1、中学数学建模的思考,北京师范大学 梅松竹2011年12月20日,一、生活与数学 二、数学教育 三、中学数学建模 四、综合与实践课程 五、双课堂数学建模 六、中学数学建模的实践探索,内容提要,数学的学科特征,思维的抽象性推理的严谨性应用的广泛性,一、生活与数学,数学与自然,特点之一,数学科学已经从传统的自然科学和工程技术的基础深入到现代社会与经济发展的各个领域, 逐渐成为它们不可缺少的支柱之一.,特点之二,数学已经开始大步地从科学技术的幕后直接走到前台, 在经济发展和社会进步的第一线发挥它的作用.,机器人 定位系统（GPS，导航仪） 断层成像系统（CT，MRI，PET，SPET） 数码技术（CD
2、，VCD，DVD，HDTV，DC，MP3，MP4） 数字化通讯（手机，网络，IP） 数字排版印刷 电子商务（ATM，POS，条码，网络销售） 电子政务（身份识别，政务数字化管理） 数字化社会,二、数学教育,数学是理性的音乐 数学是锻炼思想的体操数学是科学的语言,数学的教育特征,数学是生活的必须数学是最后致胜的法宝,IBM 中国研究中心- 招聘条件,Position title: Business Optimization(BJ) 1. Background in industrial engineering, operations research, mathematics, Artifici
3、al Intelligence, management science etc. 2. Knowledge in network design, job scheduling, data analysis, simulation and optimization 3. Award in mathematical contest in modeling is a plus 4. Experience in industry is a plus 5. Experience in eclipse or programming model / architecture design is a plus
4、 -Feb. 18, 2006, http:/ the Math to Find the Good Jobs “华尔街杂志”，2009年1月6日，数学家列在美国最好职业榜第一位，保险精算师和统计学家分列第二和第三位。,1. Mathematician 200. Lumberjack 2. Actuary 199. Dairy Farmer 3. Statistician 198. Taxi Driver 4. Biologist 197. Seaman 5. Software Engineer 196. EMT 6. Computer Systems Analyst 195. Roofer 7
5、. Historian 194. Garbage Collector 8. Sociologist 193. Welder 9. Industrial Designer 192. Roustabout 10. Accountant 191. Ironwork,The Best The Worst,传统的数学教学模式,“烧中段”+“应用题”,1. 什么是数学建模?,中学生可以做数学建模吗?,三、中学数学建模,数学建模的内容和意义,它更突出地表现了对原始问题的分析、假设、抽象的过程；数学工具选择使用的过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程。,数学建模可以看成是 问题解决的一部分
6、，它的作用对象主要是非数学领域（如经济、工程、生活等）需要用数学来解决的问题。,数学建模过程,现实对象与数学模型的关系,一个数学建模的典型案例,1736 Konigsberg Pregel Euler,七桥问题,在东普鲁士的小城镇哥尼斯堡,有一条小河从市中心穿过,河中有小岛A和D ,河上有连接这两个岛和河的两岸B、C的桥 。如图1-1所示。问一个人能否将每座桥既无重复也无遗漏地通过一次?,例：牛顿定律 假设： 1.物体为质点，忽略物体的大小和形状。 2.没有阻力、摩擦力及其他外力。 令x(t)表示在t时刻物体的位置, 则,数学模型是架于数学与实际问题之间 的桥梁在数学发展的进程中无时无刻不留下
7、数学模型的印记。,模型举例某学校有块矩形空地，南北向长100m，东西向宽90m。欲建4条并排跑道，每条跑道宽为1m，且内圈周长为300m的操场。 请你给出较为简单的设计原则及具体设计方案。,分析： 1.内圈的范围； 长100-8=92m宽90-8=82m 周长(92+82)2=348m 2.半圆加直道：823.14+102=277.5m 3.椭圆：a=46，b=41 ， 周长 =273.5m 3.300m框92m58m,因此，作为一个操场的跑道，除了要有直跑道之外，还必须要有弯道，直道要与弯道相切，而且弯道的弧度也不能太大。 设计原则：为便于跑步者使用，直跑道部分应尽可能长，弯道最好是圆弧，弧
8、度尽可能小，且直道与弯道相切。 因此，我们设计的跑道要尽可能贴近矩形土地的边缘。,我们只要在原有的9282的矩形的四角的拐弯处 用1/4圆周的圆弧代替直角的两边， 使得这个圆角矩形的周长为300m就可以了。 设圆弧半径为r。按要求应有 (922r)2 + (822r)2 + 2r = 300。 得r 28（m） 也就是，在原有的9282的矩形中四个角处去掉长度为28m的线段 并且用半径为28m的1/4圆弧连接起来就可以了。,例 公平的席位分配,问题,三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。,现因学生转系，三系人数为103
9、, 63, 34, 问20席如何分配。,若增加为21席，又如何分配。,比例加惯例,对丙系公平吗,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1= p2/n2 时，分配公平,p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者对A的不公平程度已大大降低!,虽二者的绝对不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2 ，对 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方案
