1、高一数学集合知识点集- 1 -1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示一、集合的含义集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体关键词：确定的、总体【特征】确定性、无序性、互异性、【表示方法】列举法、描述法、图示法二、元素与集合关系得判断【知识点的认识】一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集元素一般用小写字母 a，b，c 表示，集合一般用大写字母 A，B，C 表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：aA 或aA【命题方向】元素与集合之间的关系命题方向有
2、二，一是验证元素是否是集合的元素；二是知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数【解题方法点拨】如题型一：已知 A 是偶数集，试判断 a=2b2+4b，bN 是否是高一数学集合知识点集- 2 -集合的元素？方法点拨：因为偶数都可以写成整数 2 倍的形式，故解决本题的方法就是看元素 a 能否变成数的 2 倍的形式三、集合的确定性、互异性、无序性知识点的认识】集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家” ， “与 2 接近的数”等都不能组成一个集合（
3、2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素例如不能写成1，1，2，应写成1，2（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序例如1，2，3与3，2，1是相同的集合，也是相等的两个集合【解题方法点拨】解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复【命题方向】本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参数的集合的讨论为主四、集合的分类【知识点的认识】集合的分类主要依集合中元素个数的多少来划分，有限集和无限集两种有限集元素个数是确定
4、的，元素个数有限个，可以利用列举法或描述法表示；无限集元素个数是无限的，只能利用描述法表示【解题方法点拨】从集合的元素个数直接判断【命题方向】这一考点，是了解内容，会考多以选择题判断为主，高考多与集合之间的关系联合命题五、集合的表示法【知识点的认识】1列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法1，2，3，注意元素之间用逗高一数学集合知识点集- 3 -号分开 2描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法即：x|P（x 为该集合的元素的一般形式，P 为这个集合
5、的元素的共同属性）如：小于 的正实数组成的集合表示为：x|0x 3图示法（Venn 图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈） ，用它的内部表示一个集合4自然语言（不常用） 【解题方法点拨】在掌握基本知识的基础上， （例如方程的解，不等式的解法等等） ，初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn 图的应用，通过转化思想解答注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：x|2x-10表示实数 x 的范围；（x，y）|y-2x=0表示方程的解或点的坐标【命题方向】本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，立体几何，线性规
6、划，概率等知识相结合1.1.2 集合间的基本关系一、子集与真子集【知识点的认识】子集定义：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集（subset） 记作：AB（或 BA） 而真子集是对于子集来说的 真子集定义：如果集合 AB，但存在元素 xB，且元素 x 不属于集合 A，我们称集合 A 是集合 B 的真子集 也就是说如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，若 B 中有一个元素，而 A 中没有，且 A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，注 空集是所有
7、集合的子集 高一数学集合知识点集- 4 -所有集合都是其本身的子集 空集是任何非空集合的真子集 例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集 所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集 1，31，2，3，4 1，2，3，41，2，3，4 真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等； 真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“” ，如1，2，a，b，g； 另外，1，2的子集有：空集，1，2，1，2真子集有：空集，1，2一般来说，真子集是在所有子集中去掉空集和它本身，所以对于含有
8、n 个（n 不等于 0）元素的集合而言，它的子集就有 2n 个；真子集就有 2n-2但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，AB，并且 AB时，有 A=B，但是 AB，并且 BA，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题二、集合的包含关系及其应用【知识点的认识】如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合A 叫做集合 B 的子集；AB； 如果集合 A 是集合 B 的子集，并且
9、B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集，即 AB；如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，反过来，集合 B 的每一个元素也都是集合 A 的元素，那么我们就说集合 A 等于集合 B，即 A=B【解题方法点拨】1按照子集包含元素个数从少到多排列2注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素3可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系高一数学集合知识点集- 5 -4有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结
10、合命题三、集合的相等【知识点的认识】（1）若集合 A 与集合 B 的元素相同，则称集合 A 等于集合 B（2）对集合 A 和集合 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，那么集合 A 等于集合 B，记作A=B就是如果 AB，同时 BA，那么就说这两个集合相等，记作 A=B（3）对于两个有限数集 A=B，则这两个有限数集 A、B 中的元素全部相同，由此可推出如下性质：两个集合的元素个数相等；两个集合的元素之和相等；两个集合的元素之积相等 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已上述概念是判断或证明两个集合相等的依据【解题方
