw(e ):对应路径的长度ij、 ：受灾区域的横坐标1x2、 ：受灾区域的纵坐标yd: 两受灾区域间的欧式距离四模型建立与求解4.1 任意两区域最短距离的数学规划模型设
6、P(v ,v )是赋权图 G=(V,E,W)中从点 v 到 v 的路径，记 E(P)表示路径ij ijP(v ,v )中全部边的集合，W(P)= ,则称 W(P)为路径 P(v ,v )的长度。ij )(ePEWij如果 P (v ,v )是 G 中连接 v 到 v 的某条路径，且对任意路径 P(v ,v )都0ij ij ij有 W(P )W(P),则称 P (v ,v )是 G 中连接 v 到 v 的最短路径。0ij ij假设图 G 有 n 个点，记为 v ，v ，v ，任意一条边 v v 的权 w ，下12nijij面建立数学规划模型求顶点 v 到 v 的最短路径。n由于路径 v 到 v
7、 要么在最短路径上，要么不再，故设 0-1 决策变量 x ，定ij ij义 x =1 表示路径 v 到 v 在最短路径上，否则为 0.对于任意顶点 v （v vij ij ii且 v v ） ，如果 =1，则说明所有以 v 为起点的边中必然有一条在最短1inn1jijxi路径上，即最短路径经过该顶点，所以所有从其他顶点到达该顶点的边中也必然有一条边在最短路径上，即有 =1；如果 =0，则说明最短路径不经n1jixn1jijx过 v ，故必有 =0，于是有 = （1in）in1jixn1jijji对于起点 v 和终点 v ，显然有 =1， =1，于是建立最短路径的数1nn1jjxn1j学模型：M
8、in z= Ejivijw= （1in；j=1，n）n1jijxji=1 =1n1jj1jnxX 0，1 （i，j=1，n）ij4.1.1 模型的建立把灾区位置分布图抽象为一赋权连通图 G=(V,E,W)，在赋权图 G中， iv()VG对应示意图中的各个灾区，v 表示物资发放站，e ()E对应示意图中1ij路径.边权 w(e )W(G)对应示意图中的路径长度.ij4.1.2 算法介绍（Floyd 算法）在图论中，求解最短路径一般有两种方法，即 Dijkstra*(狄克斯特拉)算法和 Floyd（弗洛伊德）算法，Floyd 算法可以一次性求出任意两顶点间的最短路径和距离，因此在第一问中我选择用
9、Floyd 算法，下面对 Floyd 算法的原理做一个简单的介绍令 表示一个 矩阵，它的 元素是 nDN(,)ijmijd1将图中各顶点编为 确定矩阵 ，其中 元素等于从顶点1,2 0D(,)到顶点 最短弧的长度(如果有最短弧的话)如果没有这样的弧，则令ij对于 ，令 0ijdi0ijd2对 ，依次由 的元素确定 的元素，应用递推公式1,mN m-1m1in,ijijijdd每当确定一个元素时，就记下它所表示的路在算法终止时，矩阵 的元素nD就表示从顶点 到顶点 最短路的长度(,)ijijFloyd算法的软件实现详见模型的求解4.1.3 求解准备1）根据已知位置点的坐标和连接情况，使用 Mat
10、lab 做出各点位置图如下：0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000102030405060708090100图 1 各点位置与连通情况图2）根据已知各点坐标，由两点间距离公式 求得图2211()()dxy中相邻连通点间的距离如下表：表 1 相邻连通点距离表序号 点1点2距离（m）序号 点1点2距离（m）序号 点 1 点 2 距离（m）1 1 2 73.6588 112 6 17 53.1905 223 14 19 24.69592 1 4 43.01225 113 6 18 73.9477 224 14 20 22.05123 1 5 80.28333 114 6
11、19 83.0045 225 14 21 70.31744 1 6 11.05794 115 6 20 80.2596 226 14 22 66.59855 1 7 39.84628 116 6 22 9.6071 227 14 23 31.71726 1 8 23.43204 117 6 24 57.1466 228 14 24 26.26987 1 10 73.85275 118 6 26 44.6727 229 14 26 28.25078 1 11 39.0314 119 6 30 18.3477 230 14 27 13.06429 1 12 82.5219 120 7 8 43.8
