1、直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与 x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.(2)倾斜角的范围为0，) _2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan_，倾斜角是 90的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2， y2)(x1x 2)的直线的斜率公式为 k .y2 y1x2 x1 y1 y2x1 x2二、直线方程的形式及适用条件名称 几何条件 方 程 局限性点斜式 过点(x 0
2、，y 0)，斜率为 k yy 0k(xx 0) 不含垂直于 x 轴的直线斜截式 斜率为 k，纵截距为 b ykxb 不含垂直于 x 轴的直线两点式过两点(x 1，y 1)，( x2，y 2)，(x1x 2，y 1y 2) y y1y2 y1 x x1x2 x1 不包括垂直于坐标轴的直线截距式在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b(a，b0) 1xa yb 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ByC 0(A ，B 不全为 0)1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3用
3、截距式写方程时，应先判断截距是否为 0，若不确定，则需要分类讨论4求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率 ktan 的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角 的取值范围练习：1(教材习题改编)直线 x ym 0( mk)的倾斜角为( )3A30 B60C150 D120解析：选 C 由 ktan ，0，)得 150.332(教材习题改编)已知直线 l 过点 P(2,5)，且斜率为 ，则直线 l 的方程为( )34A3x4y140 B3x 4y140C4x 3y140 D4x3y140解析：选 A 由 y5 (x2)，得 3x4y140.343过点 M(
4、2，m) ，N (m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( )A1 B4C1 或 3 D1 或 4解析：选 A 由 1 ，得 m24m，m1.4 mm 24(2012长春模拟)若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则 a 的值为_解析：k AC 1，k AB a3.5 36 4 a 35 4由于 A，B，C 三点共线，所以 a31，即 a4.答案：45若直线 l 过点(1,2)且与直线 2x3y40 垂直，则直线 l 的方程为_解析：由已知得直线 l 的斜率 为 k .32所以 l 的方程为 y2 (x1) ，32即 3x2y10.答案：3x2y10直线的倾斜角与斜率1
5、.(2012岳阳模拟)经过两点 A(4,2y1)，B(2，3) 的直线的倾斜角为 ，则 y( )34A1 B3C0 D22.(2012苏州模拟)直线 xcos y20 的倾斜角的范围是_3自主解答 (1)tan y2，因此 y21.y3.34 2y 1 34 2 2y 42(2)由题知 k cos ，故 k ，结合正切函数的图象，当 k 时，直线倾33 33，33 0，33斜角 ，当 k 时，直 线倾斜角 ，故直线的倾斜角的范围是 0，6 33，0) 56，) 0，6.56，)答案 (1)B (2) 0，6 56，)3(2012哈尔滨模拟)函数 yasin xbcos x 的一条对称轴为 x
6、，则直线4l：axbyc 0 的倾斜角为( )A45 B60C120 D135解析：选 D 由函数 yf( x)asin xbcos x 的一条对称轴为 x 知，f(0)f ，即4 (2)ba，则直线 l 的斜率为 1，故倾斜角为 135.4(2012金华模拟)已知点 A(1,3)，B(2，1)若直线 l：yk(x2)1 与线段 AB相交，则 k 的取值范围是( )A. B(，212， )C(，2 D.12， ) 2，12解析：选 D 由题意知直线 l 恒过定点 P(2,1)，如右图若 l 与线段 AB 相交，则 kPAkk PB.k PA 2，k PB ，122k .12直 线 方 程5.过
7、点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是_6.(2012东城模拟)若点 P(1,1)为圆(x3) 2y 29 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为_自主解答 (1)设所求直线方程为 x2ym 0，由直线经过点(1, 0)，得1m0，m1.则所求直线方程为 x2y 10.(2)由题意得， kMN1，所以 kMN2，故弦 MN 所在直线的方程为 y12(x1) ，1 01 3即 2xy10.答案 (1)x2y 10 (2)2xy 107(2012龙岩调研)已知ABC 中，A(1，4) ，B(6,6)，C (2,0)求：(1)ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的一般式方
8、程和截距式方程；(2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程解：(1)平行于 BC 边的中位线就是 AB，AC 中点的连线因为线段 AB，AC 中点坐标分别为 ， ，(72，1)( 12， 2)所以这条直线的方程为 ，y 21 2x 1272 12整理一般式方程为得 6x8y 130，截距式方程为 1.x136y138(2)因为 BC 边上的中点为(2,3)，所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 ，即y 43 4 x 12 1一般式方程为 7xy 110，截距式方程为 1.x117 y11直线方程的综合应用8. (2012开封模拟)过点 P(3,0)作一直线，使它夹在两直线 l
9、1：2xy20 与l2：xy30 之间的线段 AB 恰被点 P 平分，求此直线的方程自主解答 法一：设点 A(x，y)在 l1 上，点 B(xB，yB)在 l2 上由题意知Error!则点 B(6x，y )，解方程组Error!得Error!则 k 8.163 0113 3故所求的直线方程为 y8( x3)，即 8xy 240.法二：设所求的直线方程为 yk(x3)，点 A，B 的坐标 分别为( xA，yA)，(xB，yB)，由Error!解得Error!由Error!解得Error!P(3,0)是线段 AB 的中点，yAy B0，即 0，4kk 2 6kk 1k28k0，解得 k0 或 k8
10、.若 k0，则 xA1，x B3，此时 3，k0 舍去，xA xB2 1 32故所求的直线方程为 y8( x3)，即 8xy240.9(2012东北三校联考)已知直线 l 过点 M(2,1)，且分别与 x 轴，y 轴的正半轴交于A，B 两点，O 为原点(1)当AOB 面积最小时，求直线 l 的方程；(2)当|MA |MB|取得最小值时，求直线 l 的方程解：(1)设直线 l 的方程为 y1k (x2)( k0，k0.故 S |OA|OB| (12k)1 2kk 12 12 1 2kk (44)4，当且仅当 4k ，即 k 时，取等号12(4k 1k 4) 12 1k 12故 S 的最小值为 4
11、，此时直线 l 的方程为 x2y40.16(2012郑州模拟)已知直线 l1 的方向向量为 a(1,3)，直线 l2 的方向向量为b( 1 ，k) 若直线 l2 经过点(0,5)且 l1l 2，则直线 l2 的方程为( )Ax3y50 Bx 3y150Cx 3y50 Dx3y150解析：选 B kl 13，kl 2 k，l 1l 2，k ，l 2 的方程为 y x5，即 x3y 150.13 1317(2012吴忠调研)若过点 P(1a,1a)与 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数 a的取值范围是_解析：ktan .2a 1 a3 1 a a 1a 2 为钝角， 0，即( a1)(a2)0，a 1a 2故2a1.18.已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴，y 轴的正半轴分别交于A，B 两点如图，求ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程解：设 A(a,0)，B(0，b)，(a0，b0)，则直线 l 的方程为 1，xa ybl 过点 P(3,2)， 1.3a 2b1 2 ，即 ab24.3a 2b 6abSABO ab12.当且仅当 ，即 a6， b4 时，12 3a 2bABO 的面积最小，最小值为 12.此时直线 l 的方程为 1.x6 y4即 2x3y120.
