1、2011 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(全国卷新课标)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 M0，1，2，3，4，N1，3，5 ，PMN，则 P 的子集共有( ) A2 个 B4 个 C6 个 D8 个2复数 ( )5i-A2i B12iC2i D12i3下列函数中，既是偶函数又在(0，) 单调递增的函数是 ( )Ayx 3 By |x| 1Cy x21 Dy2 |x |4椭圆 的离心率为( )68A B 32C D5执行下面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是( )A120
2、B720 C1 440 D5 0406有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A B C D11223347已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y2x 上，则 cos2( )A B 455C D348在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )(正视图)(俯视图)9已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|12 ，P 为 C 的准线上一点，则ABP 的面积为( )A18 B24 C3
3、6 D4810在下列区间中，函数 f(x)e x4x3 的零点所在的区间为( )A( ，0) B(0， )141C( ， ) D( ， )2211设函数 f(x)sin(2x )cos(2x )，则( )44Ayf(x) 在(0， )单调递增，其图像关于直线 x 对称By f(x)在(0， )单调递增，其图像关于直线 x 对称2Cy f(x)在(0， )单调递减，其图像关于直线 x 对称4Dyf(x) 在(0， )单调递减，其图像关于直线 x 对称212已知函数 yf( x)的周期为 2，当 x1，1时 f(x)x 2，那么函数 yf(x) 的图像与函数 y|lg x |的图像的交点共有 (
4、)A10 个 B9 个 C8 个 D1 个第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考 题，每个 试题考生都必须做答第 22 题第 24 题为选考 题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 ab 与向量 kab 垂直，则 k_.14若变量 x，y 满足约束条件 则 zx 2y 的最小值为_3296xy15ABC 中，B120，AC7，AB5，则ABC 的面积为 _16已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较
5、小者的高与体积较大者的高1的比值为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等比数列a n中，a 1 ，公比 q .31(1)Sn为a n的前 n 项和，证明： ；2nnaS(2)设 bnlog 3a1log 3a2log 3an，求数列b n的通项公式18如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB 60，AB 2AD，PD底面 ABCD(1)证明：PABD；(2)设 PDAD1，求棱锥 DPBC 的高19某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品现用两种新配方(分别称为 A 配方和
6、B 配方) 做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组 90，94) 94，98) 98，102) 102，106) 106，110频数 8 20 42 22 8B 配方的频数分布表指标值分组 90，94) 94，98) 98，102) 102，106) 106，110频数 4 12 42 32 10(1)分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位：元)与其质量指标值 t 的关系式为2,9104,tyt估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率，并求
7、用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润20在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 yx 26x1 与坐标轴的交点都在圆 C 上(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 与直线 xy a0 交于 A，B 两点，且 OAOB，求 a 的值21已知函数 ，曲线 yf (x)在点(1，f(1)处的切线方程为ln()1bfxx2y30.(1)求 a，b 的值；(2)证明：当 x0，且 x1 时， .ln()1fx请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时请写清题号22选修 41：几何证明选讲如图，D，E 分别为ABC 的边 AB，AC 上的点，且不与AB
