1、十三推理与证明复数一选择题1. 若复数 ( 为虚数单位)，则复数 z 在第（ ）象限。14iziA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限1.A 解析：。由于点2144(1)4121iiiz iii（1，1）在第一象限，所以选择 A。2. 推理“矩形是平行四边形；三角形不是平行四边形；所以三角形不是矩形”中的小前提是( )（A） （B） （C） （ D） 2.B解析 是大前提，是小前提，是结论3. 由 若 ab0,m0,则 与 之间大小关系为 ( )7598139,102bmaA.相等 B.前者大 C.后者大 D.不确定3.B 解析：观察题设规律，易得 ,故应选 B.bma4. 下
2、面是关于复数 的四个命题： ； ； 的共轭复数为21zi2z2ziz； 的虚部为 其中正确的命题 1iz（ ）A B C D【答案】C【解析】 ，所以 。 的共轭复数为2(1)2(1)1iiz ii 2zz， 的虚部为 ， ，所以 正确，选 C.1i22()zi5. 设 ，则“ ” 是“ 且 ”的（ ）,Rxy9yx3xyA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 5.B.解析：令 ，满足不等式 ，但此时不满足 且 ，当4,1yx92yx3xy且 时，有 成立，所以 是 且 成立的必要不3x92充分条件，选 B.6.如果圆 C 的方程是 ,则有过圆 C 上一点 作
3、圆 C 的切线的方程是22xyr0(,)xy，类比这一结论，若椭圆 C 的方程是 ，则有过椭圆 C 上一点20xyr 2168xy（2，4）作椭圆 C 的切线方程是（ ） 。A. B. 30240xyC. D. 8xy 56.C解析：类比过圆上一点的切线方程得：过椭圆上一点 的切线方程是 ，0(,)xy0168xy所以把点（2，4）代入上式即得切线方程是 。487. 若复数 ，则 是 成立的（ ）021z21z1z(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件【答案】D【解析】若 ，则 成立。若 ，不妨取 ，12z221z21z12,z则有 成立
4、，但 不成立，所以 是 成立的必要不充1z21z分条件，所以 D.8. 观 察 下 列 方 程 的 解 的 不 同 整 数 解 的 个 数 为 4， 的|1xy(,)xy|2xy不 同 整 数 解 的 个 数 为 8， 的 不 同 整 数 解 的 个 数 为(,)y|3(,)12 则 的 不 同 整 数 解 的 个 数 为 （ ） 。|204x(,)xyA. 2014 B. 1002 C. 2018 D.80568： D 解 析 ： 观 察 可 得 不 同 整 数 解 的 个 数 4， 8， 12， 可 以 构 成 一 个 首 项 为 4，公 差 为 4 的 等 差 数 列 ， 通 项 公 式
5、 为 ， 则 所 求 为 第 2014 项 ， 所 以na。2018056.a9. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B曼德尔布罗特（Benoit BMandelbrot ）在 20世纪 70 年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路下图按照 的分形规律生长成一个树形图，则第 14 行的实心圆点的个数是（ ）（A）.52 (B).89 (C).32 (D)2339.D 解析：由题意及图形知不妨构造这样一个数列 an表示实心圆点的个数变化规律，令a1=1，a 2=1，n3 时，a n=an-1+an-2，本数列中的 n 对应着图形中的第 n+1 行中实心圆点的个
6、数由此知 a11即所求故各行中实心圆点的个数依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144,233a 13=233，即第 14 行中实心圆点的个数是 233,故选 B.10.设正项等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 的最小值为：nS2013=201+aA、1 B、2 C、4 D、8【答案】B【解析】由题意，可得 ，因为数列 为等差数列，故其前 2013 项的和等于0nana，解得 ，由等差数列的性质可得12032013+=S（ ） 1203+=，所以 =2，1203a20所以 ，12122200+aa（ ） （ ）因为 ， ，所以 ，0na211221002+aa）当且
7、仅当 ，也就是等差数列的公差 d=0 是取等号，201221=， 即所以 ，故选 B.201+a二填空题11. （ 文 科 ） 设 m 是 一 个 正 整 数 ， 对 两 个 正 整 数 a、 b， 若 a-b 是 m 的 倍 数 ， 则称 a、 b 模 m 同 余 ， 用 符 号 a=b（ Modm） 表 示 ； 在 a=6（ Mod23） 中 ， a 的 取 值可 能 为 _。答 案 ： 29 等解 析 ： m 是 一 个 正 整 数 ， 对 两 个 正 整 数 a、 b， 若 a-b 是 m 的 倍 数 ，则 称 a、 b 模 m 同 余 ， 我 们 易 得 若 a=6（ Mod23）