10、应使 rA , rB 尽量小,设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B,不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平, 对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义 rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ，定义,1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,则这席应给 A,2）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,3）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,应计算rB(n1+1, n2),应计算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1),
11、 则这席应给,应讨论以下几种情况,初始 p1/n1 p2/n2,问：,p1/n1p2/(n2+1) 是否会出现？,A,否!,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给 B,当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给A,该席给A,否则, 该席给B,推广到m方分配席位,该席给Q值最大的一方,Q 值方法,三系用Q值方法重新分配 21个席位,按人数比例的整数部分已将19席分配完毕,甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,同上,Q3最大，第21
12、席给丙系,甲系11席，乙系6席，丙系4席,Q值方法分配结果,公平吗？,Q1最大，第20席给甲系,进一步的讨论,Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？,席位分配的理想化准则,已知: m方人数分别为 p1, p2, , pm, 记总人数为 P= p1+p2+pm, 待分配的总席位为N。,设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2, , nm (自然应有n1+n2+nm=N)，,记qi=Npi /P, i=1,2, , m,ni 应是 N和 p1, , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, , pm ),若qi 均为整数，显然应 ni=qi,qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准
13、则：,记 qi =floor(qi) 向 qi方向取整； qi+ =ceil(qi) 向 qi方向取整.,1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m),即ni 必取qi , qi+ 之一,即当总席位增加时， ni不应减少,“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）,Q值方法满足 2）,但不满足 1）。令人遗憾！,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映 内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机
14、理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确 定模型参数,数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,模 型 准 备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个 比较清晰 的问题,模 型 假 设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模 型 构 成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型 求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分
15、析,模型 分析,模型 检验,与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,数学建模的全过程,数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态 ,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计 ,表现特性,描述、优化、预报、决策 ,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳
16、成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。,批判的精神 亲身的实践 真实的体验能力的综合 合作的锻炼,自主性、实践性、综合性、创造性、,四、综合与实践课程,接受性学习 探究性学习学习材料出自教师 学习材料来自问题 强调知识体系的完整
