1、第 6 课时 空间两条直线的位置关系(1)教学过程一、 问题情境数学实验:研究问题导引 1(方法:学生用自己手中的笔作为两条直线摆一摆)二、 数学建构问题 1 回答问题导引 1 的问题?并观察,空间两条直线的位置关系有哪些?教室内有哪些直线的实例? 它们有什么位置关系?(学生探讨)归纳得空间两条直线的位置关系有以下三种:位置关系 共面情况 公共点个数相交直线 同一平面内 1平行直线 同一平面内 0异面直线 不同在任何一个平面内 0可以从两个方面,即是否有公共点和是否共面的角度加以分类, 加深认识.问题 2 问题导引 2 如何解决?(自然引出公理 4)在平面几何中,同一平面内的三条直线 a, b
2、, c,如果 ab 且 bc,那么 ac,这个性质在空间是否成立呢?观察下面的长方体和圆柱:(图 2) (图 3)归纳小结:公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示: ac.思考 经过直线外一点,有几条直线和这条直线平行 ?(1 条)(求证:过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.已知:点 Pa.求证:过点 P 和直线 a 平行的直线 b 有且仅有一条.证明 Pa, 点 P 和直线 a 确定平面 .在平面 内过点 P 作直线 b 与直线 a 平行(由平面几何知识).假设过点 P 还有一条直线 c 与直线 a 平行,则 ab, ac, bc,这与 b, c 共点 P 矛盾. 直
3、线 b 唯一. 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行)三、 数学运用【例 1】 (教材 P26 例 1)如图 4,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 E, F 分别是 AB, BC的中点.求证:EFA 1C1.(图 4)证明 连结 AC.在ABC 中,E, F 分别是 AB, BC 的中点,所以 EFAC.又因为 AA1BB1 且 AA1=BB1, BB1CC1 且 BB1=CC1,所以 AA1CC1 且 AA1=CC1,即四边形 AA1C1C 是平行四边形.所以 ACA1C1,从而 EFA1C1.(图 5)问题 1 在平面中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向
4、相同,那么这两个角相等.这一结论在空间成立吗?引导学生观察图 4 中的BEF 和 B1A1C1 的关系归纳:定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.(1) 要求画出图形并写出已知、求证.已知:如图 5 所示,BAC 和B 1A1C1 的边 ABA1B1, ACA1C1,且射线 AB 与 A1B1 同向,射线AC 与 A1C1 同向 ,求证: BAC=B1A1C1.对于BAC 和B 1A1C1 在同一个平面内的情形, 在初中几何中已经证明 ,下面证明两个角不在同一平面内的情形.分别在BAC 的两边和B 1A1C1 的两边上截取线段 AD=A1D1 和 AE=
5、A1E1.因为,AD A1D1,所以 AA1D1D 是平行四边形,所以 AA1DD1.同理可得 AA1EE1,所以 DD1E1E是平行四边形.在ADE 和 A1D1E1 中,AD=A 1D1, AE=A1E1, DE=D1E1,于是ADE A1D1E1,所以BAC= B1A1C1.思考 如果BAC 和B 1A1C1 的边 ABA1B1, ACA1C1,且 AB, A1B1 方向相同, 而边 AD, A1D1方向相反,那么 BAC 和B 1A1C1 之间有何关系? 为什么?(引导学生用四支笔摆放,发现它们相等或互补)【例 2】 如图 6,空间四边形 ABCD 中,E, F, G, H 分别是 A
6、B, BC, CD, DA 的中点, 求证:四边形 EFGH 是平行四边形 .(图 6)证明 连结 BD. EH 是ABD 的中位线, EHBD, EH=BD.同理,FGBD, FG=BD. EHFG,且 EH=FG, 四边形 EFGH 为平行四边形.题后反思 证明两条直线平行的方法: 平行直线的定义:在同一平面内没有公共点的两直线是平行直线. 利用三角形中位线平行于底边这一性质. 利用公理 4. 利用平行四边形对边互相平行的性质.变式 如图 6 所示,已知 E, F 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB 与 BC 的中点,G , H 分别是CD 与 AD 上靠近点 D 的三等分点 ,求证:
7、 四边形 EFGH 是梯形.【例 3】 已知棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M , N 分别是棱 CD, AD 的中点.求证:(1) 四边形 MNA1C1 是梯形 .(2) DNM=D1A1C1.规范板书 证明 (1) 如图 7,连结 AC.在ACD 中,(图 7) M, N 分别是 CD, AD 的中点 , MN 是 DAC 的中位线, MNAC, MN=AC.由正方体的性质得:ACA 1C1, AC=A1C1. MNA1C1,且 MN=A1C1,即 MNA1C1, 四边形 MNA1C1 是梯形.(2) 由(1)可知 MNA1C1,又因为 NDA1D1, DNM 与D
8、1A1C1 相等或互补 .而DNM 与D 1A1C1 均是直角三角形的锐角, DNM=D1A1C1.*【例 4】 如图 8,已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上, 点 F 在 CC1上,且 AE=FC1=1,求证:E, B, F, D1 四点共面.(图 8)证明 在 DD1 上取一点 N,使得 DN=1,连结 CN, EN.显然四边形 CFD1N 是平行四边形,所以 D1FCN.同理四边形 DNEA 是平行四边形, 所以 ENAD,且 EN=AD.又 BCAD,且 AD=BC,所以ENBC, EN=BC,所以四边形 CNEB 是平行四边形,所以 CN
9、BE.所以 D1FBE,所以 E, B, F, D1 四点共面.四、 课堂练习1. 若空间两条直线 a, b 没有公共点 ,则其位置关系是 平行或异面 . 2. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 判断下列直线的位置关系.(1) 直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是 平行 . (2) 直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是 异面 . (3) 直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是 相交 . (4) 直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是 异面 . (第 2 题) (第 4 题)3. 已知 a, b, c 是三条直线, 若 a 与 b 异面,b 与 c 异面, 则
10、a 与 c 的位置关系是 平行或相交或异面 . 4. 如图,P 是ABC 所在平面外一点, 点 D, E 分别是 PAB 和 PBC 的重心,求证:DEAC, DE=AC.证明 连结 PD, PE,并延长分别交 AB, BC 于点 M, N. 点 D, E 分别是PAB, PBC 的重心, M, N 分别是 AB, BC 的中点.连结 MN,则 MNAC,且 MN=AC.在PMN 中, = , DEMN,且 DE=MN.由根据公理 4,得 DEAC,且 DE=MN=AC.五、 课堂小结1. 空间两条直线的位置关系.2. 公理 4 和等角定理.3. 公理 4 和等角定理都是将平面几何中的结论推广到空间;等角定理是通过构造全等三角形来证明的,这个过程就是一个平面化的过程 .