8、，则 a-6 为 23 的 整 数 倍 ， 则 a=23n+6，故 29， 52， 75， 均 满 足 条 件故 答 案 可 填 ： 29。（ 理 科 ） 设 m 是 一 个 正 整 数 ， 对 两 个 正 整 数 a、 b， 若 a-b=km（ k Z， k0） ，我 们 称 a、 b 模 m 同 余 ， 用 符 号 a=b（ Modm） 表 示 ； 在 8=b（ Modm） 中 ， 当， 且 m1 时 ， b 的 所 有 可 能 值 是 _。8N答案：2，4，6解析：由 两 个 数 同 余 的 定 义 ， 可 得 8=b（ Modm） 中 ， 则 称 8-b=km（ k 是 非 零 整数
9、） ， 即 8=b+km， 又 且 m1，N m 是 8 的 正 约 数 ， 可 得 m=2、 4 或 8 当 m=2 时 ， 8=b+2k， 可 得 b=2 或 4 或 6 符 合 题 意 ； 当 m=4 时 ， 8=b+4k， 可 得 b=4 符 合 题 意 ； 当 m=8 时 ， 根 据 定 义 不 符 合 题 意 ， 舍 去故 答 案 为 ： 2 或 6 或 412. 已知复数 ( )的模为 ,则 的最大值是 . ()xyi,xR3yx【答案】 3【解析】由题意知 ，即 ，所以对应的圆心为 ，2()xy2()y(2,0)半径为 。设 ，则 。当直线与圆相切时，圆心到直线 的距离为rkk
10、xykx，解得 ，所以由图象可知 的最大值是 。231k3yx313. 我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如 3|12 表示 3 整除 12试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质_；_【答案】 ； ；|,|abc|,|()abc ；|,|d*|nN【解析】由类比可知整除关系的两个性，为 ；|,|bca；|,|()abc ； 。|,|abcdb*|,|naNab14. 二维空间中圆的一维测度（周长） l2r，二维测度（面积） Sr 2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度（表面积）S4r 2，三维测度（体积）V 34r3，观察发现 VS。则四维空间中“超球”的三维测度
11、V8r 3，猜想其四维测度 W 。【答案】 42r【解析】因为 3()8r，所以 W 42r15. 在公比为 3 的等比数列 中，若 是数列 的前 n 项积，则 仍成等比nbnTb203401,T数列，且公比为 ，类比上述结论，在公差为 5 的等差数列a n中，若 Sn是a n的前 n10项和，则有_也成等差数列，该等差数列的公差为 答案： ；500.20130403,SS解析：由等比数列 中，若 是数列 的前 n 项积，则 仍成等比数列，且nbnTb203401,T公比为 ，类比推出， 成等差数列，公差为 100d=500.1020130403,SS三解答题16. 已知 ，且满足 zC()5
12、2zii（1）求 ；（2）若 ， ，求证： mRwi1w【答案】 （1）设 ，则 ， 2 分(,)zabR22zab()zia由 252abii得 4 分解得 或 5 分12ab12ab 或 6 分zizi（2）当 时，1 10 分2(2)()1wimiim当 时，z2(1)()iii 12 分w117. 如图，在四棱柱 中，已知平面 平面1DCBACA1且 , .,ABCD3C（1）求证： ;1（2）若 为棱 的中点，求证： 平面 .E/AE1DC证明：在四边形 中，因为 ， ，所以 ，ABCDBBAC2 分又平面 平面 ，且平面 平面 ，11A平面 ，所以 平面 ，4 分BDAC又因为 平
13、面 ，所以 7 分1A1C1BD在三角形 中，因为 ，且 为 中点，所以 ，9 分EBCAE又因为在四边形 中， ， ，3AC1D所以 ， ，所以 ，所以 ，60ACB30B因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 12 分D1E1AE118.（本题满分 12 分）如图，已知椭圆 ， 是长轴的左、)0(:2bayxCB、右端点，动点 满足 ，联结 ，交椭圆于点 MABMP（1）当 ， 时，设 ，求 的值；2ab),2(O（2）若 为常数，探究 满足的条件？并说明理由；OP ba、（3）直接写出 为常数的一个不同于（2）结论类型的几何条件解 （1）直线 ，解方程组)2(1:xyAM，得 124),(y
14、x)34,2(P所以 4 分),(,OMyxOABMP（2）设 ， ，),(0yxP)0(,taM因为 三点共线，于是 ，即 6 分A、 atxy20axy0又 ，即 120byax2020)(by所以 axytxOMP 00022020)(bab所以当 时， 为常数 8 分2OP2另解 设 ，解方程组 )0(,taM1),(2byaxt得 )4,(22tbtaP要使 为定值，有 ，即2)(taOM 1422aba （相应给分）02ba（3）若给出“设 为椭圆的焦点， 为短轴的顶点，当 为等腰三角形时，1FC1COF为常数 或 ” 10 分OP2a若给出“当 时， 为常数 或 ” 12 分MBOP2ba