17、性 以解决问题来聚集学习内容 要求教师清晰准确的讲解 要求教师提供资源培养气氛 通过习题验证巩固知识 通过习题去吸附知识,学习方式的对比,综合与实践的课程目标,让学生感受和体验知识产生、发展和形成的过程； 让学生了解社会，了解实际，了解学科之间的联系； 让学生尝试主动探究的学习，尝试在实践和工作中学习； 培养学生收集、整理、分析、处理信息和资料的能力； 培养学生提出、分析、解决问题能力； 培养学生创新意识和实践能力。,课程形式,可以设计一门由系列问题组成的独立课程； 可以设计为某门课程中一个章或节； 可以设计为一次探究活动； 或以设计为以学生解决问题为主线，加入讲座、专题报告、研讨、交流等环节
18、；形式应该是多样的、活泼的、有趣的、有吸引力的。形式可以是个人的，也可以是几个人课题组，也可以是一个的集体活动。,数学建模从大学走向中学,数学建模进入国内中学数学教育界的视野，并逐步成为中学数学学习内容的一部分经历了将近20年的时间，这个历程也是中学数学教育界探索如何培养学生应用意识和能力的历程。1992年我国开始大学生数学建模竞赛，1996年列为非数学类大学基础课。 1992年起-1996年，北京数学会组织了“中学数学建模”讨论班。严士健、叶其孝、赵祯、杨守廉、王尚志、刘来福等教授先后参与主持了讨论和授课，经过大家研讨形成一批教学素材，后期在北京师范大学的“数学学校”中进行了教学建模案例实践
19、。,1993年原国家教委基础教育课程研究中心召开了两次数学课程改革研讨会，严士健教授等参加，在会议发言中特别强调了“数学教学应联系实际”，“要重视从实际问题中建立数学模型，解决数学问题，从而解决实际问题这个全过程”。 在1993年全国数学高考题中，便出现了灯光照明、抽查次品、计算水池造价等应用题。,从1995年起，我国高考试题中，逐年加大了对数学应用能力的考察力度。那一道第一次出现的考察数学应用能力的大题（解答题）关于“淡水鱼养殖”问题至今让人记忆尤新，而且传为佳话。以后的高考题也基本将考察应用题这一点延续了下来，比如2009年课改区宁夏高考题便考察了高空测量、工厂生产安排等问题。,2000年
20、9月，作者的教学成果中学数学建模的实践与探索被北京市人民政府授予“北京市首届基础教育教学成果奖”一等奖。 2002年12月，由姜伯驹、史宁中教授任名誉主编，王尚志教授主编的北京高中数学知识应用竞赛试题及解析一书由东北师大出版社出版。 2003年7月 ，王尚志、李延林教授主编，80万字的中学生研究性学习案例-中学生数学建模论文选编由东北师大出版社出版。该书在2005年2月被教育部评为“2004年全国教师教育优秀课程资源”。,五、双课堂数学建模,2008年10月现在，首都师范大学基础教育课程中心和“张思明工作室”参加了北京市重点课题-北京市教育学会组织的“深化教学方式改革与信息技术的科学应用”项目
21、，组织实施了该项目的重要组成部分“数学建模”的内容。,北大附中、北京第十五中学、第十九中学和北京新技术开发区实验学校）实施了依托网络、真实课堂和虚拟课堂结合的中学数学建模课程，在探索中学数学建模教学的可操作模式方面取得了有价值的实验结果。20多名教师，1300多学生参与了实验，取得了丰硕的成果。,中学数学建模的相关研究过程和方法例说,中学数学建模课程的内涵、性质、特征、理念等问题； 中学数学建模的课程目标、实施策略、有效的教学方式、评价方式等； 中学数学建模课程对学生和老师的发展的作用和现实存在的问题； 中学数学建模形式和内容的进一步发展和对数学课程的影响。,研究过程,1。早期： 翻译解读国外
22、案例，讨论班研讨，教学实践，收集学生的反应，修改，再实践，稳定成比较有效的教学插件。 形式主要是针对学生程度比较好的课外活动。 成果固化为课外活动教材。-主要解决中学数学建模教什么的问题,2。中期： 数学建模课外活动+选修课的形式，内容和形式都有较大的发展，形成相对稳定的教学模式，成果固化为教学专题片，课程标准中的相应案例。 进一步解决中学数学建模教什么？怎么教的问题？ 问题：没有课程化，依赖于授课教师，教师导的痕迹太强，资源、如何影响学生的学习方式？培养问题意识？,开展中学数学建模开展情况的现状和问题调查 结论70%的教师有积极认识，55.6%没有开设， 困难：中高考压力-认为与考试无关（7
23、2.6%） 知识能力不够（开展过37.8%，未开展过28.4%） 资源、经费缺乏（开展过23.3%，未开展过17.9%） 2009年，开设建模课的意愿高达96.97%，有困难和困惑的高60%, 了解现实问题：使我们的研究更有针对性,教师观念-不考的要学吗？我都不会,怎么教？操作生疏-学生自己学数学、用数学、做数学,老师起什么作用？过程环节与常规教学差异大，掌控有难度。资源匮乏-学什么、用什么、做什么？未知、待定的东西太多，没有确定的教科书和教辅。,数学建模为什么难进入课堂？,网络环境下的函数建模形式：网络平台、双课堂，选、开、做、结题突破点：不同程度的学生的参与，学生的自主学习、合作学习； 滚
24、动的资源生成和利用模式 等； 方法：案例收集、专题研讨、经验提升、成果归纳,3。后期,大量实践、过程反思、经验归纳、理论提升，通过文献综述、实证分析、案例解读等努力表现中学数学建模这种课程形态的“特征点”、“特色点”、和实施后的“变化点”、“收获点”。分析归纳出： 中学数学建模课程的内涵、性质、特征、理念； 课程目标、实施策略、有效的教学方式、评价方式； 课程实施中的主要问题，在形式和内容上可能的发展；,数学建模小课题,课题： 为所在小区设计一个最佳的邮政投递路线, 设计一个合理的保安巡逻路线。,给学生的实施建议（初中）,1:对你要研究的小区,进行观察,收集必要的数据和信息,(如平面图,楼的门洞的朝向,道路情况, 小区的进出口位置等). 2: 复习必要的知识,如一笔画方法, 最短邮路的画法等. 3:画出小区的平面示意图, (最好复印一下,以避免后面画坏时重画),在图上完成邮政投递路线的设计,使邮递员走的路线最短). 创新项目1: 为小区设计一个合理的保安巡逻路线。首先思考”合理”的含义 实践项目1: 按你设计的路线,实际走一遍, 测算出路程. 再让一个按投递要求随意地走一遍, 看一看相差多少? (记录数据).,保安巡更路线生成方案及流程设计 于颢 陈明卿 （北京大学附中）,
