1、第七章 图（基础知识） 7.1 【答案】在图 7.23(下图)所示的各无向图中：(1)找出所有的简单环。(2)哪些图是连通图?对非连通图给出其连通分量。(3)哪些图是自由树(或森林)?答:(1)所有的简单环：(同一个环可以任一顶点作为起点)(a)1231(b)无(c)1231、2342、12341(d)无(2)连通图：(a)、(c)、(d)是连通图，(b)不是连通图，因为从 1 到 2 没有路径。具体连通分量为：(3)自由树(森林)：自由树是指没有确定根的树，无回路的连通图称为自由树：(a)不是自由树，因为有回路。(b)是自由森林，其两个连通分量为两棵自由树。(c)不是自由树。(d)是自由树。
2、7.2 【答案】在图 7.24 所示(下图)的有向图中：(1) 该图是强连通的吗? 若不是，则给出其强连通分量。(2) 请给出所有的简单路径及有向环。(3) 请给出每个顶点的度，入度和出度。(4) 请给出其邻接表、邻接矩阵及逆邻接表。答：(1)该图是强连通的，所谓强连通是指有向图中任意顶点都存在到其他各顶点的路径。(2)简单路径是指在一条路径上只有起点和终点可以相同的路径：有v1v2、v2v3、v3v1、v1v4、v4v3、v1v2v3、v2v3v1、v3v1v2、v1v4v3、v4v3v1、v3v1v4、另包括所有有向环,有向环如下：v1v2v3v1、v1v4v3v1(这两个有向环可以任一顶
3、点作为起点和终点)(3)每个顶点的度、入度和出度：D(v1)=3 ID(v1)=1 OD(v1)=2D(v2)=2 ID(v2)=1 OD(v2)=1D(v3)=3 ID(v3)=2 OD(v3)=1D(v4)=2 ID(v4)=1 OD(v4)=1(4)邻接表：(注意边表中邻接点域的值是顶点的序号，这里顶点的序号是顶点的下标值-1)vertex firstedge next 0v1 1 3 1v2 2 2v3 0 3v4 2 逆邻接表： 0v1 2 1v2 0 2v3 1 3 3v4 0 邻接矩阵：0 1 0 10 0 1 01 0 0 00 0 1 07.3 【答案】假设图的顶点是 A,B
4、.，请根据下述的邻接矩阵画出相应的无向图或有向图。 | 0 1 1 0 0 | 0 1 1 1| | 0 0 0 1 0 | | 1 0 1 1| | 0 0 0 1 0 | | 1 1 0 1| | 1 0 0 0 1 | | 1 1 1 0| | 0 1 0 1 0 | (a) (b) 答:7.4 【答案】假设一棵完全二叉树包括 A,B,C.等七个结点，写出其邻接表和邻接矩阵。解：邻接表如下： 0A 1 2 1B 0 3 4 2C 0 5 6 3D 1 4E 1 5F 2 6G 2 邻接矩阵如下：0 1 1 0 0 0 01 0 0 1 1 0 01 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0
5、 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0 07.5 【答案】对 n 个顶点的无向图和有向图，采用邻接矩阵和邻接表表示时，如何判别下列有关问题?(1) 图中有多少条边?(2) 任意两个顶点 i 和 j 是否有边相连?(3) 任意一个顶点的度是多少?答：对于 n 个顶点的无向图和有向图，用邻接矩阵表示时：(1)设 m 为矩阵中非零元素的个数 无向图的边数=m/2有向图的边数=m(2)无论是有向图还是无向图，在矩阵中第 i 行,第 j 列的元素若为非零值，则该两顶点有边相连。(3)对于无向图，任一顶点 i 的度为第 i 行中非零元素的个数。对于有向图，
6、任一顶点 i 的入度为第 i 列中非零元素的个数，出度为第 i 行中非零元素的个数，度为入度出度之和。当用邻接表表示时：(1)对于无向图，图中的边数=边表中结点总数的一半。对于有向图，图中的边数=边表中结点总数。(2)对于无向图，任意两顶点间是否有边相连，可看其中一个顶点的邻接表，若表中的adjvex 域有另一顶点位置的结点，则表示有边相连。对于有向图，则表示有出边相连。(3)对于无向图，任意一个顶点的度则由该顶点的边表中结点的个数来决定。对于有向图，任意一个顶点的出度由该顶点的边表中结点的个数来决定，入度则需遍历各顶点的边表。(用逆邻接表可容易地得到其入度。)7.6 【答案】n 个顶点的连通
