1、1不等式选讲第 1 课 绝对值不等式过双基1绝对值三角不等式定理 1：如果 a， b 是实数，则| a b| a| b|，当且仅当 ab0 时，等号成立定理 2：如果 a， b， c 是实数，那么| a c| a b| b c|，当且仅当( a b)(b c)0 时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式| x|a 的解集不等式 a0 a0 aa x|xa或 x0)型不等式的解法：| ax b| c c ax b c；| ax b| cax b c 或 ax b c.(3)|x a| x b| c，| x a| x b| c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解；利
2、用零点分段法求解；构造函数，利用函数的图象求解小 题 速 通 1不等式| x1| x2|1 的解集是_解析： f(x)| x1| x2|Error!当11，所以不等式的解集为 .x|x 1答案： x|x12若存在实数 x 使| x a| x1|3 成立，则实数 a 的取值范围是_解析：| x a| x1|( x a)( x1)| a1|，要使| x a| x1|3 有解，可使| a1|3，3 a13，2 a4.答案：2,423若不等式| kx4|2 的解集为 ，则实数 k_.x|1 x 3解析：由| kx4|22 kx6.不等式的解集为 ，x|1 x 3 k2.答案：24设不等式| x1| x
3、2| k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围为_解析：| x1| x2|3，3| x1| x2|3， k(| x1| x2|)的最小值，即 k3.答案：(，3)清易错1对形如| f(x)|a 或| f(x)|a b| B| a b|a b|.2若| x1|1，| y2|1，则| x2 y1|的最大值为_解析：| x2 y1|( x1)2( y2)2| x1|2| y2|25.答案：5绝对值不等式的解法典例 设函数 f(x)| x1| x1| a(aR)(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若方程 f(x) x 只有一个实数根，求实数 a 的取值范围解 (1)依题意，原不等式
4、等价于：|x1| x1|10，当 x0，3即10，此时解集为；当1 x1 时， x1( x1)10，即 x ，此时 1 时， x1( x1)10，即 30，此时 x1.综上所述，不等式 f(x)0 的解集为 .xx12(2)依题意，方程 f(x) x 等价于 a| x1| x1| x，令 g(x)| x1| x1| x. g(x)Error!.画出函数 g(x)的图象如图所示，要使原方程只有一个实数根，只需 a1 或 a 时，原不等式转化为 4x6 5 时，不等式可化为( x1)( x5)0 的解集(1)求 M；(2)求证：当 x， y M 时，| x y xy|0，得 x3，舍去；5当2 x
5、 时，由 3x10，得 x ，12 13即 时，由 x30，得 x0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时， f(x)1 化为| x1|2| x1|10.7当 x1 时，不等式化为 x40，无解；当10，解得 0，解得 1 x1 的解集为 .x236，故 a2.23所以 a 的取值范围为(2，)3(2016江苏高考)设 a0，| x1| ，| y2| ，求证：|2 x y4| a.a3 a3证明：因为| x1| ，| y2| ，a3 a3所以|2 x y4|2( x1)( y2)|
6、2| x1| y2|2 a.a3 a34(2013全国卷)已知函数 f(x)|2 x1|2 x a|， g(x) x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x) g(x)的解集；(2)设 a1，且当 x 时， f(x) g(x)，求 a 的取值范围a2， 12)解：(1)当 a2 时，不等式 f(x) g(x)可化为|2 x1|2 x2| x30.设函数 y|2 x1|2 x2| x3，则yError!其图象如图所示从图象可知，当且仅当 x(0,2)时， y 时，不等式可化为(2 x3)(2 x1)4 x46，解得 1 时，等价于 a1 a2 a13，解得 12 或 k211，解得 k 或 k
7、或 k0，3 3实数 k 的取值范围为(， )0( ，)3 36设函数 f(x)| ax1|.(1)若 f(x)2 的解集为6,2，求实数 a 的值；(2)当 a2 时，若存在 xR，使得不等式 f(2x1) f(x1)73 m 成立，求实数 m的取值范围解：(1)显然 a0，当 a0 时，解集为 ，1a， 3a则 6， 2，无解；1a 3a当 a0 时，解集为 ，3a， 1a则 2， 6，得 a .1a 3a 12综上所述， a .12(2)当 a2 时，令 h(x) f(2x1) f(x1)|4 x1|2 x3|Error!由此可知， h(x)在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调( ， 14) ( 14， 32) (32， )递增，则当 x 时， h(x)取到最小值 ，14 72由题意知， 73 m，解得 m ，72 72