12、447 231 14 28 56.41310 1 14 61.565 121 7 9 61.6802 232 14 30 60.202111 1 17 43.8162 122 7 11 3.9673 233 14 3112 1 20 69.7417 123 7 13 22.4382 234 15 17 55.968213 1 21 11.4288 124 7 14 77.1089 235 15 18 31.30414 1 22 15.0627 125 7 15 63.6445 236 15 19 45.051915 1 23 71.2152 126 7 17 17.5789 237 15 21
13、 48.20316 1 24 46.3691 127 7 19 74.748 238 15 25 54.982417 1 25 16.9992 128 7 20 73.2146 239 15 26 3.021718 1 26 37.3897 129 7 21 31.9523 240 15 27 37.348319 1 27 74.1646 130 7 22 54.259 241 15 28 40.855420 1 29 52.9948 131 7 23 68.8777 242 15 29 40.924321 1 30 8.4075 132 7 24 51.8622 243 15 30 38.8
14、85322 1 31 46.5612 133 7 25 38.5623 244 15 3123 2 4 51.5026 134 7 26 64.8575 245 16 17 72.30924 2 5 46.31 135 7 28 96.9983 246 16 18 39.528425 2 6 83.3416 136 7 30 32.0677 247 16 21 48.823326 2 7 83.8161 137 8 9 19.4461 248 16 22 30.29527 2 9 34.2151 138 8 10 51.4578 249 16 25 51.367728 2 10 9.6125
15、139 8 16 35.0737 250 16 26 22.418729 2 11 86.7509 140 8 18 51.0657 251 16 27 57.344330 2 12 17.1797 141 8 20 46.4351 252 16 28 22.635931 2 13 61.3785 142 8 22 32.9858 253 16 29 17.64132 2 14 14.3293 143 8 23 48.6844 254 16 30 43.304933 2 15 39.9349 144 8 24 23.6269 255 17 18 84.827534 2 16 63.0792 1
16、45 8 26 21.0096 256 17 19 58.516835 2 17 69.049 146 8 27 52.0704 257 17 20 57.2736 2 18 36.9842 147 8 28 55.8629 258 17 21 40.070537 2 19 16.0536 148 8 31 60.95746 259 17 22 58.843738 2 20 14.8068 149 9 10 33.1813 260 17 24 38.083939 2 21 81.496 150 9 11 63.5136 261 17 26 57.863640 2 22 79.977 151 9
17、 12 41.7922 262 17 27 76.431941 2 23 25.0663 152 9 14 21.0121 263 17 28 93.692542 2 27 12.2303 153 9 16 32.6685 264 17 29 89.898943 2 29 74.3933 154 9 17 52.2444 265 17 30 35.431744 2 30 71.2532 155 9 19 38.042 266 18 20 48.655445 3 4 43.1659 156 9 20 35.0084 267 18 22 66.871946 3 5 77.2554 157 9 21
18、 50.0259 268 18 23 58.621847 3 7 49.8365 158 9 23 41.0512 269 18 24 49.287848 3 8 16.6744 159 9 24 20.5995 270 18 28 35.949449 3 10 62.0768 160 9 25 57.6538 271 18 29 43.512550 3 11 49.8708 161 9 26 10.2814 272 18 30 69.898451 3 13 38.6919 162 9 27 33.4159 273 19 20 3.03452 3 15 24.9696 163 9 30 40.
