1、平面直角坐标系一. 本周教学内容：平面直角坐标系【教学目标】1. 了解平面直角坐标系的概念，知道平面上的点与有序实数对一一对应。2. 能画出平面直角坐标系，写出平面内点的坐标，并能根据点的坐标找到点。3. 了解平移公式及轴反射公式，能写出在平移或轴反射下点的坐标。4. 运用数形结合的方法研究解决数学问题，提高数学思维能力，增强应用数字的意识。二. 重点、难点：1. 重点：认识并画出平面直角坐标系；建立适当的直角坐标系，描述物体的位置，能根据点的位置写出坐标，根据坐标描出点的位置。2. 难点：根据具体问题建立合适的平面直角坐标系，确定点的位置或描述点的坐标。三. 教学知识要点：1. 平面直角坐标
2、系：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，这样就组成了平面直角坐标系。说明：一般把一条画成水平的，取向右的方向为正方向，称它为 x 轴或横轴。一条画成铅直的且取向上的方向为正方向，称它为 y 轴或纵轴。2. 坐标轴上的点及各种对称点的坐标特征。（1）坐标轴上的点的坐标特征x 轴上的点，纵坐标为 0，可记为（x，0）y 轴上的点，横坐标为 0，可记为（0，y）原点 O 的坐标为（0，0）（2）对称点的坐标特征点 （ ， ） 在 轴 反 射 下 的 像 点 的 坐 标 为 （ ， ）PabxP1ab点 （ ， ） 在 轴 反 射 下 的 像 点 的 坐 标 为 （ ， ）y2点 （ ， ） 关
3、 于 原 点 对 称 的 点 的 坐 标 为 （ ， ）a 3a（3）平行于坐标轴的直线的坐标特征平行于 x 轴的直线上的任意两点，纵坐标相同。平行于 y 轴的直线上的任意两点，横坐标相同。3. 坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系有序实数对（x，y）与平面内的点构成一一对应的关系。4. 坐标平移公式若 M 点的坐标为（x，y） ，将 M 点平移到 M点的坐标为（x，y） ，则xayb其中，当 a0 时，M 点向右平移 a 个单位到 M当 a0 时，M 点向左平移|a|个单位到 M当 b0 时，M 点向上平移 b 个单位到 M当 b0 时，M 点向下平移|b|个单位到 M【典型例题】例 1
4、. 已知两点 A（0，2） ，B（4，1） ，点 P 是 x 轴上一点，求 PAPB 的最小值。解：如图 1，作 B 点关于 x 轴的对称点 B，连 AB，交 x 轴于点 P，又作 BCy 轴于C图 1由平面几何知识知，这时 PAPB 最小，且等于 AB的长度B 与 B关于 x 轴对称B的坐标为（4，-1）在 中 ， ，RtABCOCB 34故 2245PAPB 的最小值为 5说明：若在 RtABC 中，两直角边长为 a，b，斜边长为 c，则有 c2a 2b 2。例 2. 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A、C 坐标分别为 A（-2，0） ，C（0， 3） ，在坐标平面 xOy 内，是否存在
5、点 M，以 AC 为等腰ACM 的一边，且底角为 30，如果存在，请直接写出符合条件的点 M 的坐标，如果不存在，请说明理由。解：如图 2图 2 ，|OAC23 42（1）以 AC 为底时，|AM|MC|，令 M 的坐标为（0，y）或（-2，y）则 或yy222233 或4 点 的 坐 标 为 （ ， ） 或 （ ， ）M03243（ ） 以 为 腰 时 ， 点 的 坐 标 为 （ ， ） ， 也 可 为 （ ， ）20243AC故满足条件的 M 点的坐标为：（ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ）0324323说明：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则两点
6、 A、B 之间的距离公式为：d2例 3. 等腰直角ABC 的直角顶点 C 在 y 轴上，斜边 AB 在 x 轴上，且点 A 在点 B 的左侧 ， 直 角 边 ， 试 写 出 顶 点 、 、 的 坐 标 。C=B解：由题意知，C 点既可能在 y 轴的正半轴，也可能在 y 轴的负半轴，由此我们可作出草图，C 1、C 2分别表示两个点 C 的可能位置（见图 3） 。图 3 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且ACBAC1 12 21 于O1 为 等 腰 的 边 的 垂 直 平 分 线CRtABC1A、B 关于点 O 对称又A 点在 B 点左侧 （ ， ） ， （ ， ）100 CA2 （ ， ）1
