1、 直线的倾斜角与斜率教案一、课题 直线的倾斜角与斜率1、教学目标正确理解直线的倾斜角和斜率的概念，了解斜率公式的推导过程掌握过两点的直线的斜率公式；通过直线倾斜角的引入以及倾斜角和斜率关系的揭示，培养观察能力，数学语言的表达能力，数学交流能力和评价能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合的思想和辩证统一的观点。2、重点难点本节重点是直线的倾斜角，斜率概念和计算公式；难点是直线倾斜角和斜率的关系。3、教学方法讲授法4、教具三角板、幻灯片5、教学过程1.引入新课 （出示幻灯片）我们小时候都一定玩过滑滑梯，会有这样的感受，当滑道和地面的夹角很大的时候，我们下滑得快一些，而当滑道和
2、地面的夹角很小的时候滑得慢一些。那时，我们说夹角大的更陡一些。现在，我们已经学习过了直线，同时也学会了一种刻画平面上点的位置的工具平面直角坐标系。那么，如果我们把滑道所在的直线看做平面中的直线，把地平面所在直线看做 x 轴，则我们该如何用数学语言来刻画这个“陡”呢？2.探索新知 问题 1对于平面直角坐标系内的一条直线 它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗?分析:对,两点可以确定一条直线 ,过一个点可以画出无数条直线,这些直线都与 轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与 轴正方向所成的最小正角 叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点,确定一个倾斜角便
3、可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点,再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角.注:平行于 x 轴或于 x 轴重合的直线的倾斜角为 0问题 2直线倾斜角的范围是多少? 这样在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角 ,倾斜角刻画了直线倾斜的程度,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等, 倾斜程度不相同的直线,其倾斜角也不相等.问题 3(斜率的概念) 日常生活中我们可以用一个比值表示倾斜程度的量:例如:坡度(比)= 升高量/前进量能否用一个比值刻画斜率呢？如果 是一条直线的倾斜角,我们把倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(
4、slop)记作: tank=问题 4(1)是不是所有的直线都有倾斜角?是（2）是不是直线都有斜率?倾斜角为 90时没有斜率, 因为 90的正切不存在.( 是锐角时为正,倾斜角是钝角时为负 )反映了直线向右或向左倾斜的程度 ,特别是倾斜角 是锐角时,斜率的值越大倾斜角也越大,倾斜角是钝角时也同样.探究：由两点确定的直线的斜率经过两点 P1(x1， y1)， P2（ x2， y2）的直线的斜率公式： k （ x1 x2）2y(给出幻灯片）推导：设直线 P1P2的倾斜角是 ，斜率是 k，向量 的方向是向上的(如上图所示).21P向量 的坐标是( x2 x1， y2 y1).过原点作向量 ，则点 P
5、的坐标是21 O(x2 x1， y2 y1)，而且直线 OP 的倾斜角也是 ，根据正切函数的定义，tan （ x1 x2）2即 k （ x1 x2）2y同样，当向量 的方向向上时也有同样的结论.1P3.例题和练习例 1如图，直线 l1的倾斜角 130，直线l1 l2，求 l1、 l2的斜率.分析：对于直线 l1的斜率，可通过计算 tan30直接获得，而直线 l2的斜率则需要先求出倾斜角 2，而根据平面几何知识， 2 190，然后再求 tan 2即可.解： l1的斜率 k1tan 1tan30 ， l2的倾斜角 29030120，3 l2的斜率 k2tan120tan（1060）tan60 .3
6、评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.例 2直线经过点 A(sin70，cos70)， B（cos0，sin0） ，则直线 l 的倾斜角为( )A.20 B.0 C.50或 70 D.120参考公式：sin sin2cos sin ，2cos cos2sin i .2分析：若想求出 l 的倾斜角，则应先由斜率公式求出 l 的斜率.思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形.考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式，需要对分子、分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示.解：
7、设 l 的倾斜角为 ，则 tan 40cos7sini3)10sin(2coi又 0， 120故选 D.接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾斜角变化时，斜率的变化情况.课堂练习1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1) 0；（2） 60(3) 90；（） 43分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.解：(1)tan00倾斜角为 0的直线斜率为 0；(2)tan60 3倾斜角为 60的直线斜率为 ；3(3)tan90不存在倾斜角为 90的直线斜率不存在；(4)tan tan（ ）tan 1，倾斜角为 的直线斜率为1.434432.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切
8、函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：(1)0 90解：作出 ytan 在(0，90）区间内的函数图象；由图象观察可知：当 （0，90） ， ytan 0，并且随着 的增大， y 不断增大， y也不断增大.所以，当 （0，90）时，随着倾斜角 的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.(2)90 10解：作出 ytan 在(90，10）区间内的函数图象，由图象观察可知：当 (90，180） ， ytan 0，并且随着 的增大，ytan 不断增大， y不断减小.所以当 （90，10)时，随着倾斜角 的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.师针对此题结论，虽然有当 （0，90） ，随着 增大直线斜率不断增大；当 （90，10） ，随着 增大直线斜率不断增大，但是当 （0，90）（90，10）时，随着 的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数 ytan 在区间(0，90）内为单调增函数，在区间(90，10）内也是单调增函数，但在(0，90）（90，10)区间内，却不具有单调性.6、课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.7、课后作业8、教学反思
