1、1辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 关于运用 CASIO 图形计算器解决超越方程解的个数的探究在日常的数学学习中，我们经常会遇到这样一些问题，例如求解方程 的实数cosxlg解个数，这类方程被称为超越方程，超越方程一般指的是等号两边至少有一个含有未知数的初等超越函数式的方程。如指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等。超越方程一般没有解析解，而只有数值解或近似解，只有特殊的超越方程才可以求出解析解来。而这样的题便是令大多数同学的十分头痛的难题。而适当地运用 CASIO 图形计算器并辅以一定的数学运算，就能方便而准确地解决这类问题。首先，对于文章
2、开头所提出的 ，采用以下简单的解法来解决问题：cosxlg在 CASIO 计算器中选取图形模块，输入方程：然后绘图，很容易得到有三个交点：2那么，当面对比较复杂的，例如带参数的超越方程时，应当如何解决呢？例如下题：当方程 对于 解的个数为sinlg1xkx0k个时， 的取值范围是？*1,N为解决这道题，首先利用图形计算器中的动态函数，初步了解题目：先取 =1,2,3，观察图形：k3从图形中可以发现，由于 n 与 k 的值都是不定的，无法直接从图中得出准确的答案。当 n 为偶数时，对数函数与 sin 函数的最后一个交点应该在 sin 函数的最大值，即 y=1 时取到，根据这一点，可以联想到当 n
3、 为奇数时，对数函数的最后两个交点会穿过 sin 函数的“山峰” ， 即类似于 k=1 时的部分图像：那么，根据以上分析，分类讨论：1.当 n 为偶数时：设 n=2m，此时代入数据， ，即当lg21km为最后一个交点时，将共有 2m 个交点。2xm解得：181822kn2.当 n 为奇数时，既要保证 时的 sin 函数值小于 1，又要保证xm的 sin 函数值大于 1，这样才能保证对数函数与 sin 函数共有 n 个2(1)2xm交点，根据上述分析列出不等式：4lg21l()12km 根据上述不等式解出 n 为奇数时 k 的范围：1818(23)2()2n那么，综上所述：当方程 对于 解的个数
4、为silg1xkx0k个时，*1,nN当 n 为偶数时，181822knm当 n 为奇数时， (3)(21)2knn从这道题中我们不难发现，对于一些含参数的超越方程解的个数问题，并不是简单地使用计算器画图就可以得出解答，而是要先经过计算器画图得出直观的印象，再进行精确的数学分析与解答，才能解出答案。由此，可以引申出另一道题，即解答方程 的交点个数：2sinlgx此时，运用计算器画图就成为非常重要的先行步骤：可以看到，现在这道题由于 sin 函数前的系数为 2，与文章开篇的简单问题 产cosxlg5生了很大的不同，那么，对于这道题就需要合理的推断与想象。当 时， ，此时已经没有交点。10xlg2sinxx而在 共有 15 个完整的“峰” ，那么此时，解题就变得十分便捷。所以，算上第一个交点， 共有 15*2+1=31 个交点。silgx通过上述三道题的分析，可以看出合理适当地运用 CASIO 计算器在解决超越方程解的个数上十分有很大的作用。由于手画草图并不能准确地显示图像的细节，会产生很大的误差，因此在解决超越方程解的个数问题时，需要先经过计算器画图得出直观的印象，再进行精确的数学分析，同时合理地想象推理，并加以验证，这样就能获得正确的答案。
