1、专题 应用题1.如图所示，扇形 AO B,圆心角 AO B 的大小等于 ，半径为 2，在半径 O A 上有一动点 C，过点 C 作平3行于 O B 的直线交弧 AB 于点 P（1）若 C 是半径 O A 的中点，求线段 PC 的长；（2）设COP ，求POC 面积的最大值及此时 的值2.如图，制图工程师用两个同中心的边长均为 4 的正方形合成一个八角形图形由对称性，图中 8 个三角形都是全等的三角形，设 1HA（1）试用 表示 的面积；1（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时 的大小ACBDEFGHA1B1C1D1 E1F1G1H1CAPO B3如图，在半径为 30cm 的半圆形（O 为
2、圆心）铝皮上截取一块矩形材料 ABCD，其中点 A、B 在直径上，点 C、D 在圆周上。（1）怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗） ，应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积4.如图，海上有 AB， 两个小岛相距 10 km，船 O 将保持观望 A 岛和 B 岛所成的视角为 60，现从船 O 上派下一只小艇沿 O方向驶至 C处进行作业，且 C设 xkm（1）用 x分别表示2和 AB，并求出 x的取值范围；（2）晚上小艇在 处发出一道强烈的光线照射 A
3、 岛，B 岛至光线 的距离为 D，求 BD 的最大值 60OBCA5.某企业有两个生产车间，分别位于边长是 1km 的等边三角形 ABC 的顶点 A、B 处（如图） ，现要在边AC 上的 D 点建一仓库，某工人每天用叉车将生产原料从仓库运往车间，同时将成品运回仓库已知叉车每天要往返 A 车间 5 次，往返 B 车间 20 次，设叉车每天往返的总路程为 skm （注：往返一次即先从仓库到车间再由车间返回仓库）（1）按下列要求确定函数关系式：设 AD 长为 x，将 s 表示成 x 的函数关系式；设 ，将 s 表示成 的函数关系式ADB（2）请你选用（1）中一个合适的函数关系式，求总路程 s 的最小
4、值，并指出点 D 的位置6.在路边安装路灯，灯柱 与地面垂直，灯杆 与灯柱 所在平面与道路垂直，且 ，ABBCA120ABC路灯 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知 ，路宽 米，设灯柱C 60D4高 （米） ， （ ）ABh3045（1）求灯柱的高 （用 表示） ；（2）若灯杆 与灯柱 所用材料相同，记此用料长度和为 ，求 关于 的函数表达式，并求ABS出 的最小值 SBACDCBA D7.如图，某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心 O 后转向东北方 OB，现要修筑一条铁路 L，L 在 OA上设一站 A，在 OB 上设一站 B，铁路在 AB 部分为直线段，现要求市中心 O
5、到 AB 的距离为 10km，设OB（1）试求 AB 关于角 的函数关系式；（2）问把 A、B 分别设在公路上离市中心 O多远处，才能使 AB 最短，并求其最短距离专题 应用题1.如图所示，扇形 AO B,圆心角 AO B 的大小等于 ，半径为 2，在半径 O A 上有一动点 C，过点 C 作平3行于 O B 的直线交弧 AB 于点 P（1）若 C 是半径 O A 的中点，求线段 PC 的长；（2）设COP ，求POC 面积的最大值及此时 的值解：（1）POC 中，OCP ，O P2，OC1，3由 OP2OC 2PC 22OCPCco s ，PC 2+PC30，解得 PC 132（2）CPO
6、P，CPO PO B ，在PO C 中，由正弦定理得 ，即 CP ，sinsiOPCD2sini3CP4sin3又 ，OC ，2sin()si334i()3记POC 得面积为 S()，则S() CPOC 122sin314sini()334sin()3sicos2si()6当 时，S( )取得最大值 632.如图，制图工程师用两个同中心的边长均为 4 的正方形合成一个八角形图形由对称性，图中 8 个三角形都是全等的三角形，设 1HA（1）试用 表示 的面积；1（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时 的大小解：（1）设AH 1为x， ， 4sintax 4sinco1x，ACBDEFGHA