8、C 的顶点重合已知 AE的长为 m，AC 的长为 n，AD ，AB 的长是关于 x 的方程 x214xmn0 的两个根(1)证明：C，B ，D ，E 四点共圆；(2)若A90，且 m4，n6，求 C，B，D，E 所在圆的半径23选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数)2cosinxayM 是 C1 上的动点，P 点满足 ，P 点的轨迹为曲线 C2.2OM(1)求 C2 的方程；(2)在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1 的异于极点的3交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求|AB|.24选修 45：不等
9、式选讲设函数 f(x)|xa|3x，其中 a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)3x2 的解集；(2)若不等式 f(x)0 的解集为 x|x1，求 a 的值参考答案1B2C 3 B 4D 5 B 6A 7B 8D 9C 10C 11D 12A 13答案：114答案：615答案： 416答案： 317解：(1)因为 ， ，所以 .1()3nna11()332nnnS12nnaS(2) .31323 ()logllog()n nba 所以b n的通项公式为 .(1)nb18解：(1)因为DAB 60，AB2AD，由余弦定理得 .3BDA从而 BD2AD 2AB 2，故 BDAD 又 PD底面
10、 ABCD，可得 BDPD 所以 BD平面 PAD故 PA BD(2)如图，作 DEPB，垂足为 E.已知 PD底面 ABCD，则 PDBC 由(1)知 BDAD，又 BCAD，所以 BCBD 故 BC平面 PBD，BCDE .则 DE平面 PBC 由题设知 PD1，则 BD ，PB2.3根据 DEPBPDBD，得 DE ，即棱 锥 D-PBC 的高为 .323219解：(1)由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 ，所以80.31用 A 配方生产的产品的优质 品率的估计值为 0.3.由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 ，所以用 B 配方30.42生产的产品的优
11、质品率的估计值为 0.42.(2)由条件知，用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 当且仅当其质量指标值 t94，由试验结果知，质量指标值 t94 的频率为 0.96.所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0的概率估计值为 0.96.用 B 配方生产的产品平均一件的利 润为 4(2) 5424242.68(元) 120解：(1)曲线 yx 26x 1 与 y 轴的交点为(0 ，1)，与 x 轴的交点为(3 ，0)，2(3 ，0)2故可设 C 的圆心为(3，t)，则有 ，解得 t1.2223()()tt则圆 C 的半径为 .2()t所以圆 C 的方程为(x3) 2( y1) 29.(2)设
12、 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：2039a消去 y，得到方程 2x2(2a 8)xa 22a10.由已知可得，判别式 5616a4a 20.因此 ，从而 x1x 24a， .1,2(8)56x 211ax由于 OAOB ，可得 x1x2y 1y20.又 y1x 1a，y 2x 2a，所以 2x1x2a(x 1x 2)a 20.由得 a1，满足 0，故 a1.21解：(1) .22(ln)bfxx由于直线 x2y 30 的斜率为 ，且过点(1，1)，故 即 解1(1)2f12ba得 1ab(2) 由(1)知 f(x) ，lnxx 1 1x所以 221(l)x考虑函数 (x
13、0) ，则 .()lnh 22(1)()(xxh所以当 x1 时，h( x)0.而 h(1)0，故当 x(0 ，1)时， h(x)0，可得 ；21()0hx当 x(1 ， )时，h(x) 0，可得 .21()从而当 x0，且 x1 时， ，即 .ln()fxln1fx22解：(1)连结 DE，根据题意在ADE 和ACB 中，ADAB mnAEAC，即 .ADECB又DAECAB，从而ADEACB 因此ADEACB 所以 C，B，D，E 四点共圆(2)m4，n6 时，方程 x214x mn 0 的两根为 x12，x 212.故 AD2，AB 12.取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过
14、G，F 作 AC，AB 的垂 线，两垂线相交于 H 点，连接 DH.因为 C，B，D，E 四点共 圆，所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH.由于A90 ，故 GHAB， HFAC 从而 HFAG 5，DF (122)5.12故 C，B，D，E 四点所在圆的半径 为 .523解：(1)设 P(x，y)，则由条件知 M( ， )x2y由于 M 点在 C1 上，所以 即cos,2in,ay4cos,inay从而 C2 的参数方程为 ( 为参数)4csi,xa(2)曲线 C1 的极坐标方程为 4sin ，曲 线 C2 的极坐标方程为 8sin .射线 与 C1 的交点 A 的极径为 ，31sin3射线 与 C2 的交点 B 的极径为 .28所以|AB| 2 1| .24解：(1)当 a1 时，f( x) 3x2 可化为|x1| 2.由此可得 x3 或 x1.故不等式 f(x)3x2 的解集为x|x 3 或 x1 (2)由 f(x)0 得 |xa| 3x0.此不等式化为不等式组 或030a即 或4xa2因为 a0，所以不等式组的解集 为 2ax由题设可得 ，故 a 2.12
