1、阶段复习课 第 三 章,【答案速填】 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等; 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧; 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半;同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径; 圆内接四边形的对角互补;,同一直线上的三个点; dr; dr; 过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等;,主题1 垂径定理及其应用 【主题训练1】(2014绍兴中考)把球放在 长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其主 视图如图,O与矩形ABCD的边BC,AD分别相 切和相交(E
2、,F是交点).已知EF=CD=8,则O 的半径为 .,【自主解答】过点O作OGEF,垂足为G,连接OF, 所以FG= EF=4,在RtFGO中,根据勾股定理得:OG2+FG2=OF2,设半径为x,则(8-x)2+42=x2,解得x=5. 答案:5,【主题升华】 1.垂径定理的基础是圆的对称性,它是计算线段的长度、证明线段相等的依据,同时也是证明弧相等的依据. 2.应用垂径定理时,辅助线的作法:利用半径、弦长的一半、弦心距构造直角三角形,结合勾股定理进行有关的计算与证明.,1.(2014常德中考)如图所示,AB为O的直径,CDAB,若AB=10,CD=8,则圆心O到弦CD的距离为 .,【解析】连
3、接OC,设AB与CD交于H点, CDAB,AB=10,AB为O的直径,CD=8,OHCD,CH=HD=4,OC=5, OH=3. 答案:3,2.(2014大庆中考)在半径为2的圆中,弦AC长为1,M为AC的中点,过M点最长的弦为BD,则四边形ABCD的面积为 .,【解析】如图，因为AM=CM,BD是直径， 所以ACBD，所以S四边形ABCD=SABD+ SCBD= 答案：2,3.(2013盐城中考)如图,将O沿弦AB折叠,使 经过圆心O, 则OAB= .,【解析】过点O作OCAB于点D，交O于点C， 将O沿弦AB折叠，使 经过圆心O， OD= OC，OD= OA， OCAB，OAB=30 答案
4、：30,【变式训练】(2013宁夏中考)如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为 cm.,【解析】过点O作ODAB于点D，连接OA. 根据题意，得OD OA1 cm， 在RtADO中，由勾股定理， 得AD cm，根据垂径定理，得AB2 cm. 答案：2,4.(2014南通中考)如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,点M在O上,MD恰好经过圆心O,连接MB. (1)若CD=16,BE=4,求O的直径. (2)若M=D,求D的度数.,【解析】(1)AB是O的直径,弦CDAB,CD=16, DE= CD=8. BE=4,OE=OB-BE=OD-4. 在RtOED中
5、,OE2+ED2=OD2, (OD-4)2+82=OD2,解得OD=10. O的直径是20.,(2)弦CDAB,OED=90. EOD+D=90. M=D,EOD=2M, BOD+D=2M+D=90.D=30.,主题2 圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【主题训练2】(2013青海中考)如图,在O中直径CD垂直于弦AB,垂足为E,若AOD=52,则DCB= .,【自主解答】CD是直径，CDAB，DCB AOD 5226 答案：26,【备选例题】(2013遵义中考)如图,OC是O的半径,AB是弦,且OCAB,点P在O上,APC=26,则BOC= .,【解析】OC是O的半径，AB是弦，且O
6、CAB，BOC=2APC=226=52 答案：52,【主题升华】 1.圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半,是计算角度的值和证明角之间的关系的依据.直径所对的圆周角等于90的性质,常常与直角三角形的勾股定理联系. 2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等. 3.涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一.,1.(2014温州中考)如图，已知点A，B，C在O上， 为优 弧，下列选项中与AOB相等的是( )A.2C B.4B C.4A D.B+C 【解析】选A.同弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半.,2.(2014龙东
