1、1第八讲 复数知识、方法、技能I复数的四种表示形式代数形式： R）baiz,(几何形式：复平面上的点 Z（ ）或由原点出发的向量 ., OZ三角形式： R.0,)sin(corrz指数形式： .ie复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实.II复数的运算法则加、减法： ;)()()( idbcadicbia乘法： );sin()cos()sin(o)sin(co 212121211 rrr除法： .0(2dcabdab).si()s)sin(co 21212211rr乘方： N） ；nin(co 开方：复数 次方根是ir的)s(c ).1,0
2、)(si(cs nkkr III复数的模与共轭复数复数的模的性质 |;)Im(|,)Re(| zz | 2121 nn 2 );0(|212zz 、 对应的向量 、 反向时取等号；1211|,| z与 复 数21OZ2 ，与复数 对应的向量| 22 nnzz nz,同时取等号.OZ,1共轭复数的性质 ；2|zz ；)Im(),Re(z z ；2121z ；z );0()(212z 是实数的充要条件是 是纯虚的充要条件是z,).0(z复数解题的常用方法与思想（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主值相等（辐角相差 2 的整数倍）. 利用复数相等的充要条件，可以
3、把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.赛 题 精 讲例 1：设 m、n 为非零实数， i 为虚单位， C，则方程 与z nmizni|izi|如图 I181，在同一复平面内的图形（ F1、F 2 是焦点）是（ ）3【思路分析】可根据复平面内点的轨迹的定义；也可根据 m、n 的取值讨论进行求解.【略解】由复平面内点的轨迹的定义，得方程在复平面上表示以点 为焦点的椭圆， .这表明，至少有min,0,故一焦点在下半虚轴上，可见（A ）不真.又由方程，椭圆的长轴之长为 n，|F 1F2|0.（
4、1）若 这时，在坐标平面上，F 1（0，n） ，F 2（0，m） ，只可能为图象.0,m（C） ，但与|F 1F2|m|. 故在（B）与（D）中，均有 F1 : ni；F 2 : mi，且 m0. 由方程，双曲线上的点应满足到 F2 点的距离小于该点到 F1 点的距离.答案：（B）【评述】 （1）本题涉及的知识点：复数的几何意义，复平面上的曲线与方程，椭圆，双曲线，共焦点的椭圆与双曲线，讨论法.（2）本题属于读图题型. 两种解法均为基本方法：解法中前者为定义法；后者为分类讨论法.例 2：若 的值是 .zzzCz 则,)4arg(,65)4arg(, 22 【思路分析】本题可由已知条件入手求出复
5、数 z 的模，继而求出复数；也可由几何意义入手来求复数 z.图 I1814【略解】令 ),65sin(co412 z,3is2)0,(1得 ),21()2(81i解得 代入后，,8231,012,34,12+得 ),(4iz).31(sn3coii【别解】如图 I182， .2zOD过 D 作与实轴平行的直线 AB，取 AD=BD=4，)31()sinco2,2(4,32,4|,.2.3,6544222z xOBDxOBARtxBxzOA中在从 而则【评述】本题的两种解法中，前者应用了复数的三角形式；后者应用了复数的几何意义，数形结合，形象直观.5例 3：x 的二次方程 、 、m 均是复数，且
6、 .1212,0zzx中2 iz2016421设这个方程的两个根为 、 ，且满足 .7|求|m |的最大值和最小值.【解法 1】根据韦达定理有.,21z,44)()( 212mz.7|)54(| ,1.8|221imz即这表明复数 m 在以 A（4，5）为圆心，以 7 为半径的圆周上如图 I183 所示.故原点 O 在A 之内 . 连接 OA，延长交A 于两点 B,1|2O与 C，则|OB|=|OA|+|AB|= 最大值.|7m为|OC|=|CA|AO|=7 最小值.|4为|m |的最大值是 的最小值是 7 .|,141【解法 2】同解法 1，得 R）.,|)5(|imyxim,(令.sin7
7、,4coyx则 sin70co5690|22 y),sin(4190)41其中 .sin图 I1836 |m |的最大值= ,4171490|m|的最小值= .【解法 3】根据韦达定理，有 .21mz，44)()( 122 .28|)06(|)| 21 iz|54|)(|)54()(|.7|54 iimiim即.1等号成立的充要条件是 的辐角主值相差 ，即)()(ii与 取最小值|,)4157),415(7)54( miii 时所 以 当 .417【评述】三种解法，各有千秋. 解法 1 运用数形结合法，揭示复数 m 的几何意义，直观清晰；解法 2 则活用三角知识，把 化为角“ ”的正弦；解法
8、3sin0co6运用不等式中等号成立的条件获得答案；三种解法从不同侧面刻面了本题的内在结构特征.例 4：若 R，titzM,1| 2|,1zNtR， 中元素的个数为 （ it)cos(ar)ncos(ar M则|）A0 B1 C2 D4解法同本章一的练习第 4 题.例 5：设复数 则满 足 ,3|,3|, 212121 zzz.|)()(|log0202【思路分析】应先设法求出 的值.2011)(zz【评述】由题设知7).(|27,9 2122121 1zzz因为 .9|,9,3|,| 2121 z并 且故 ).sin(co)sin(co921 zz则设 .2319.2s,c82122izz这
9、 里 或 者于 是 得由 .40|)()(|log ,9)(,9212012 2021zzz故 可 得时当当 ，可得同样结果，故答案 4000.时【评述】此题属填空题中的难题，故解题时应仔细.例 6：设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 则,201z复数 所对应的不同的点的个数是（ ）195201952,zzA4 B5 C10 D20【思路分析】如题设可知，应设 .故解题中应注意分解因式.20k【解法 1】因为我们只关心不同的点的个数，所以不失一般性可设 .由 ，有120kz60k.,1, ),()(01551 156 iziz izkkkk k【答案】A.【解
10、法 2】由 ),()1(0, 552 izzkkkkkk 则可知 只有 4 个取值，而 =（ ） 3 的取值不会增加，则 B、C、D 均应排除，故应5z15z选 A.【评述】上述两个解法均为基本方法.思维的起点是不失一般性设 ，于是可用直接法120kz8（解法 1）和排除法（解法 2）.针对性训练题1设 x 是模为 1 的复数，则函数 的最小值为 （ 31)(2xf）A5 B 1 C2 D32若复数 z 满足关系 对应的复平面的点 Z 的轨迹是 （ zizz则,1|4|2|）A圆 B椭圆 C双曲线 D直线3已知复数 z 满足关系式 ，则复数 z 的辐角主值的范围是 （ 3|z）A B,02,35C D2,35,04设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 则复数,201z所对应的不同的点的个数是 （ 195201952,zz）A4 B 5 C10 D205设 n=2001，则 .)331(22016342 nnnnC6若虚数 z 满足 的值是 .,83zz那 么7若关于 x 的方程 至少有一个模为 3 的根，则实数 a 的值是0422ax.8给正方体的 8 个顶点染上 k 个红点， 个蓝点（ ）.凡两端为红色的棱记上k881k数字 凡两端为蓝色的棱记上数字 凡两端异色的棱记上数字 1，这,231i,2i12 个数字之积的所有可取值为 .