19、148 274 19 21 78.371653 3 16 24.8085 164 9 31 80.31049 275 19 22 81.447554 3 17 49.287 165 10 11 91.0885 276 19 23 9.177755 3 18 53.9454 166 10 12 9.8038 277 19 24 26.372956 3 19 64.3744 167 10 13 66.1151 278 19 26 47.937457 3 21 25.4406 168 10 14 12.3358 279 19 27 28.104758 3 22 17.1009 169 10 16 5
20、8.3695 280 19 28 80.675359 3 23 64.795 170 10 17 74.7152 281 19 29 83.865260 3 24 39.8706 171 10 18 28.2119 282 19 30 68.304261 3 25 30.6117 172 10 21 82.6522 283 19 31 99.3538662 3 26 23.9001 173 10 22 78.4048 284 20 21 75.893663 3 27 62.0988 174 10 23 34.3454 285 20 22 78.570264 3 29 41.6414 175 1
21、0 24 36.753 286 20 23 10.425565 3 30 18.5833 176 10 25 90.6725 287 20 24 23.925766 4 5 38.2732 177 10 26 39.4894 288 20 27 26.483767 4 7 33.1463 178 10 27 2.6201 289 20 28 77.805868 4 8 27.8884 179 10 28 62.3547 290 20 29 80.888969 4 9 37.3769 180 10 29 68.0035 291 20 30 65.78570 4 11 36.5231 181 10
22、 30 72.5303 292 20 31 97.5625571 4 12 66.9804 182 10 31 110.3259 293 21 22 23.047672 4 13 11.7963 183 11 12 100.8599 294 21 23 75.929373 4 15 42.3774 184 11 13 25.4601 295 21 24 51.999574 4 20 40.1331 185 11 15 65.0765 296 21 26 47.937875 4 22 56.8152 186 11 17 21.4541 297 21 27 83.190476 4 23 35.99
23、18 187 11 20 76.4743 298 22 23 81.602877 4 24 20.786 188 11 21 30.2935 299 22 24 56.580678 4 25 53.6261 189 11 22 53.0389 300 22 25 22.112479 4 26 44.7481 190 11 23 72.3962 301 22 26 39.200380 4 28 82.3715 191 11 27 92.4337 302 22 27 78.214681 4 29 80.2193 192 11 29 91.3087 303 22 28 51.12382 4 30 3
24、5.7286 193 11 30 31.6495 304 22 29 42.53783 4 31 58.1129 194 11 31 22.0891 305 22 30 23.461484 5 6 91.3219 195 12 13 75.9239 306 22 31 56.8187785 5 7 66.357 196 12 14 21.6262 307 23 24 25.058186 5 12 63.0008 197 12 17 84.4894 308 23 25 85.488287 5 13 49.3143 198 12 18 28.8128 309 23 26 51.300988 5 1
25、4 52.9081 199 12 20 31.9711 310 23 27 36.900189 5 15 65.758 200 12 22 86.1074 311 23 28 86.206290 5 16 90.7089 201 12 23 42.0984 312 23 30 66.168191 5 17 48.8361 202 12 24 46.5544 313 24 25 61.303992 5 18 79.8806 203 12 26 46.912 314 24 26 30.293893 5 19 30.2616 204 12 28 64.6178 315 24 27 38.374194
26、 5 20 31.9247 205 12 30 81.6456 316 24 28 68.071995 5 21 82.1576 206 12 31 119.9629 317 24 30 41.929896 5 22 92.921 207 13 14 55.0383 318 24 31 74.8708697 5 23 21.5264 208 13 15 44.81 319 25 26 54.2998 5 24 38.9546 209 13 17 11.3125 320 25 27 91.056899 5 25 91.8773 210 13 18 74.1871 321 25 28 72.994
27、5100 5 26 68.7565 211 13 19 52.796 322 25 30 19.3804101 5 27 58.3332 212 13 20 51.0856 323 26 27 39.1198102 5 31 92.2946 213 13 21 33.7561 324 26 28 38.0963103 6 8 33.8254 214 13 22 49.7727 325 26 29 37.9342104 6 9 49.6638 215 13 25 43.2772 326 26 30 38.9387105 6 10 82.8137 216 13 26 46.6291 327 26
28、31 80.7416106 6 11 44.8608 217 13 27 67.6154 328 27 28 60.5114107 6 12 91.0795 218 13 28 82.4216 329 27 30 73.1291108 6 13 45.2962 219 13 30 26.9668 330 27 31 111.424109 6 14 70.6729 220 13 31 46.5843 331 28 29 10.5143110 6 15 45.8405 221 14 17 64.2827 332 29 30 59.6825111 6 16 39.1441 222 14 18 26.
