第七章习题解答.doc

1、习 题 七1. 判断下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：(1) 在向量空间 V 中， () ， 是 V 中一固定的向量；(2) 在向量空间 R3 中， (x1, x2, x3) ；),(2321x(3) 在向量空间 R3 中， (x1, x2, x3) ；,12(4) 把复数域看作复数域上的向量空间， () .解 （1）当 时， 是线性变换；0当 时， 不是线性变换；（2） 不是线性变换；（3） 是线性变换；（4） 不是线性变换；2. 设 V 是数域 F 上一维向量空间 . 证明， 是 V 的一个线性变换的充要条件是：存在 F 中的一个数 a，使得对任意 V，都有 ()a .证明：充分性

2、显然.必要性:令 是 的一个线性变换 ,设 是 的一个基.则 .那么1)(1可由 线性表示,不妨设 .对任意的 ,有 ,则)(11)(a1k.kk)(1113. 设 是向量空间 V 的线性变换，如果 k1 0, 但 k 0，求证 , , , k1 (k0)线性无关.证明: 令 + (1) 10l01kl(1)式两端用 作用得:k+ ll10 21kl由已知得: = ,所以有k,01k.则(1)式变为: + (2)0l 1l1kl(2)式两端用 作用得:2k+kll210321kl同理 .重复上述过程有: . 0101kl4. 在向量空间 Rx中， (f (x)f (x), (f (x)xf (

3、x), 证明， .证明:对任意 ,有)(f)ff. () xxxfx )f所以 .5. 在向量空间 R3 中，线性变换 , 如下： (x1, x2, x3)(x 1, x2, x1x 2) (x1, x2, x3)(x 1x 2x 3, 0, x3x 1x 2)(1) 求 , , 2；(2) 求 , , 2. 解: (1) ),0()( 21321310, , .,(21x)2xx,(),()213= . .,(21xx)21x(2) = +),)3),(321,(3+,(21x)021xx.),3=,)(21x,(321x),(321x)0= .),(32123xx= .2),(231x),

4、(21x)2,(11x6. 已知向量空间 R3 的线性变换 为 (x1, x2, x3)(x 1x 2x 3, x2x 3,x 3)证明， 是可逆变换，并求 1 . 证明: , , .0),1()0,),1(,(关于 的一个基 , , 的矩阵为:3R)(.10A显然, 可逆,所以 是可逆变换,而且101所以 . 1321321(),(xAx,2,3x)7. 设 , , 都是向量空间 V 的线性变换，试证, （1）如果 , 都与 可交换，则 , 2 也都与 可交换（若对任意V，都有 () ()，就说 与 可交换） ；（2）如果 , 都与 可交换，则 , 也都与 可交换. 证:(1)由已知 .那么

5、, )()()= . .)()( 22)(2)同理可证.8. 证明，数域 F 上的有限维向量空间 V 的线性变换 是可逆变换的充分必要条件是 把非零向量变为非零向量. 证明:不妨设 是 n 维的. , 是它的一个基. 关于这个基的矩21n阵为 .显然, 可逆当且仅当 可逆. 把非零向量变为非零向量当且仅AA当 ,而秩 =秩 , 的零度= .且秩 + 的零度=n.所0Ker kerdim以秩 =n 当且仅当 的零度是 0,即 可逆当且仅当 .故 可逆 0K当且仅当 把非零向量变为非零向量.9. 证明，可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组. 证明:令 是向量空间 的可逆线性变换 ,

6、, 是 的一组线21m性无关的向量,令+ .)()(21k0)(mk两端用 作用得: + .由已知 , 线性1 ,21m无关,所以: = .故 , 线性无关.21km)(,21)(10. 设 1, 2, 3是 F 上向量空间 V 的一个基. 已知 V 的线性变换 在1, 2, 3下的矩阵为A 32311a(1) 求 在 1, 3, 2下的矩阵；(2) 求 在 1, k2, 3下的矩阵( k0，kF)；(3) 求 在 1, 1 2, 3下的矩阵. 解:(1) .2321131231),(),( a(2) .32311321321),(),( akakk(3) ),(321 ),(21 33213