11、法点拨】集合 A 与集合 B 相等，是指 A 的每一个元素都在 B 中，而且 B 中的每一个元素都在 A 中解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性【命题方向】通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问四、集合中元素个数的最值【知识点的认识】【命题方向】【解题方法点拨】求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决五、空集的
12、定义、性质及运算【知识点的认识】空集的定义：不含任何元素的集合称为空集记作空集的性质：空集是一切集合的子集高一数学集合知识点集- 6 -空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的这通常是初学者的一个难理解点将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的例如：x|x2+1=0，xR=虽然有 x 的表达式，但方程中根本就没有这样的实数 x 使得方程成立，所以方程的解集是空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集【解题方法点拨】解答与空集有关的问题，例如集合 AB=BBA，实际上包含 3 种情况：B=；BA 且 B；B=A；往往遗漏 B 是
13、的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则” ，就是首先考虑空集【命题方向】一般情况下，多与集合的基本运算联合命题，是学生容易疏忽、出错的地方，考查分析问题解决问题的细心程度，难度不大，可以在选择题、填空题、简答题中出现1.1.3 集合的基本运算一、并集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素的组成的集合叫做 A 与 B 的并集，记作AB符号语言：AB=x|xA 或 xB图形语言： AB 实际理解为：x 仅是 A 中元素；x 仅是 B 中的元素；x 是 A 且是 B 中的元素运算形状：AB=BAA=AAA=AABA，ABBAB=BAB高一数学
14、集合知识点集- 7 -AB=，两个集合都是空集A（CUA）=UCU（AB）=（CUA）（CUB） 【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性不能重复【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题二、交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素的所有元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 AB符号语言：AB=x|xA，且 xB图形语言：AB 实际理解为：x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素当两个集合没有公共元素时，两个集
15、合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集运算形状：AB=BAA=AA=AABA，ABBAB=AABAB=，两个集合没有相同元素A（CUA）=CU（AB）=（CUA）（CUB） 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：有限集找相同；无限集用数轴、韦恩图【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题三、补集及其运算【知识点的认识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U （通常
16、把给定的集合作为全集）对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A高一数学集合知识点集- 8 -相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 CUA，即 CUA=x|xU，且xA其图形表示如图所示的 Venn 图 【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法【命题方向】通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现四、全集及其运算【知识点的认识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集
17、合为全集，通常记作 U （通常把给定的集合作为全集）全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的例如1，2；R；Q 等等【解题方法点拨】注意审题，可以借助数轴韦恩图解答【命题方向】本考点属于理解，常出现的类型有直接求出全集，利用全集求解子集的个数，集合在参数的范围等问题，难度属于容易题五、交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律 AB=BA，AB=BA 集合结合律 （AB）C=A（BC） ， （AB）C=A（BC） 集合分配律 A（BC）=（AB）（AC） ，A（BC）=（AB）（AC） 集合的摩根律 Cu（AB）=CuACuB，Cu（AB）=CuACuB 集合吸收律 A（AB
18、）=A，A（AB）=A 集合求补律 ACuA=U，ACuA=【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题高一数学集合知识点集- 9 -六、Venn 图表达集合的关系及运算【知识点的认识】用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn 图（韦恩图） 集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用 Venn 图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系运算公式：card（AB）=card（A）+car
19、d（B）-card（AB）的推广形式：card（ABC）=card（A）+card（B）+card（C）-card（AB）-card（BC）-card（AC）+card（ABC） ，或利用 Venn 图解决公式不易记住，用 Venn 图来解决比较简洁、直观、明了【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用 Venn 图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念Venn 图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来【命题方向】一般情况涉及 Venn 图的交集、并集、补集的简单运算，也可以与信息迁移，应用性开放问题也可以联系实际命题