7、根据题意及图形，C 1与 C2关于 O 对称 （ ， ）20即点 C 的坐标为（0，-1）或（0，1）例 4. 如图 4 所示，在平面直角坐标系中，A（-3，4） ，B（-1，-2） ，点 O 为坐标原点，点 C、D 分别是点 A、B 关于 y 轴的轴反射的像，求图中阴影部分的面积。图 4解：连结 AC、BD，分别与 y 轴相交于点 E、F方法一：因为点 A、C 关于 y 轴对称，且 A（-3，4）点 C 的坐标为（3，4） ，且 AC6点 B、D 关于 y 轴对称，且 B（-1，-2）点 D 的坐标为（1，-2） ，且 BD2又根据轴反射的性质可知：AC、BD 都与 y 轴垂直，则垂足 E、
8、F 的坐标分别是（0，4） ， （0，-2）EF6则 梯 形 的 面 积ABC1262SOO124DFB 阴 影 部 分 梯 形 SABCOBD210方法二：点 A 与 C，点 B 与 D 都关于 y 轴对称ACy 轴，BDy 轴又A（-3，4） ，B（-1，-2）点 E、F 的坐标分别为（0，4） ， （0，-2）AE3，BF1，且 EF6 梯 形SABF2132OOE 46BF1 梯 形SSAOBFEAOBF25又 根 据 轴 反 射 的 性 质 可 知 ： SCOD 阴 影 部 分 AOB2510【模拟试题】 （答题时间：25 分钟）1. 填空题。（1）已知点 A（-3，2） ，它与 x
9、 轴的距离为_，它与 y 轴的距离为_。（2）已知点 P（x，y） ，如果 y20，那么点 P 的位置在_。（3）在直角坐标系中有点 A 在原点 O 北偏东 30方向上，且距离原点 6 个单位长度，则点 A 的坐标为_。2. 选择题。（1）若点 Pm31， 在直角坐标系的 x 轴上，则 P 点坐标为（ ）A. （0，-2） B. （2，0）C. （4，0） D. （0，-4）（2）在直角坐标系中，适合条件 y58， 的点 P（x，y）的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 83. 甲船在某港口东 103海里，北 10 海里，乙船在同港口西 5 海里，北 3海里，建立直角坐标系，求出甲
10、、乙两船之间的距离。4. 在平面直角坐标系中，有点 P（2，1） ，Q（2，5） ，在 y 轴上取一点 R（0，m） ，当 m为何值时， RQ有最小值？5. 请设计几个点的坐标，再描出这些点，用线段依次连结这些点，得到一个“中”字。6. 在直角坐标系中，三角形三个顶点坐标分别为 A（1，0） ，C（92，3） ，B（1，7） ，求ABC 关于 y 轴的轴反射下的 ABC的面积。【试题答案】1. 填空题。（1）2，3（2）坐标原点上（3） ，2. 选择题。（1）B （2）C3. 解：以某港口为坐标原点，东为 x 轴的正方向，北为 y 轴的正方向，建立直角坐标系，则甲船的坐标为 031， ，乙船的
11、坐标为 53，因此两船的距离为：150122（海里）两船的距离为 0海里4. 解：作点 Q 关于 y 轴的对称点 QQ（2，5）Q（-2，5） ，RQRQ连结 PQ交 y 轴于 R由平面几何知识知，这时 RPPQ最小且等于 PQRQRP 最小值为 PQ ， AQO23R（0，3） m5. 如 A（-1，1） ，B（-1，0） ，C（1，0） ，D（1，1） ，E（0，32） ，F（0，32）6. 解：A（1，0） ，C（92，3） ，B（1，7）A、B、C 关于 y 轴的轴反射点的坐标分别为：ACBBD .（ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ，109231775 SAC .121273
12、49【励志故事】一只破水桶的启示一位农夫有两只水桶，他每天就用一根扁担挑着两只水桶去河边汲水。两只水桶中有一只有一道裂缝，因此每次到家时这只水桶总是会漏得只剩下半桶水，而另一只桶却总是满满的。就这样，两年以来，日复一日，农夫天天只能从河里担回家一桶半水。完整无缺的桶很为自己的完美无缺得意非凡，而有裂缝的桶自然为自己的缺陷和不能胜任工作而羞愧。经过两年的失败之后，一天在河边，有裂缝的桶终于鼓起勇气向主人开了口：“我觉得很惭愧，因为我这边有裂缝，一路上漏水，只能担半桶水到家。 ”农夫回答它说：“你注意到了吗?在你那一侧的路沿上开满了花，而另外的一侧却没有花?我从一开始就知道你有裂缝，于是在你的那一侧的路沿撒了花籽。我们每天担水回家的路上，你就给它们浇水。两年了，我经常从这路边采摘鲜花来装扮我的餐桌。如果不是因为你的所谓的缺陷，我怎么会有美丽的鲜花装扮我的家呢?”我们每个人都好比那只有裂缝的桶，各自都具有这样或那样的不足和缺点。倘若我们怀着一颗包容的心，懂得发现对方的长处，并且能够扬长避短，我们的生活一定会变得更加轻松愉快和丰富多彩。