7、1 22 1aaa11. 在 R3 中定义线性变换 如下 (x1, x2, x3)(2 x2x 3, x14x 2, 3x1)，( x1, x2, x3)R3. (1) 求 在基 1(1, 0, 0), 2(0, 1, 0), 3(0, 0, 1) 下的矩阵；(2) 利用(1)中结论，求 在基 1(1, 1, 1)， 2(1, 1, 0)， 3(1, 0, 0)下的矩阵. 解:(1) 03412),(),(21321(2)从基 到基 的过渡矩阵为 . 在321,321,01P下的矩阵为:321, 010342100411PP= .56212. 已知 M2(F)的两个线性变换 ， 如下 (X)X

8、 , (X) X, XM2(F).1021试求 , 在基 E11, E12, E21, E22 下的矩阵. 又问 和 是否可逆？若可逆，求其逆变换在同一基下的矩阵. 证明: 021021)( 11= .12E20 201)( 212E= .12021 10)( 2121E= .120E2 101)( 22E= .1202所以 在基 下的矩阵为1,E.1200A同理可证 在基 下的矩阵. 211,E, , ,21)(E12)(21210)(EE.所以 在此基下的矩阵为：22110.10B显然, 可逆.所以 可逆. 在同一基下的矩阵为:.210210B同理可讨论 的可逆性及求 的矩阵.13. 设

9、是数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换. W1, W2 是 V 的子空间，并且VW 1 W2 证明， 是可逆变换的充要条件是V ( W1) ( W2)证明:令 , 是 的一个基 . 令 , 是 的一个基.1r11rn2由已知得: , 是 的一个基 . n必要性:设 可逆,则 , )(r, , 也是 的一)(11r)(n个基.但( , )(r).)1W)1( , )2rn所以 , ,故 V ( W1) ( W2).)12(10(2充分性:将必要性的过程倒过去即可 .14. 设 R3 的线性变换 定义如下： (x1, x2, x3)(2 x1x 2, x2x 3, x2x 3)求 在基

10、1(1, 0, 0), 2(0, 1, 0), 3(0, 0, 1)及基1(1, 1, 0), 2(0, 1, 1),3(0, 0, 1)下的矩阵. 解: 在基 1, 3, 2下的矩阵为: . 10A在基 下的矩阵为:321,= .10101B 21015. 在 M2(F)中定义线性变换 为 (X) X， XM2(F). 32求 在基 E 11, E12, E21, E22下的矩阵，其中E11 , E12 , E21 , E22 . 0101010解: 在基 下的矩阵为2.3021A16. 证明，与 n 维向量空间 V 的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换. 证明:由 习题二及第 10 题

11、的结论易得 .105P17. 给定 R3 的两个基1(1, 0, 1), 2(2, 1, 0), 3(1, 1, 1) ；和 1(1, 2,1), 2 (2, 2, 1), 3(2, 1, 1). 是 R3 的线性变换，且 (i) i，i 1, 2,3. 求(1) 由基 1, 2 , 3到基 1, 2 , 3的过渡矩阵；(2) 关于基 1, 2 , 3的矩阵；(3) 关于基 1, 2 , 3的矩阵. 解: (1)令 , , .则由 1, 2 , 3到 1, )0()(),0(33, 2的过渡矩阵为: . 由基 1, 3, 2到基 1, 2 , 3的过渡矩10阵为: .10所以由基 1, 2 ,

12、 3到基 1, 2 , 3的过渡矩阵为:=110P 2532(2) .所以在),(),(321321P),(31下的矩阵为:),(321. 关于基 1, 2 , 3的矩阵为: 251 2513218. 设 1( 1, 0, 2), 2(0, 1, 2), 3(1, 2, 5)， 1(1, 1, 0), 2 (1, 0, 1), 3(0, 1, 2)， (0, 3, 5)是 R3 中的向量， 是 R3 的线性变换，并且 (1)(2, 0, 1), (2)(0, 0, 1),(3)(0, 1, 2). (1) 求 关于基 1, 2 , 3的矩阵；(2) 求 ()关于基 1, 2 , 3的坐标；(3

13、) 求 ()关于基 1, 2 , 3的坐标. 解:令 , .则从基 1, 2 , 3到基 1, 501T2102T2 , 3的过渡矩阵为:. 01234221TT又3211 53),0() 2 03213),(所以关于 的矩阵为: .从而关于基 1, 2 , ),(32103153的矩阵为:=2101ATB03152012.3151024(2) .所以 的坐标)5,30(21关 于)(),321为: 926735A由(2)可知 =(1, 2 , 3) )(),32196751T92675所以 1, 2 , 3的坐标为:关 于)(= = .1T9267521096751219. 设 R3 有一个