29、9728 333 29 31 98.8494.1.4 模型的求解 问题 1 要求计算这 30 个受灾区域任意两个的最短距离，首先根据表一中的数据利用 matlab 做出赋权图的权矩阵，再利用 floyd 算法结合 Matlab 的软件实现，D,path=floyd(W),其中，输入量 W 为赋权图的权矩阵，输出量 D 为一个 n 阶矩阵，其元素 d 表示从顶点 v 到 v 的最短路径的长度，path 也是一个 n 阶矩ij ij阵，其元素 p =k 表示在顶点 v 到 v 的最短路径中顶点 v 的后继点为 v ，以ij ij i k此类推。M 函数文件 floyd.m 内容如下：functio
30、nD,path=floyd(W)n=size(W,1);D=W;path=zeros(n,n); %设置 D 和 path 的初值 for i=1:nfor j=1:nif D(i,j)=infpath(i,j)=j; %j 是 i 的后继点 endendendfor k=1:n %做 n 次迭代，每次迭代均更新 D（i,j）和path（i，j）for i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); %修改长度path(i,j)=path(i,k); %修改路径end,end,end,end4.2 TSP 回路模型TSP 问题
31、是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访 n 个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。4.2.1 模型的建立先给出图论中相关的一些定义.定义 1 经过图 G 的每个顶点正好一次的圈，称为 G 的哈密顿环路，也称Hamilton 圈.定义 2 在加权图 G=(V,E)中(1)权最小的哈米顿圈称为最佳 Hamilton 圈；(2)经过每个顶点至少一次且权最小的闭通路称为 TSP 回路问题.由定义 2 可知，本问题是一个寻找 TSP 回路的问题.TSP 回路的问题可转化为最佳 H
32、amilton 圈的问题.方法是由给定的图 G=(V,E)构造一个以 V 为顶点集的完备图 ， E中每条边（x,y）的权等于顶点 x 与 y 在图中最短路径的(,)GV权，即11min,mijijijdd在图论中有以下定理：定理 1 加权图 G的物资运输员回来的权和 G的最佳 Hamilton 圈的权相同；定理 2 在加权完备图中求最佳 Hamilton 圈的问题是 NPC 问题.求加权图 G(V,E)的 TSP 问题回路的近似算法:1.利用第一问的结果构造出完备图 ，(,)VE(,),()min(,)GxyExydxy2输入图 的一个初始 Hamilton 圈； 3用对角线完全算法产生一个初
33、始 Hamilton 圈；4随机搜索出 中若干个 Hamilton 圈，例如 3000 个；(,)V5对 2、3、4 步所得的每个 Hamilton 圈，用二边逐次修正法进行优化，得到近似最佳 Hamilton 圈；6在第 5 步求出的所有 H 圈中，找出权最小的一个，此即要找的最佳Hamilton 圈的近似解.4.2.2 模型的求解利用二次逐项修边法进行求解：1. 将这 31 个顶点令为点集 = ， 1，2，3，31，令矩阵 为iX(,)iabi B仅含有点 的最短距离方阵，构成加权图完备图 ：i (,)GVE图 2 加权完备图 G的邻接矩阵详见权矩阵的求解中权矩阵2.将 的邻接矩阵 通过经
34、典货郎担问题的解法，即二次逐项修边(,)PVEw(,)Bij法，求得最优的 Hamilton 圈.五结果分析5.15.2六模型分析6.1 模型的优点1）问题二是一个典型的 TSP 回路问题，打破常规，本文则是巧妙的将 TSP 回路问题转化为最佳 Hamilton 圈问题来求解，方便了计算。2）对于弗洛伊德算法，它是一种动态规划算法，与同样是求最短距离的Dijkstra 算法比起来它更适合稠密图的计算。6.2 模型的缺点1）对于典型 TSP 问题虽然我们用计算机模拟技术，得到了近似优解，但跟实际存在的最优解仍然有一定差距。2）由于弗洛伊德算法的时间复杂度比较高，所以不适合计算大量数据。3）求解问
35、题中，对于一些问题我们基于一些假设，但是还是缺少证明，同时还应该加入一些数据修整的优化方法。4）在求解任意两区域间的最短距离时，我们忽略了道路的弯度，而是以两点间的直线距离取代了实际距离，这样带来的误差是不可避免的。6.3 模型的改进1) 模型求解的进一步优化在计算 TSP 回路问题时可以综合多种方法比较验算，使计算结果更精确，比如可以通过蚁群算法获得多条近似优解，选取最佳线来得出结果，与上面的方法进行结果比较，以便使结果更准确。2) 考虑的因素可以更加全面由于需要运输的是 7 种体积、重量都不同的物资，所以在运输过程中会遇到各种不同的困难，在这篇论文中，我们都忽略了这些客观因素，所以会有很大的误差，其实我们应该综合考虑物资运输车的最大载重范围和最大带货体积，甚至更多的外界因素，使模型更加全面，结果更加精确。七参考文献1 李德宜，李明，数学建模，北京科学出版社，20092 崔怡，Matlab 实例详解，航空工业出版社，2000.23 张瑞丰，Matlab 6.5,中国水利水电出版社，2004.24姜启源、谢金星、叶俊，高等教育出版社，2004.4八附录
