41-直线的倾斜角、斜率与方程.doc

1、91 直线的倾斜角、斜率与方程教学目标重点：理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握直线方程的五种形式难点：理解直线的斜率与倾斜角的区别及联系能力点：熟练选用直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式与一般式解决相应的问题教育点：考查直线的倾斜角与斜率时，要注意倾斜角 的情况，培养分类讨论的思想90自主探究点：熟练掌握待定系数法求直线的方程考试点：重点考察各种条件下求解直线方程易错点：忽略倾斜角 ，直线斜率 不存在的情况90k易混点：正确区分直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式与一般式的形式拓展点：运用直线系方程解决相关问题的方法学法与教具1学法：讲练结合，自主探究2教具：多媒体课件，三角板一、

2、【知识结构】直线的方程直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角定义范围直线的斜率定义公式直线方程的五种形式点斜式斜截式两点式截距式一般式二、 【知识梳理】1直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角定义：当直线 与 轴相交时，取 轴作为基准， 轴 _与直线 _方向之间所成的lxxxl角 叫做直线 的倾斜角当直线 与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_l倾斜角 的范围为_（2）直线的斜率定义：一条直线的倾斜角 的_叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 表示，即 k_，倾斜角是 的直线斜率不存在k90过两点的直线的斜率公式：经过两点 ， 的直线的斜率公式为 _当1(,)Pxy2(,)xy12)xk时，直线的斜率_

3、12（3）直线的倾斜角 与斜率 的关系k当 为锐角时， 越大 越_；当 为钝角时， 越大 越_；k2直线方程的五种基本形式名称 几何条件 方程 局限性点斜式 过点 ，斜率为0,xyk不含_的直线斜截式 斜率为 ，纵截距为kb不含_的直线两点式过两点 和1,xy（22,）1y 不含_的直线截距式横截距为 ，纵截距为ab0b不含_和_的直线一般式 ,ABC2平面直角坐标系内的直线都适用答案：1 （1） 正向，向上， ； ； （2） 正切值，0018； 不存在 （3）大，大tan21yx2 ， ， ， ，00()kykxb1122yxyab2AxByCAB垂直于 轴；垂直于 轴；垂直于坐标轴；垂直于

4、坐标轴、过原点x三、 【范例导航】例 1 求直线 的倾斜角 的取值范围sin10y【分析】求倾斜角 的取值范围，应先求斜率 的变化范围，在k结合倾斜角和斜率的关系求解【解答】直线 的斜率为 sixysin ， ，即 1in1k1ta如图所示，当 时，倾斜角 的范围是 ；当 时，倾斜角 的范围是01k0,410k3,4于是倾斜角 的取值范围是 30,4【点评】 （1）已知斜率的范围求倾斜角的范围时，一定要注意运用正切函数在 上的图象在这0,里虽然斜率的范围是连续的，但正切函数在 并不是单调的，所以倾斜角的范围确实断开的两个区0,间 （2）求倾斜角范围的一般步骤是：求斜率 的范围；借助正切函数在

5、上的图象，tank,数形结合，确定倾斜角的范围变式训练：已知直线 的倾斜角的范围是 ，求 的取值范围10xay30,4a解（1）当 时，直线方程为 ，此时倾斜角 ；（2）当 时，斜0a0率 时， ，解得 时， ，解得k20ka341ka综上， 的取值范围是 0,1例 2 已知直线 :lmxy与以 2,3A、 ,0B为端点的线段相交，求直线 l的斜率k的取值范围【分析】可用两点式写出直线 的方程，联立直线 和Bl的方程，解出交点的坐标 ，利用 ，解出 的ABMMxm取值范围，由 与斜率 的关系，即得斜率 的取值范围这样kk求解，显然非常繁琐，不宜采用既然直线 的方程中含有参数l，可以得到直线 必

6、过一定点 ，将直线 绕定点 转动，寻mlPP找与线段 相交的位置由“直线 与线段 相交” 展开联AB想 （1）结合图形，运用运动变化的观点，考虑直线斜率与倾斜角的变化关系，可求出符合条件的直线斜率的取值范围（2）直线 与线段 相交于点 ，则点 、 分别在直lABM线 的两侧或其中一点在直线 上，可考虑利用不等式表示的平l l面区域求解【解答】直线 l的方程可以化为 210ymx，它表示经过直线 20y和 1x的交点的直线方程，由20,1yx解得,所以直线 l必过定点 (1,)Py xCA(2,3)P(3,0) B(3,0)O法一：设 与 的倾斜角分别为 ， ， 如图，当直线 由 变化到与PAB

7、5PAk12PBlPA轴平行的位置 时，其倾斜角由 增至 ，斜率 的变化范围是 当直线 由 变化到yC095,C的位置时，其倾斜角由 增至 ，斜率 的变化范围是 B09k1,2故斜率 的取值范围是 k1,5,2法二：设直线 的方程为 ，即 lykx20ky点 、 分别在直线 的两侧或其中一点在直线 上， ，ABl l3202kk解得 或 故斜率 的取值范围是 5k12k1,5,2【点评】 （1）求直线过定点的步骤是：将直线方程整理为 （其中 为参,0fxymgm数） ；解方程组 即得定点坐标,0,fxyg（2）本题确定直线斜率 的取值范围用了以下两种方法：k数形结合法：根据直线的变化规律，借助

