1、12012 各省数学竞赛汇集2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70 分）1、当 时，函数 的最大值为_18_.3,x3()|fx2、在 中，已知 则 _4_.ABC12,4,BAC3、从集合 中随机选取 3 个不同的数，这 3 个数可以构成等差数列的概率,4567,8为_ _.104、已知 是实数，方程 的一个实根是 （ 是虚部单位） ，a2(4)0xiaibi则 的值为_ _.|bi5、在平面直角坐标系 中，双曲线 的右焦点为 ，一条过原点xOy:C214xyF且倾斜角为锐角的直线 与双曲线 交于 两点.若 的面积为 ，则直l,AB83线的斜率为_ _.126、已知 是正实数
2、， 的取值范围是_ _.algak1,)7、在四面体 中， , , 该四面体的ABCD5ADB3C4D体积为_ _.538、已知等差数列 和等比数列 满足：nanb12,7,ab则 _ _.（ ）341,ab3n*nN9、将 这 个数排成一列，使任意连续 个数的和为 的倍数，278571， ， 43则这样的排列有_144_种.10、三角形的周长为 ，三边 均为整数，且 ，则满足条件的三元数组3,abcabc的个数为_24_.(,)abc二、解答题（本题 80 分，每题 20 分）11、在 中，角 对应的边分别为 ，证明：ABC,abc2（1） cosbCBa（2）2sinAac12、已知 为实
3、数， ，函数 .若,ab2()|ln|(0)afxbx.(1),()ln1efef（1）求实数 ；,ab（2）求函数 的单调区间；()fx（3）若实数 满足 ，求证：,cd,1c()fcd313、如图，半径为 的圆 上有一定点 为圆 上的动点.在射线1OM上有一动点 , .线段 交圆 于另一点 ，OMB,1AABOC为线段的 中点.求线段 长的取值范围.DCD414、设是 正整数， 是方程 的两个根.证明：存在,abcd,ab2()0xdc边长是整数且面积为 的直角三角形.52012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设 8 分
4、和 0 分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ） 1已知集合 N，且 N ，则 1 baxBaxA,|,| BA1ba2已知正项等比数列 的公比 ，且 成等差数列，则n1q542, 963741353函数 的值域为 741)(2xxf 60,4已知 ， ，则sini 1)cos(in2)cos(in32)(2cos135已知数列 满足： 为正整数，na16,1321为 奇 数为 偶 数nnnaa如果 ，则 5 29321a16在 中，角 的对边长 满足 ，且 ，ABC,cb
5、a,b2AC则 sin747在 中， ， 设 是 的内心，若 ，ABC23ACOABCACqBpO则 的值为 qp328设 是方程 的三个根，则 的值为 5 321,x013x 53251x二、解答题（本大题满分 56 分，第 9 题 16 分，第 10 题 20 分，第 11 题 20 分）9已知正项数列 满足 且 ，na 212114nnnnnaaa，求 的通项公式28an解 在已知等式两边同时除以 ，得 ，1na3142nnaa所以 -214()nna-4 分令 ,则 ，即数列 是以 4 为首项,4 为公比的等比1nnabnbb4,11nb1数列，所以 . -n41-8 分所以 ,即 .
6、 -nna1nnnaa1)4(21-12 分于是，当 时,1 222112 1)4()4()4( nnnnn aaa，112)(kk7因此, -.2,1)4(,121nank-16 分10已知正实数 满足 ，且 ，求 的最小值ba,1233)1(bamba解 令 ， ，则cosin0-32233 )1sin(co1)sin)si(co)1i( m-5 分令 ，则 ，且 -sincox 2,()4si(2x 2sincox-10 分于是 -21)(3)1(2)()1(23)1(32 xxxxm-15 分因为函数 在 上单调递减，所以 )()xf ,( )1()(fmf因此， 的最小值为 -m24
7、3f-20 分11设 ，其中 且 若在区间 上)3(log)2(log)( axaxf 01a4,3a恒成立，求 的取值范围1)(xf解 2225()log(56)log()4aafxx由 得 ，由题意知 ，故 ，从而,032x332，故函数 在区间 上单调递增. 5()()a5()4agx4,3a-5 分（1）若 ，则 在区间 上单调递减，所以 在区间10a)(xf ,3a)(xf上的最大值为 4,3a )92(logfa在区间 上不等式 恒成立，等价于不等式 成立，,a1)xf 1)92(logaa8从而 ，解得 或 aa92275275a结合 得 -10-10 分（2）若 ，则 在区间
8、上单调递增，所以 在区间23a)(xf 4,3a)(xf上的最大值为 .4,3a )162(log4afa在区间 上不等式 恒成立，等价于不等式 成立，, )xf 1)62(logaa从而 ，即 ，解得 aa16201632a413413易知 ，所以不符合 -34-15 分综上可知： 的取值范围为 -a(0,1)-20 分2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分。直接将答案写在横线上
9、。 ）1函数 的值域为_741)(2xxf2已知 ， ，则sini3 1)cos(in2)cos(in32_)(cos3已知数列 满足： 为正整数， 如果 ，na1,1321为 奇 数为 偶 数nnnaa 29321a则 1a4设集合 ， 是 的子集，且满足 ，12,3,S,321aAS321a，那么满足条件的子集 的个数为 523a5过原点 的直线 与椭圆 ： 交于 两点， 是椭圆 上OlC)0(2byaxNM,PC异于 的任一点若直线 的斜率之积为 ，则椭圆 的离心率为NM, PNM, 31C_96在 中， ， 设 是 的内心，若 ，ABC23ACOABCACqBpO则 的值为_qp7在长
10、方体 中，已知 ，则长方体的体积最1D p11,2,大时， 为_p8设 表示不超过 的最大整数，则 xx2011kk二、解答题（本大题满分 56 分，第 9 题 16 分，第 10 题 20 分，第 11 题 20 分）9已知正项数列 满足 且 ，na 2121143nnnnnaaa，求 的通项公式28an10已知正实数 满足 ，且 ，求 的取值范围ba,1233)1(bamba1011已知点 为抛物线 内一定点，过 作斜率分别为 的两条),(nmE)0(2pxyE21,k直线交抛物线于 ，且 分别是线段 的中点DCBANM, CDAB,（1）当 且 时，求 的面积的最小值；0121kE（2）若 （ 为常数） ，证明：直线 过定点1k,0MN2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ） 1函数 的值域为 741)(2xxf 60,2已知 ， ，则sini3 1)cos(in2)cos(in32)(2cos