7、中考)直径为10cm的O中,弦AB=5cm,则弦AB所对的圆周角是 .,【解析】如图所示,OA=OB=AB=5cm,故AOB =60,则弦AB所对的弧为优弧AB时所对的 圆周角为150,当AB所对的弧为劣弧AB时, 其所对的圆周角为30. 答案:150或30,3.(2014株洲中考)如图,点A,B,C都在圆O上,如果AOB+ ACB=84,那么ACB的大小是 .,【解析】根据圆心角与圆周角的关系可知,AOB=2ACB, 又AOB+ACB=84,2ACB+ACB=84, 解得ACB=28. 答案:28,4.(2014黔西南州中考)如图,AB是O的直径,AB=15,AC=9,则tanADC= .,
8、【解析】AB为O直径， ACB=90，答案：,5.(2014吉林中考)如图,OB是O的半径,弦AB=OB,直径CDAB.若点P是线段OD上的动点,连接PA,则PAB的度数可以是 (写出一个即可).,【解析】当点P与点O重合时,PAB=OAB=60; 当点P与点D重合时,连接OA,则OAB=60,OA=OD, ODA=OAD=15,PAB=DAB=75,当点P在线段OD上移动时,60PAB75. 答案:70(答案不唯一),6.(2014无锡中考)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上的两点,且ODBC,OD与AC交于点E. (1)若B=70,求CAD的度数. (2)若AB=4,AC=3,求D
9、E的长.,【解析】(1)AB是半圆O的直径，ACB=90， 又ODBC，AEO=90， 即OEAC，CAB=90-B=90-70=20 OA=OD，DAO=ADO= CAD=DAO-CAB=55-20=35.,(2)在直角ABC中， OEAC，AE=EC， 又OA=OB，,主题3 直线和圆的位置关系及切线有关定理 【主题训练3】(2014南充中考)如图,已知AB是O的直径,BP是O的弦,弦CDAB于点F,交BP于点G,E在DC的延长线上, EP=EG,(1)求证:直线EP为O的切线. (2)点P在劣弧AC上运动,其他条件不变,若BG2=BFBO.试证明BG=PG. (3)在满足(2)的条件下,
10、已知O的半径为3,sinB= 求弦CD的长.,【自主解答】(1)连接OP, EP=EG,EPG=EGP, 又EGP=BGF,EPG=BGF.OP=OB, OPB=OBP,CDAB, BFG=BGF+OBP=90, EPG+OPB=90,即OPEP, 直线EP为O的切线.,(2)如图,连接OG, BG2=BFBO, BFGBGO, BGO=BFG=90,BG=PG.,(3)如图，连接AC,BC,OG，由(2)得GBO+BGF=OGF+BGF=90， B=OGF， sinOGF= OF=1， BF=BO-OF=3-1=2，FA=OF+OA=1+3=4，,在RtBCA中， CF2=BFFA， CD=
11、2CF=,【主题升华】 1.三种判别方法:(1)根据定义观察直线与圆公共点的个数, (2)由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断,(3)应用切线的判定定理. 2.两种证明思路:(1)有公共点,则连圆心和公共点,证明垂直;(2)没有公共点,则作垂直,证明垂线段长度与半径相等.,3.对于切线长定理,应明确以下五点: (1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等. (2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径. (3)经过圆外一点引圆的两条切线,连接两个切点可得到一个等腰三角形. (4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补. (5)圆外一点与圆心的连线,平分过这
12、点向圆引的两条切线所夹的角.,1.(2014哈尔滨中考)如图,AB是O的直径,AC是O的切线,连接OC交O于点D,连接BD,C=40.则ABD的度数是( )A.30 B.25 C.20 D.15,【解析】选B.AC是O的切线,OAC=90, C=40,AOC=50, OB=OD, ABD=BDO, ABD+BDO=AOC, ABD=25.,2.(2013杭州中考)在一个圆中,给出下列命题,其中正确的 是( ) A.若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径,则这两条直线不可能垂直 B.若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径,则这两条直线与圆一定有4个公共点 C.若两条弦所在直线不平行,则这两条弦可能在
13、圆内有公共点 D.若两条弦平行,则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径,【解析】选C. A:如图 则A不正确; B:如图 则B不正确; C:如图 则C正确; D:如图 则D不正确.,3.(2014温州中考)如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上 一点，且AE= AB，O经过点E，与边CD所在直线相切于点G (GEB为锐角)，与边AB所在直线相交于另一点F，且EGEF = 2.当边AD或BC所在的直线与O相切时，AB的长是 _.,【解析】连接GO并延长,交EF于点H,连接GF. O经过点E,与边CD所在直线相切于点G, GHCD, 又四边形ABCD为矩形,CDAB, GHAB,EH=FH,
