1、趣题：内切圆与最大内接矩形看图，DEFG 为直角三角形 ABC 的内接矩形，三个内切圆的半径从小到大依次为 r1, r2 和 r3。证明：当内接矩形的面积达到最大时，r12 + r22 = r32。四个直角三角形 ABC, EDC, AEF, DBG 显然相似，内切圆半径与边长一样对应成比例。因此，我们可以把研究对象转换到任意一个对应边上。这里，我们重点观察四个三角形斜边长的关系。如果ABC 的三边 BC, AC, AB 长度分别为 a, b, c，那么对于某个相似比k，其余三个三角形的对应边长度如下：ABC a b cEDC ka kb kcAEF . . (1-k)bDBG . . (1-
2、k)a现在，我们要证明的是，当矩形 DEFG 面积达到最大时，有：(1-k)a2 + (1-k)b2 = (kc)2也即(1-k)2 * a2 + (1-k)2 * b2 = k2 * c2同时，我们还知道 a2 + b2 = c2。等式两边同时乘以 k2 后与上式相减，我们就得到：(1 - 2k) * (a2 + b2) = 0显然，只有 k=1/2 时上式才有可能成立。接着看，由DBG ABC，可知 DG/AC = BD/AB，因此 DG = (1-k)ab/c。另外，我们还知道 DE=kc，那么矩形 DEFG 的面积就可以这样表示：S = DG x DE = (1-k)k * abS 取最大等价于函数 f(k)=(1-k)k 达到最大值。这个函数是一个以 0 和 1为根的上下颠倒的抛物线，显然在 k=1/2 时达到最大值。
