1、安徽工业大学 本科毕业论文 第装订线数学与应用数学本科生毕业论文四维数据的图形表示指导老师： 侯为根学生姓名： 吴正山所在学院： 数理学院专业名称： 数学与应用数学班 级： 数 092班学 号： 099084130日 期： 2013 年 6月安徽工业大学 本科毕业论文 第装订线安徽工业大学毕业设计(论文)任务书课题名称 四维数据的图形表示学 院 数理学院专业班级 数学与应用数学系 092 班姓 名 吴正山学 号 099084130毕业设计(论文)的主要内容及要求：（1（掌握四维散乱数据的概念，即什么是四维散乱数据。（2）了解四维散乱数据在各方面的应用背景。（3）查阅资料怎样给出散乱数据求出等值
2、点，并且知道多种插值方法，学会编程实现等值面。（4）通过比较这些插值方法，了解这些插值方法的优点并发现每种方法的不足，最后改进使自己的方法得以优化，获取更好的效果。（5）最后得出研究结论，并且对该论文加以深化， 进行引申，了解 实际应用的方法与实现。（6）整理相关资料，完成毕业论文的写作。（7）对论文进行全面修改、完善，准备论文答辩。指导教师签字： 安徽工业大学 本科毕业论文 第装订线摘 要本论文从工程实际中引出, 由四变量离散数据图示等值曲面的问题, 提出了构造等值曲面的四维离散数据图形表示的几何生成方法, 在用计算机实现此生成方法的过程中, 从理论上延续了 Lorenson 和 Cline
3、 于 1987 年提出的 Marching Cubes( MC) 算法的思想，该算法适用于数据场密度较高的体数据，下面利用 MC算法的一些思想，再利用散乱数据拟合的模型，方法和理论得到所需的等值面。该方法可以有效地应用干计算机绘图和医学，地理学，气象学，热学等实际应用。本文先对给定区域进行六面体剖分，构造四维散乱数据节点，然后利用线性插值求出四维离散数据的等值点,如果等值点比较稀疏，则必须进行等值点加密处理。否则，再通过Kriging插值，Shepherd 插值，Multi-Quadric 等方法实现等值曲面的插值拟合，其中 Kriging插值关键是选择较为合适的变差函数模型，例如球面，指数，
4、高斯模型。最后通过评价方法比较各方法的优越性，得出所给问题的最佳求解模型，特别对于较密集的散乱数据效果最好。对于先任意给出散乱数据的情况，则必须进行预处理，最后按照如上方法即可。关键词：四维数据；等值点；等值面；Kriging 插值；Shepherd 插值；Multi-Quadric插值装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学毕业论文安徽工业大学 本科毕业论文 第装订线iAbstractThis paper was extracted from engineering fact, according to the four variables Scattered Data graphic is
5、osurface and some other questions, point out the way to construct isosurfaces four-dimentional scattered data graphic which express the geometry generation method, in the process to use computer to achieve the way of generation, followed on the idea which was mentioned by Lorenson and Cline in 1987
6、the MC algorithm in theory, this algorithm apply to the volume data with high data field density. The following are using the idea of MC algorithm and the models, methods and theories which fitting with scattered data to get the isosurface which is needed. This method can effectively applied to the
7、computer graphics, medicine, geography, meteorology ,thermal and some other practical application. This paper firstly give the Hexahedral Split of the given area, construct the four-dimentional scattered data node, then using the Linear interpolation to find the equivalent point of the scattered dat
8、a.If the equivalent point are quite sparse,we must deal with Encryption processing for them.Otherwise, then though the Kriging interpolation，Shepherd interpolation and Multi-Quadric and some other ways to achieve the fitting of isosurface, the key of Kriging interpolation is to choose the suitable V
