1、 常微分方程解的稳定性摘要 本文简要介绍了常微分方程解的稳定性理论的相关概念及其在解决微分方程相关问题的重要意义。最后，介绍用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。 关键字： 常微分方程 稳定性 李雅普诺夫函数 V 函数构造方法引言常微分方程在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞，庞加莱在分析的基础上引入几何方法 ,开创了常微分方程定性理论 , 同时在分析中引入几何方法 ,搭建起分析与几何之间的沟通桥梁 ,带来了微分方程研究的新突破。李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上 ,转而进入了新的稳定性研究。如今 ,李雅普诺夫稳定性理论被普
2、遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一。不仅有精确的定义 ,更有严格的分析证明 ,将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。 本文论述常微分方程解的稳定性的定义及其研究常微分方程相关问题的重要思想，并用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。1、 常微分方程稳定性微分方程自诞生以来就一直以微分方程解的求法为研究中心。数学家在微分方程求解过程中进行了不懈的努力 ,但始终没有从根本上摆脱求确定解的桎梏 ,致使研究的道路越来越窄。此时单纯的定量分析已不能解决问题 ,必须用一种综合化、 整体化的思想加以考虑. 避开微分方程求精确解的定量方
3、法 ,转向运用稳定性方法探求解的性质 ,从而解决常微分方程（组）的解的问题.考虑微分方程组（2.1）=(,)其中函数 对 和 连续，对(,) (, +) 满足局部利普希茨条件。设方程（2.1）对初值 存在唯一解 , 而（ 0, 1） =(, 0, 1)其他解记作 . 本文中向量 的范数=(, 0, 0) =(1, 2 , , )取 . =( =12)12如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生的李雅普诺夫意义下的稳定性概念。如果对于任意给定的 和 都存在 0 00,=（ ， 0） 0使得只
4、要 0 1 0 00存在 , =（ ， 0） 0使当 时有00 = （ 20+20） 12 t0 时满足不等式 =(,1,2,)| ( ) | 0(0 （ 0由 和 连续知存在 ，使当 (0)=0 () 0（ 0 0 , 1) (, 0, 0)0总成立，那么存在 使0lim+(, 0, 0)=假设 ,联系到 的单调性有0 (, 0, 0)0 0(3.16)0(, 0, 0)(0)(0)该不等式意味着lim+(, 0, 0)=+矛盾，故 ,即 =0lim+(, 0, 0)=0由于零解是稳定的，所以 在 上有界，再(, 0, 0) 0 , +由引理知 。 定理证毕lim+x(t, 0, 0)=0定
5、理 3.3对系统 （3.11） ，若在区域 D 上存在李雅普诺夫函数 满足()（1） 正定|(3.11)=1()（2） 不是常负函数()则系统（3.11）的零解是不稳定的.4、 李雅普诺夫第二方法的构造和应用4.1 李雅普诺夫函数的构造在判定系统是自治的情况下，微分方程的稳定性和将近稳定性，可以构造如下形式的李雅普诺夫函数（1） 二维空间：这里 a ,b 0 ,m,n 为正整数(1 ,2)=21+22（2） n 维空间(1,)=1211+2222+2其中 同号， 都是正整数.1,2, 1,2,这样构造的整数 , 都是定号函数且不含 t， (1,2) (1,2,)也就有无穷小上界的性质。4.2
6、李雅普诺夫第二方法的应用例 1: 讨论方程组零解的稳定性=3+=423解： 取函数 是正定函数。沿方程的全导数为 =144+122=3(3+)+(423)=2(22)20(常负函数)。由定理（3.1）知零解稳定。例 2： 研究质点振动方程22+=0 (0,0)零解稳定性。解：原振动方程可转化为零解对应平衡点 （0,0）=22+22取函数 是正定函数，沿方程的导数为(常负函数)。=()+=20由定理 3.1 知，零解稳定. 例 3： 讨论方程组零解稳定性=3+3(62+52+22)=25+5(62+52+22)=22+2(62+52+22)解： 取 是正定函数，沿方程对 t 求导(,)=22+2+2=2(62+52+22)1(62+52+22)可知当 时， 是负函数，由定理 3.2 知零解62+52+2210渐近稳定.参考文献:1 东北师范大学微分方程教研室 常微分方程（第二版） 北京市高等教育出版社， （2005 年）2 陈明辉 邓明立长微分方程定性理论与稳定性理论的哲学思考自然科学史研究，2005 年，第一期 （4552）3 任斌 程良伦李雅普诺夫稳定性理论中 V 函数的构造研究 自动化与仪器仪表，2009 年，第二期（810）