14、线性变换 定义如下： (x1, x2, x3)( x1x 2，x 2x 3，x 3)，( x1, x2, x3)R3.下列 R3 的子空间哪些在 之下不变？(1) (0, 0, c)| cR; (2) (0, b, c)| b, cR;(3) (a, 0, 0)| a R; (4) (a, b, 0)| a, b R;(5) (a, 0, c)| a, c R; (6) (a, a, 0)| a R. 解:(3)与(4)在 之下不变.20. 设 是 n 维向量空间 V 的一个线性变换，证明下列条件等价:(1) (V)V ； (2) ker 0. 证明:因为秩 + 的零度=n. 所以秩 =n 当

15、且仅当 的零度是 0,即当且仅当 ,因此 当且仅当dimkerdimV)(.0Ker21. 已知 R3 的线性变换 定义如下： (x1, x2, x3)(x 12x 2x 3, x2x 3, x1x 22x 3)，(x 1, x2, x3)R3.求 的值域 (V)与核 Ker的维数和基. 解: 关于基 , , 的矩阵为:01)(2,03. , ,A)1(1 )12(. 其中 , .)(,21L),(kerL)3(kerdim22. 设 是向量空间 V 的一个线性变换，W 是 的一个不变子空间，证明，W 是 2 的不变子空间 .证明:由不变子空间的定义易证 .23. 设 是数域 F 上 n(0)

16、维向量空间 V 的一个线性变换， 1, 2 , r, r1 , n是 V 的基. 证明，如果 1, 2 , r 是 Ker的基，那么 (r 1), (n)是 Im的基 .证明:已知 1, 2 , r是 Ker的基, 则 (i)=0, i=1,2, , r .令 lr+1 (r1 )+ lr+2 (r2 )+ + ln (n)=0, 则 ( lr+1r1 + lnn)=0, lr+1r1 + lnn Ker .所以 lr+1r1 + lnn=l1 1+ lrr但 1, 2 , r, r1 , n 是 V 的一个基, 故 lr+1= ln=0. 所以 (r1 ), (n) 线性无关.又 Im =

17、( (1), (2), (n) = ( (r1 ), (n).从而结论成立.24. 对任意 R4，令 ()A ，其中A 212530求线性变换 的核与象.解: 1 = , 2 = , Ker =(1,2).0310 ( 1) = , ( 2) = .Im =( ( 1), ( 2).25. 设 ， 是向量空间 V 的线性变换，且 ， . 这里 是 V 的恒等变换， 是 V 的零变换. 证明:(1) V (V) (V)；(2) (V)Ker . 证明: (1) V, = ( )=( )( )= ( )+ ( ).所以 V (V)+ (V).对任意 (V) (V). 则 = ( 1)+ ( 2).

18、由已知条件可得 = ( ( 1) = ( )( ( 1) = ( ( 1) = ( ( 2)= ( 2) = 0 .故结论成立.(2 ) 对任意 ( ) (V), 则 ( ( )= 0, 所以 ( )Ker .反之, 对任意 Ker , 则 ( )= 0.由已知条件可得, = ( )( )= ( )+ ( )= ( ),所 以 (V).26. 在向量空间 Fnx中，定义线性变换 为：对任意 f(x)Fnx， (f(x) x f (x)f( x). 这里 f (x)表示 f(x)的导数. (1)求 Ker及 Im；(2)证明,VKer Im. 解: (1) 令 ( f(x) = x f (x)f

19、(x) = 0其中 f(x) = a 0 + a1x + + anxn . 则(a1x +2a2x2+ +n anx n)- f(x) = 0(0- a 0) + ( a1- a1)x + (2a2- a2) x2 + + (n an-an)x n = 0有 , 所以 f(x) = a1x , 02naKer =(x), Im=(1,x2, ,x n).(2) 显然 .27. 已知向量空间 V 的线性变换 在基 1, 2, 3下的矩阵为A 065求 的本征值及相应的本征向量. 问是否存在 V 的一个基使得 关于这个基的矩阵是对角阵? 解: 本征值 =2 (三重), 属于 =2 的线性无关的本征

20、向量为:1= , 2= ,0313故 不能对角化.28. 设 是向量空间 V 的可逆线性变换，证明(1) 的本征值一定不为 0；(2) 如果 是 的本征值，那么 是 1 的本征值.证明: (1) 反设 有一本征值为 0,则存在 0, V, 使得 ( )=0 = 0 . 因为 可逆, 所以 -1( ( )=0, 即 = 0.矛盾.(2) 设 是 的本征值,由(1)得 0,且有 ( )= , 0. -1( ( )= -1 ( ). 即 -1 ( )= , 所以结论成立.1补 充 题1. 设 是数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换. 证明(1) Ker Ker2 Ker3 (2) Im