9、ariogram model, such as Spherical, exponential, Gaussian model. In the end, though judging the superiority of all the methods to find out the best solving model, the effect is best especially for the intensive scattered data.For the case of giving random scattered data in advance,we should be take p
10、reprocessing and adapt the above methods.Keywords: Four-dimensional data;equivalent points; isosurface; Kriging interpolation; Shepherd interpolation装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学毕业论文安徽工业大学 本科毕业论文 第装订线ii目 录摘 要 .iAbstract .ii目 录 .iii1 绪论 .12 六面体网格划分 .32.1 “四维数据的图形表示”内涵 .32.2 “六面体网格划分”的原理及意义 .32.2.1 MC 算法的思想及引出
11、 .32.3“六面体网格划分”的方法 .32.3.1 构造四维散乱数据 .32.4 对于任意给定散乱数据情况的“六面体网格划分”方法 .32.4.1 “六面体网格划分”之后的节点预处理 .43 搜索和遍历算法 .54 散乱等值点的获取 .64.1 等值点的判定 .64.2 等值点的求解 .65 空间散乱数据的曲面拟合的模型、方法和实现 .85.1Kringing 方法的背景(全体方法） .85.1.1.Kringing 方法的理论基础 .85.1.2.从实验变差函数中找出理论变异函数及其参数 .105.1.3.Kringing 方法 .1155.2 Shepard 方法(局部方法) .1225
12、.3 Multi-Quadric 插值方法(属于径向基函数) .138,765.4 参数双三次样条曲面 .135.4.1 曲面模型 .135.4.2 曲面造型的要求 .145.4.3 曲面造型方法及显示 .145.4.4 双三次样条曲线函数 .145.4.5 参数双三次样条曲面 .1596 四维散乱数据图形表示的算例 .197 方法的比较与评价 .248 引申 .26结 论 .34致 谢 .37附件 .1装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学毕业论文安徽工业大学 本科毕业论文 第装订线01 绪论在科学研究和工程应用中, 通过测试或其它方法获得的离散数据, 经常是四个变量的数据。例如医学数据、
13、地震数据、气象数据、热流场等大部分都都是四维及以上的数据、由科学计算或实验得到的某一零、部件表面及内部的四维数据, 要求分析其应力场分布情况、人体内部组织的各种性能状态分析、零件表面及内部温度场分析等等, 都可以归纳为四维离散变量的处理问题。为了揭示这些离散数据所蕴含的规律性,有必要进行离散数据处理，通过图形表示是获取有用信息的最好方法。通常使用的概率统计方法直观性较差, 而通过三维空问图示四维离散数据的关系可以克服这个缺点, 它能十分方便地考察出所研究问题的变化规律。对给定的四维数据，前三维是空间坐标，第四维是有用的信息，比如为压力，温度，密度等，要求在空间绘制出等值曲面，如等温曲面，等压曲
14、面等，从其很有实用价值，如医学上肿瘤边界的数据灰度是相同的，这样就可以构造出肿瘤的形状了，前提是要有计算机图形学和曲面造型的相关知识 。3为了获取区域性的相对完整的四维散乱数据，需要应用空间数据差值、拟合方法。例如，在石油勘探周中，经常把地层的地质渗透率作为研究对象，从而可以判别诸如某地层是否可能蕴含石油等问题。也希望不仅采集油井附近的石油，在三级采油中，人们利用一些井灌水另一些井抽油的方法把石油赶出来。要分析地层中石油及水的流动过程就必须研究底层的地质渗透率，从而决定如何灌水与抽油的方案，渗透率这个对象可以用三元变量的函数表示，实际问题中通过打井取芯获取一些井位在某些深度的数据，要用数学方法
15、描述这个函数，井位一般来说不是网格型的，有的由于岩芯的损坏，某些深度的测量值也有缺损，所以这是一散乱数据的差值问题。此外，在临摹、仿制及考古的古生物复原问题中，人们通常利用仿制对象的一些离散测量值来绘制对象的表面形状，从而制模。由于仿制对象的形状的复杂性，所以这也是一个散乱数据的插值问题。当前有多种实际应用与散乱数据的插值问题，主要有普通克里格方法、反距离移动平均法和反距离移动表面法。要注意到使用不同的方法，得到不同的表面数据和完全不同的结果，所以选择恰当的空间差值方法是空间散乱数据插值的关键。本论文获取等值面大致步骤如下： 装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学毕业论文安徽工业大学 本科毕
