1、用心 爱心 专心 119 号编辑 1初三数学圆的应用题1. 重径定理例 1. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一种如图 1 所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为 90，尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图 1 所示的 A、B、E 三个接触点，该球的大小就符合要求。图 2 是过球心O 及 A、B、E 三点的截面示意图。已知O 的直径就是铁球的直径，AB 是O 的弦，CD 切O于点 E， 。请你结合图 1 中的数据，计算这种铁球的直径。CD，（05 年河北）图 1图 2分析：构造直角三角形结合垂径定理求解。解：连结 OA、OE，设 OE 与
2、AB 交于点 P，如图 3图 3因为 ACBD， ACDB，所以四边形 ACDB 是矩形因为 CD 与O 切于点 E所以 OE 为O 的半径即 OEAB所以 PAPB，PEAC故 PA8，PE4在 中，由勾股定理得RtP22即 OA()解得 10用心 爱心 专心 119 号编辑 2所以这种铁球的直径为 20cm。例 2. 一座拱型桥，桥下水面宽度 AB 是 20 米，拱高 CD 是 4 米。若水面上升 3 米至 EF，则水面宽度 EF 是多少米？图 4（1）若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中（如图 4），可设抛物线的表达式为。请你填空：yaxc2a_，c_，EF_米。（2）若把它看作是圆的
3、一部分，则可构造图形（如图 5）计算如下：设圆的半径是 r 米，在 中，易知RtODB图 5rr224104().，同理，当水面上升 3 米至 EF，由 中可计算出 米，即水面宽度RtOGF27米。EF7（3）请估计（2）中 EF 与（1）中你计算出的 EF 的差的近似值（误差小于 0.1 米）（05 年佛山）分析：这是一道与抛物线和圆的相关的应用问题。第（1）问由图 4 得到 B、D 两点的坐标，用待定系数法可求抛物线的解析式，再由 F 点纵坐标可得 F 点横坐标，从而得 EF 的长。第（2）问虽不要我们计算，但要弄清这是垂径定理的应用。解：（1）由图 4 知 B（10，0）、D（0，4），
4、则抛物线的解析式为 yx1254而 F 点的纵坐标为 3 即 解得 所以1254xx5EF0综上，知 acEF125， ，（3）误差估计如下：因为 67254106，即 .所以差的近似值约为 0.6 米用心 爱心 专心 119 号编辑 32. 弧长例 3. 如图 6，已知圆锥的母线长 OA8，底面圆的半径 r2，若一只小虫从 A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点，则小虫爬行的最短路线的长是_（结果保留根式）图 6分析：将圆锥的侧面展开成扇形，小虫从侧面爬行一周又回到 A 点的最短距离就为 AA（如图 7），由 的长与圆锥底面圆周长相等可得A图 72810n所以 9即 AO则 为等腰
5、直角三角形所以 823. 面积例 4. 当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。图 8 是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆 AB 与雨刷 CD 在 B 处固定连接（不能转动），当杆AB 绕 A 点转动 90时，雨刷 CD 扫过的面积是多少呢？图 8小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得 CD80cm， ，端点 C、D 与点 A 的DBA20距离分别是 115cm，35cm。他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果，你知道小明是怎样计算的吗？也请你算一算雨刷 CD 扫过的面积为_cm 2（ 取 3.14）（04 年济南）分析：本题是扇形面积的应用，由图形特点可得雨刷 CD 扫过的面积SSACAD扇 形 扇 形 用心 爱心 专心 119 号编辑 4而 SAC扇 形 9015362AD扇 形 2所以 （cm）S90153609422()例 5. 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组成体，尺寸如图 9 所示，请你算出要搭建这样一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（ 取 3.14，结果保留一位小数）（05 年新疆生产建设兵团）图 9分析：本题所需篷布的面积应等于圆锥的侧面积加上圆柱的侧面积解：设上部圆锥体的母线为 l，则l25172所以 S圆 柱 侧 圆 锥 侧825（平方米）50