21、Im2 Im3 证明: (1)对任意正整数 n,下证 Ker n Ker n+1对任意 Ker n., n( )=0, ( n( )=0即 n+1( )=0, 所以 Ker n+1.(2) 对任意正整数 n,下证 Im n Im n+1.对任意 Im n+1, 则存在 V, 使得 = n+1( )= n( ( )Im n.2. 设 A 是数域 F 上的 n 阶矩阵. 证明，存在 F 上的一个非零多项式f(x), 使得 f(A)0.不用 Cayley-Hamilton 定理证. 证明: 由于 dimMn(F) = n2, 所以 I, A, A2, , A 线性相关,故存在2nF 上的不全为零的一

22、组数 k0, k1, ,k ,使得 +2n 210kI.取 + ,结论得证.02nAk)(xfx2nx3. 设 V 是 n 维向量空间, 是 V 的一个可逆线性变换, W 是 的一个不变子空间. 证明, W 也是 1 的不变子空间 .证明:令 1, 2 , r是 W 的一个基,因为 W 是的不变子空间,所以, .又是可逆的,所以 , )(r线性无关,故)(ii)(1, )(r也是 W 的一个基 .因为 .所1 riii ,1以 W 关于 不变.14. 设 是数域 F 上向量空间 V 的一个线性变换, 2 . 证明:(1) Ker ()|V;(2) VKer Im ;(3) 若 是 V 的一个线

23、性变换, 那么 Ker 和 Im 都在 之下不变的充要条件是 .提示：证(3)的必要性，利用(2). 证明:(1)对于任意的 则 那么,ker.0)(.V)(0反之,任意的 ,有V)()( )(,故 . )(2ker(2)由(1)的解果可知: ,对任意的 ,则有:ImkerVImr,因此 .)(21 0)()(121同时还有: )()(22所以 ,结论成立.0(3)充分性易证.必要性:设 Ker 和 Im 都在 之下不变,由(2) 的结论得: 1,V其中 .又因为),(2ker1 )()()()() 1121 .(22由已知, 不妨设 ,所以,Im)(,ker)1 )()(32.0)( 323

24、 5. 设 是数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换, 2 . 证明, VW 1W2, 这里 W1 V|() ，W 2 V|() .提示： V， ( () ( (). 21证明:首先对 ,由于2)()(, V,)2()()(2)(2)(所以 , ,故 .12)W(1WV其次对任意的 ,则 , .所以 .2)(0,那么 VW 1W2,结论成立.6. 设 V 是复数域 C 上一个 n 维向量空间, , 是 V 的线性变换 , 且 . 证明(1) 对 的每一本征值 来说，V V|() 是 的不变 子空间;(2) 与 有一公共本征向量.提示：证(2)时，考虑 在 V上的限制 . 证明: (1

25、)易证.(2).由(1)可知 是 的不变子空间.则 是 的一个线性变换.因此在复数域 上一定有一个本征值,不妨设为 .即存在 ,使得VCV0.而 ,所以 是 的属于 的一个本征向)( )()(V量.由 的取法,结论得证.7. 设 A 是秩为 r 的 n 阶半正定矩阵. 证明,W Rn| TA0是 Rn的 nr 维子空间. 提示：利用习题三第 33 题的结论，可得 W 是齐次线性方程组 BX0的解空间. 证明:由习题三第 33 题的结论得 : ,其中 是秩为 r 的 矩BATn阵.则 ,那么 当且仅当 .)(BATTT00BW.因为秩 ,所以齐次线性方程组 的解空间是0BRnrx维的.即 .rndim8. 设 ， 是 F 上向量空间 V 的线性变换,且 2 ,2 . 证明，(1) ImIm 当且仅当 , ；(2) KerKer 当且仅当 , . 证明:(1)必要性:设 , 则 .令 ,则mIIm)()(1.所以 .同理可证 .)()()(11充分性:设 , .对任意的 ,则I)()()(所以 ,同理可证 .ImIm（2）必要性:设 KerKer .对任意的 ,因为V0)()(2所以 ,则 ,即 ,故 .ker)()(同理可证 .充分性:设 , .对任意的 ,则 .且ker0)()()()( 所以 ,故 .同理可证 .kerkerer