7、1B1C1D1 E1F1G1H1, ， 1228sincota1AHxS(0,)（2）令 ， sinc(,t只需考虑 取到最大值的情况，即为 ， 1AHS24(1)8tSt当 , 即 45 时， 达到最大 ， 2t1AHS此时八角形所覆盖面积的最大值为6432 23如图，在半径为 30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材 料ABCD，其中点 A、B 在直径上，点 C、D 在圆周上。（1）怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大？并求最大面 积；（2）若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形 罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗） ，应怎样截取，才能使做出的
8、圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积4.如图，海上有 AB， 两个小岛相距 10 km，船 O 将保持观望 A 岛和 B 岛所成的视角为 60，现从船 O 上派下一只小艇沿 O方向驶至 C处进行作业，且 C设 xkm（1）用 x分别表示2和 AB，并求出 x的取值范围；（2）晚上小艇在 处发出一道强烈的光线照射 A 岛，B 岛至光线 的距离为 D，求 BD 的最大值解：（1）在 A中， 10， ，由余弦定理得， 2 2cosOCOx，又 B，所以 210BA ， 在 A中， 10， 60由余弦定理得， 2cos ，60OBCA+得2210xOAB，-得 24cos601x，即210xOAB，又2
9、OAB，所以20，即230x，又210x，即210x，所以 1 ； （2）易知 OABCS，故23(10)2sin604ABCOAB xS ， 又1CD，设 ()fx，所以23(1)(xf， ， 又 230()()fxx，则 ()f在 103， 上是增函数，所以 f的最大值为 3，即 BD 的最大值为 10 5.某企业有两个生产车间，分别位于边长是 1km 的等边三角形 ABC 的顶点 A、B 处（如图） ，现要在边AC 上的 D 点建一仓库，某工人每天用叉车将生产原料从仓库运往车间，同时将成品运回仓库已知叉车每天要往返 A 车间 5 次，往返 B 车间 20 次，设叉车每天往返的总路程为 s
10、km （注：往返一次即先从仓库到车间再由车间返回仓库）（1）按下列要求确定函数关系式：设 AD 长为 x，将 s 表示成 x 的函数关系式；设 ，将 s 表示成 的函数关系式ADB（2）请你选用（1）中一个合适的函数关系式，求总路程 s 的最小值，并指出点 D 的位置解：（1）在ABC 中，AB1，AD x ， ，3BAD由余弦定理， ，2210BDx所以 21041 (0)s在ABC 中，AB 1， ， ， 3ADB23ABDBACD由正弦定理， ，得 ， ，12sinsin()i33ADB2sin()3cos1in2AD3sinBD则 co10(40isis5(4cos) =5 ()in3
11、（2）选用（1）中的的函数关系式， ，2 si 3 ，22 2sin(cos)53(4co1)53i ins 由 s0 得， ，记 ，1411 3则当 时， ，s 0；当 时， ，s 0；1(,)3co(,)1co4所以当 ，时，总路程 最小值为 ，cos415此时 ， ，15sin3()42015AD答：当 时，总路程 最小,最小值为 kmkm10s156.在路边安装路灯，灯柱 与地面垂直，灯杆 与灯柱 所在平面与道路垂直，且 ，ABBCA120ABC路灯 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知 ，路宽 米，设灯柱C 60D4高 （米） ， （ ）ABh3045（1）求灯柱的高 （
12、用 表示） ；（2）若灯杆 与灯柱 所用材料相同，记此用料长度和为 ，求 关于 的函数表达式，并求ABS出 的最小值 S CBA D7.如图，某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心 O 后转向东北方 OB，现要修筑一条铁路 L，L 在 OA上设一站 A，在 OB 上设一站 B，铁路在 AB 部分为直线段，现要求市中心 O 到 AB 的距离为 10km，设OB（1）试求 AB 关于角 的函数关系式；（2）问把 A、B 分别设在公路上离市中心 O多远处，才能使 AB 最短，并求其最短距离解：（1）如图，作 OM 垂直 AB，垂足为 M，则 OM = 10，由题意 ， ， 135AOB(0,45)45OBA在 中，由正弦定理得 ，sin13si即 2sin在 中， ， MOB0i(45)所以 21152sinsin()sin(45)A（2） 0i(45cos4i21sncsiinc21 20sin(45)1因为 ，所以当 时有 AB 的最小值 ,).20(1)此时， 4si2.OAB答：A、B 都设在公路上离市中心 km 处，才能使 AB 最短，其最短距离是10km20(1)