16、业论文 第装订线1任意给定区域的四维网格散乱数据若给出的网格点都有数据而且平均密集某些网格点有数据利用 Kringing 插值进行网格数据加密利用下面算法求出等值点利用下面算法求出等值点若等值点较为稀疏则利用 Multi-quadric 方法进行等值点加密若等值点较为稀疏则利用 Multi-quadric 方法进行等值点加密对其等值点利用多种插值方法求解等值面对其等值点利用多种插值方法求解等值面装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学毕业论文安徽工业大学 本科毕业论文 第装订线22 六面体网格划分2.1 “四维数据的图形表示”内涵四维数据通俗上讲，就是数据是由一系列四元数 组成，每一个四元),
17、(iiwzyx数代表的是空间某一点的数据特征，或者物体区域中某一点所研究的数据特征，前三维代表的是空间坐标 ，第四维代表的是有特征的数据 ，比如对于气象),(iizyx i学应该是气压，气温等特征数据，对于研究物体则是密度，温度等参数。现在我们所讨论的是怎样把给定足够密集各个位置的散乱数据 中找出给定区域所),(iizyx有的等值点 即它们具有相同的 ，然后通过某种方法把这些等值点用曲面),(iizyxiw给表示出来，而且离实际的等值面具有极高的准确性。我们称 所表示),(iizyxfw的曲面叫超曲面即等值面，固定 形成的面叫做等值面，下面讨论其实现的方式。2.2 “六面体网格划分”的原理及意
18、义为了解决问题的方便，我们必须对原始数据进行处理，使其运算方面，我们可以认为：空间中任意密集的四维散乱数据都在某一六面体 A的顶点位置上， ，所以可以对原始散乱数据进行网格划分，是所有的数据都分布在 A的顶点上。这样做有助于对原始离散数据进行处理，便于运算求解。2.2.1 MC 算法的思想及引出MC算法即 Marching Cubes（MC)算法于 Lorensong和 Cline于 1987年提出的，是一个被广泛使用的体数据等值面抽取算法，它使用三角面片表示抽取得到的等值面。装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学毕业论文安徽工业大学 本科毕业论文 第装订线3MC算法假设体数据是局部线性连续
19、的, 它认为, 如果两个相邻采样点一个为正点, 一个为负点, 则它们连成的边上一定存在一个等值点. 如果得到了 A 的各条边上的等值点, 就可以以这些点为顶点, 用一系列的三角形拟合出该 A 中的等值面。本论文最终并不是延续 MC算法所提到的用三角面片表示的等值面。而是利用MC算法中使用的 A是体数据中包含 8个相邻样品的最小立方体的思想。2.3“六面体网格划分”的方法为了简便运算，先把给定的区域 进行空间网格划分，并且 充分小，Ddzyx以 为小正方体三边的边长构造空间网格，这一步骤可用 Mathematica软dzyx，件简单实现 。12.3.1 构造四维散乱数据通过以上对空间区域的网格划
20、分，认为在实际情况下，每个网格顶点都有其四维数据的测量值，现已知每个网格顶点的前三维坐标，第一种方法可以通过给定，可以求出每个网格顶点的四维散乱数据。另一种方法是在专业网站),(zyxfF上特别是医学，气象学网站上下载四维数据，构造四维离散数据矩阵 M。下面主要讨论第一种方法，便于对数据的处理。2.4 对于任意给定散乱数据情况的“六面体网格划分”方法如果先给定任意离散数据，那么怎样实现对给定区域的“六面体网格划分”呢？。这种算法适用于数据分布较均匀的情况, 逼近程度一般, 优点是计算简单, 速度较快。通过以下流程可以求得：求出对应轴上的坐标数据的步长数组求出散乱数据的原始空间三维坐标(xi,y
21、i,zi)分别抽出原始数据中 x,y,z 轴上的数据坐标，进行排序分别以 dx,dy,dz 为三边边长构造空间正六面体网格装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学毕业论文安徽工业大学 本科毕业论文 第装订线4其中，此方法适用于给出的散乱数据比较密集，对于叫疏远的数据点则影响后面的结果。2.4.1 “六面体网格划分”之后的节点预处理划分之后，给定散乱节点必然在某个网格节点上，那么其他节点的四维数据可以利用 Kriging插值或 Multi-Quadric插值方法(5.1 和 5.3详细介绍)计算出其它网格节点的第四维数据，最后进行以下步骤即可。3 搜索和遍历算法什么叫做搜索和遍历算法呢？它的意义何在呢？搜索和遍历算法是按照某种算法思想对网格划分后的给定区域进行搜索遍历，目的是快速的求出等值点 W。第一种方法是通过已知网格节点构造八叉树 ，然后通过深度或者广度遍历进行搜索。第二种方法较为简单且快捷，所有的网格节点可分别在 x,y,z轴方向上进行扫描遍历找到，通过递归的方法进行等值点判断可以达到目的。该步骤可以通过 C+,Mathematica软件求解 ，验证。1装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学毕业论文装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学毕业论文
