1、第 21 讲 数论试题选讲在数学竞赛中，初等数论的问题是考查的热点内容之一它所涉及的范围主要有数的进位制、数的整除性、同余理论与不定方程主要的定理有费马小定理和中国剩余定理反证法是解数论问题常用的解题方法以下请大家了解近年一些有关数论的竞赛试题和其解法。A类 例 题例 1 设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得 也是一个正整数，求正整数 k。 （2004 年全国高中k2 pk数学竞赛）例 2 求所有的整数 n，使得 n4+6n3+11n2+3n+31 是完全平方数 （2004 年中国西部数学奥林匹克）例 3 在已知数列 1，4 ，8，10，16，19，21 ，25，30，43 中，若相邻若干
2、个数之和能被 11 整除，则这些数组成一个数组，这样的数组共有_个。例 4 已知 a、b 、c 为正整数，且 是有理数。3a+b3b+c情景再现1已知 a、b、 c、d 均为正整数，且 logab= ，log cd= 。若 ac=9，则 bd= 。 （200332 54年全国高中数学竞赛）2一组相邻的正整数，其中任何一个都不能被大于 1 的奇数的立方所整除，则这组数最多有_个。3将一个四位数的数码相反顺序排列时为原来的 4 倍，求原数。4由 7 个数字 0，1，2，3 ， 4，5，6 组成且能被 55 整除的最小七位数是 ；B 类 例 题例 5证明：不存在正整数 n，使得 2n2+1，3n 2
3、+1，6n 2+1 全都是完全平方数。 （2004 年日本数学奥林匹克）例 62005 ！+2，2005！+3，2005！+2005 这连续的 2004 个整数构成一个数列，且此数列中无质数。是否存在一个由 2004 个连续整数构成的数列，此数列中恰有 12 个质数？ （2004年芬兰高中数学竞赛）例 7已知 m、 n、k 为自然数，mn k，且 2m+2n2 k是 100 的倍数，求 m+nk 的最小值情景再现5证明：15n 2+n+26按如下的规则构造数列 1，2 ，3，4，0，9 ，6，9，4，8，7，从第五个数字开始，每 1 个数字是前 4 个数字的和的末位数字。问（1）数字 2，0
4、，0，4 会出现在所构造的数列中吗？（2）开头的数字 1，2 ， 3，4 会出现在所构造的数列中吗？（2004 年克罗地亚数学竞赛）7求有多少个正整数对(m,n)，使得 7m+3n=102004，且 mn。 （2004 年日本数学奥林匹克）C 类 例 题例 8找出满足 (a+b) (b+c)(c+a)+(a+b+c)3=1abc 的全部整数 a，b，c，并作出必要的推理说明。12（2003 年中国香港数学竞赛）例 9求最小的正质数，使得对于某个整数 n，这个质数能整除 n2+5n+23。 （2003 年巴西数学奥林匹克）例 10求方程 2x3y5 z7w= 1 的所有非负整数解(x，y，z，w
5、)。 （2005 年中国数学奥林匹克）情景再现8证明对于任意的整数 n，11 不能整除 n2+5n+23。9求所有正整数 n，使得 n2n-1 +1 是完全平方数。10求所有的正整数对（a，b） ，使得 为正整数。 （03 年 IMO）a22ab2 b3+1习题 211求能使等式 + =1 成立的所有正整数 m，n 。3m 5n2证明：3 241 能被 91 整除 3求所有多于两位的正整数，使得每一对相邻数字构成一个整数的平方。 （2004 年克罗地亚数学竞赛）4证明：任意五个相邻的正整数的平方和不是一个正整数的平方。 （2004 年克罗地亚数学竞赛）5设 n 是正整数，且 4n2+17n15
6、 表示两个相邻正整数的积，求所有这样的 n 的值6将 个数放在一个圆周上，任意连续的 个数的和为 ，且放在第 号位置的数是 ，第282075173号位置的数是 ，第 号位置的数是 . 则放在第 号位置的数是几。341917求使(a 3+b) (a+b3)= (a+b)4 成立的所有整数对（a,b） 。 （2004 年澳大利亚数学奥林匹克）8若正整数 a、b 、c 满足 a2+b2=c2，就称 a、b、c 为一组勾股数，证明：若 a，b，c 是一组勾股数，则 abc 能被 60 整除9证明：存在无限正整数序列a n,使得 对于任意正整数 n 是一个完全平方数。 （2004 年澳大21nka利亚数学奥林匹克）10数列 a1，a 2，定义如下： an=2n+3n+6n1 （n=1，2，3，） 。求与此数列的每一项都互质的所有正整数IMO-05.11. 试求解方程 = 。5+6x8 15x 75123 个正整数中的任何两个数之积可以被该两数之和整除。证明：这 3 个正整数具有大于 1 的公约数。（2004 年俄罗斯数学奥林匹克）13、设N 1，N 2，N k是由五位数（十进制）构成的数组，使得任何一个各位数字形成严格上升序列的五位数中都至少有一位数字与数 N1，N 2，N k中的某个数的相同位置上的数字相同。试求 k 的最小可能值。 （2004 年俄罗斯数学奥林匹克）