7、图至少有几条边?强连通图呢?答： n 个顶点的连通图至少有 n-1 条边，强连通图至少有 2(n-1)条边。7.7 【答案】DFS 和 BFS 遍历各采用什么样的数据结构来暂存顶点?当要求连通图的生成树的高度最小，应采用何种遍历?答： DFS 遍历采用栈来暂存顶点。BFS 采用队列来暂存顶点。当要求连通图的生成树的高度最小时，应采用 BFS 遍历。7.8 【答案】画出以顶点 v1 为初始源点遍历图 7.25(下图)所示的有向图所得到的 DFS 和BFS 生成森林。答：7.9 【答案】按顺序输入顶点对：(1，2)，(1，6)，(2，6)，(1，4)，(6，4)，(1，3)，(3，4),(6，5)
8、，(4，5)，(1,5),(3,5),根据第 7.2.2 节中算法 CreatALGraph 画出相应的邻接表。并写出在该邻接表上，从顶点 4 开始搜索所得的 DFS 和 BFS 序列，及 DFS 和 BFS生成树。 答：相应的邻接表如下： 11 5 3 4 6 2 22 6 1 33 5 4 1 44 5 3 6 1 55 3 1 4 6 66 5 4 2 1 根据上面的邻接表画出的图见下图:从顶点 4 开始搜索所得的 DFS 序列是：453162从顶点 4 开始搜索所得的 BFS 序列是：453612相应的生成树见上图。7.10 【答案】什么样的图其最小生成树是唯一的?用 PRIM 和 K
9、ruskal 求最小生成树的时间各为多少?它们分别适合于哪类图?答： 当候选轻边集中的轻边数始终等于 1 条时，其最小生成树是唯一的。用 Prim 和Kruskal 求最小生成树的时间复杂度分别为 O(n2)和 O(elge),前者适合于稠密图，后者适合于稀疏图.7.11 【答案】对图 7.26（下图）所示的连通图，请分别用 Prim 和 Kruskal 算法构造其最小生成树。 答：7.12 【答案】对图 7.27（下图）所示的有向图，试利用 Dijkstra 算法求出从源点 1 到其它各顶点的最短路径，并写出执行算法过程中扩充红点集的每次循环状态(见表 7.2).答：循环状态表如下：循环 红
10、点集 K D1 D2 D3 D4 D5 D6 P1 P2 P3 P4 P5 P6 初始化 1 - 0 20 15 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1,3 3 0 19 15 25 -1 3 1 -1 -1 3 2 1,3,2 2 0 19 15 29 25 -1 3 1 -1 2 3 3 1,3,2,6 6 0 19 15 29 29 25 -1 3 1 6 2 3 4 1,3,2,6,4 4 0 19 15 29 29 25 -1 3 1 6 2 3 5 1,3,2,6,4,5 5 0 19 15 29 29 25 -1 3 1 6 2 3 6 同上 - 同上 同上 从源点 1 到各点的
11、路径如下所示：1 到 2：1321 到 3：131 到 4：13641 到 5：13251 到 6：136整个执行算法过程中的扩充红点集的每次循环状态见上表。7.13 【答案】试写出图 7.28（下图）所示有向图的所有拓扑序列，并指出就用 7.6 节给出的 NonPreFirstTopSort 算法求得的是哪个序列，设邻接表的边表结点中的邻接点序号是递增有序的。 答：上图中所有拓扑序列如下：v0v1v5v2v3v6v4 *v0v1v5v2v6v3v4v0v1v5v6v2v3v4v1v0v5v6v2v3v4v1v0v5v2v3v6v4v1v0v5v2v6v3v4v1v5v0v2v3v6v4v1v
12、5v0v2v6v3v4v1v5v0v6v2v3v4v5v1v0v2v3v6v4v5v1v0v2v6v3v4v5v1v0v6v2v3v4v5v0v1v2v3v6v4v5v0v1v2v6v3v4v5v0v1v6v2v3v4v0v5v6v1v2v3v4v1v5v6v0v2v3v4v5v6v1v0v2v3v4v5v6v0v1v2v3v4v5v0v6v1v2v3v4v5v1v6v0v2v3v4用 NonPreFirstTopSort 算法求得的是 v0v1v5v2v3v6v4 也就是上面带*号的那个。7.14 【答案】什么样的 DAG 的拓扑序列是唯一的? 答： 确定了排序的源点，DAG 图中无前趋顶点只有一个且从该点到终点只有一条路径时，它的拓扑序列才是唯一的。7.15 【答案】请以 V0 为源点，给出用 DFS 搜索图 7.28（上图）得到的逆拓扑序列。 答： 逆拓扑序列是：V4 V2 V1 V0 V1 V6 V5