14、 EGEH= 1, 设EH的长为x,则EG= x, 根据勾股定理得( x)2=x2+82,解得x=4.连接OE,设圆的半径为r, 则有r2=(8-r)2+42,解得r=5, 若AD所在的直线与O相切时,AH=r=5, AE=1,AB=4; 当BC所在的直线与O相切时,BE=9,则AE=3, AB=12. 答案:4或12,4.(2014青岛中考)如图,AB是O的直径,BD,CD分别是过 O上点B,C的切线,且BDC=110.连接AC,则A的度数是.,【解析】连接OC, BD,CD分别是过O上点B,C的切线, OCCD,OBBD, OCD=OBD=90, BDC=110, BOC=360-OCD-
15、BDC-OBD=70, A= BOC=35. 答案:35,5.(2014德州中考)如图,O的直径AB为10cm,弦BC为6cm,D,E分别是ACB的平分线与O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE. (1)求AC,AD的长. (2)试判断直线PC与O的位置关系,并说明理由.,【解析】(1)连接BD，因为AB是直径， 所以ACB=ADB=90， 在RtABC中， 因为CD平分ACB，所以 所以AD=BD， 在RtABD中，AD2+BD2=AB2，,(2)直线PC与O相切. 理由：连接OC，因为OC=OA，所以CAO=OCA， 因为PC=PE，所以PCE=PEC， 因为PEC=CAE+A
16、CE， 所以PCB+ECB=CAE+ACE， 因为CD平分ACB，所以ACE=ECB， 所以PCB=CAE，,所以PCB=ACO，因为ACB=90， 所以OCP=OCB+PCB=ACO+OCB=ACB=90， 所以OCPC，所以直线PC与O相切.,主题4 与圆相关的计算 【主题训练4】(2014怀化中考)如图，E是 长方形ABCD的边AB上的点，EFDE交BC于点F. (1)求证：ADEBEF. (2)设H是ED上一点，以EH为直径作O，DF与O相切于点G， 若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积(结果保留到小数点后面 第一位， 1.73，3.14),【自主解答】(1)四边形ABCD是矩形,
17、A=B=90. EFDE,DEF=90. AED=90-BEF=EFB. A=B,AED=EFB, ADEBEF.,(2)DF与O相切于点G， OGDG DGO=90 DH=OH=OG， sinODG= ODG=30 GOE=120 S扇形OEG= =3,在RtDGO中， cosODG= DG= 在RtDEF中，,S阴影=SDEF-SDGO-S扇形OEG91.73-33.14=6.156.2. 图中阴影部分的面积约为6.2,【主题升华】阴影部分面积的求值技巧 求阴影部分面积,通常是根据图形的特点,将其分解、转化为规则图形求解. 1.直接法 当已知图形为熟知的基本图形时,先求出适合该图形的面积计
18、算公式中某些线段、角的大小,然后直接代入公式进行计算.,2.和差法 当图形比较复杂时,我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算. 3.割补法 把不规则的图形割补成规则图形,然后求面积.,4.等积变形法 把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形,即可找出与它面积相等的特殊图形,从而求出阴影部分面积. 5.平移法 把图形做适当的平移,然后再计算面积.,1.(2014重庆中考)如图，菱形ABCD的对 角线AC，BD相交于点O，AC8，BD6， 以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分 的面积为( ),【解析】选D.菱形ABCD中，AC=8，BD=6，,2.(2014南充中考)如
19、图,两圆圆心相同,大圆的弦AB与小圆相切,AB=8,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留),【解析】如图,设切点为C,连接OA,OC,则 OCAB,AC=4, 阴影部分的面积为OA2-OC2= (OA2-OC2)=AC2=16. 答案:16,3.(2014河北中考)如图,将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形.则S扇形= cm2.,【解析】由题意可知扇形的弧长为l=4cm, 所以S扇形= lr= 42=4(cm2). 答案:4,4.(2014昆明中考)如图,在ABC中,ABC=90,D是边AC上的一点,连接BD,使A=21,E是BC上的一点,以BE为直径的O经过点D. (1)求证:AC是O的切线. (2)若A=60,O的半径为2,求阴 影部分的面积.(结果保留根号和),【解析】(1)方法一:连接OD, 在O中,DOC=21, 又A=21, DOC=A,ABC=90, DOC+C=A+C=90, ODC=90, 点D在圆上,OD是半径,ODAC, AC是O的切线.,方法二:连接OD, 在O中,DOC=21, 又A=21,DOC=A, 在CDO和CBA中,CDOCBA, CDO=CBA=90, 点D在圆上,OD是半径,ODAC, AC是O的切线.,(2)A=60， DOC=A=60， OD=2， 在RtODC中，tan 60= CD=,(A),(B),