8、直线的倾斜角 与斜率 的关系：“当 为锐角时，k越大 越大 ；当 为钝角时， 越大 越大 ”去探究 的变化规律k0k0利用不等式表示的平面区域：当 、 在直线 的异侧时，则1,Axy2,By0AxByC；当 、 在直线 的同侧时，则12AxByCxy,x0变式训练：在上述条件中，若 点坐标为 ，则直线 的斜率的取值范围有何变化？P3,2l解 当 点坐标为 时， ， 直线 由 转动到 的过程中，直线 的斜P3,25Ak1PBPABl率始终是存在的，故斜率 的取值范围是 ,3例 3 求适合下列条件的直线方程：（1） 过点 ，斜率是直线 的斜率的 ；(1,3)Ayx14（2） 经过点 ，且在两坐标轴

9、上的截距相等；2P（3） 过点 与已知直线 相交于 点且 ,1:260lB5A【分析】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件【解答】 （1） 设所求直线的斜率为 ，依题意 又直线经过点 ，k134(1,3)A由点斜式,得直线方程为 ，即 3()4yx50y（2）法一：设直线 在 ， 轴上的截距均为 lxa若 ，则 过点 和 ，由点斜式，得 的方程为 ，即 0a(,0)3,2l23yx0y若 ，则设 的方程为 ， 过点 ， ，解得 ，l1yal(3,2)1a5a 的方程为 l5xy综上可知，直线 的方程为 或 l230xy50x法二：由题意，所求直线的斜率必定存在

10、设所求直线方程为 ，它在 轴、 轴上32ykxxy的截距分别为 、 ，于是 ，解得 或 ，所以直线方程为32k2k21或 ，即 或 yxyx30xy50x（3）法一：过点 与 轴平行的直线为 解方程组 ，求得 点坐标为(1,)Ay1260xyB，此时 ，即 为所求(1,4)5Bx设过 且与 轴不平行的直线为 ，解方程组 得两直线交点为(,1)y1()ykx,1()xyk（ ，否则与已知直线平行） ，则 点坐标为 7,24,kxyB742(,)k由已知 ，解得 ， ，即 2274()()5k34k31()4yx10y综上可知，所求直线的方程为 或 1x0法二：设 ，由 ，得 ，整理，得 ，解得,

11、62BaAB2275aa265a或 由两点式，得直线的方程为 或 1a5x341y【点评】 （1）用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况（2）求直线方程需要两个条件当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程，如第（1）题；当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组） ，待定出其中的系数，从而求得直线方程，如第（2）和第（3）题（3）对于

12、直线上的点，我们往往运用直线方程，将该点的坐标一元化，从而简化运算过程，如第（3）题的法二，若设 ，则需列方程组求解，过程较为繁琐,Bab变式训练： 求满足下列条件的直线 的方程：l（1） 过点 ，它的倾斜角的正弦值是 ；(0,2)A35（2） 过点 ，它的倾斜角是直线 的倾斜角的一半；11:40lxy（3） 过点 和直线 与 的交点(,)30xy2答案（1） 或 （2） 48xy835xy（3） 法一：由 解得交点坐标为 ，由两点式，得所求直线方程为,230xy,4570xy法二：设所求直线方程为 （其中 ） ，将点 代入，解230xymxymR(2,1)A得 ，从而所求直线方程为 3m57

13、0例 4 已知直线 过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于l(2,1)Pxy、 两点，求 的面积的最小值及此时直线 的方程ABAOl【分析】利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式【解答】 （1）法一：设直线的方程为 ，由已1(2,)xyab知可得 2ab由 ，得 ，所以当且仅当 ，即 时，1S 22144Sab21ab4,2ab，此时直线 的方程是 min4l0xy法二：由 ，得 ，从而21ab2a142S a，当且仅当 ，即即 时， ，此时直1422a4,2abmin4S y xBAP (2,1

14、)O线 的方程是 l240xy法三：设直线 方程为 ，它在 轴、 轴上的截距分别为 、 ，则l120kxxy12k， 1124424S kk 当且仅当 ，即 时， ，此时直线 的方程是 2kminSl240xy【点评】 （1）本题的信息是：“过点 ”或“截距（由三角形面积挖掘的） ”，所以可以选择非,1P常直线方程的截距式或点斜式，运用待定系数法求解（2）采用基本不等式，对目标函数求最值时，一定要对目标函数调整或变形，使得满足“一正、二定、三等”的条件变式训练：上述条件不变，求 最小时 的方程ABl解 法一：由 ，得 ，变形得 ，21ab20ab(2)1abPAB，当且仅当222()(0)()

15、()()4(2)4(1ab ， ，即 ， 时， 取最小值 此时直线 的方程为 1a3PAB l30xy法二：设直线 方程为 ，则 ， l120ykx12,0k,2Bk，当且仅当 ，即 时，222 144PABkk 21k1k取最小值 ，此时直线 的方程为 此时直线 的方程为 l30xyl30xy法三：设 ，则 ，009O12,sincosPAB，当 ，即 时， 取最小值 ，此时直线124sincosinPAB i2045PAB4的方程为 l30xy四、 【解法小结】1斜率的求法（1） 定义法：已知倾斜角 ，可根据 求解；tank（2）公式法：已知直线上两点 、 ，可根据斜率公式 （该1,Axy

16、2,By12x21ykx公式与两点顺序无关）求解2已知斜率 的取值范围，求倾斜角 的取值范围实质上是在 上解含正切函数k0,2的不等式，可借助：“当 为锐角时， 越大 越大；当 为钝角时， 越大 越大”去求解；kk也可借助正切函数的图象求解应牢记口诀：“斜率变化分两段， 是分界，遇到斜率要谨记，存在与90否需讨论” 3已知直线的变动情况，求斜率 的取值范围k（1）数形结合法：根据直线的变化规律，借助直线的倾斜角 与斜率 的关系去探究 的变化规kk律 （2）利用不等式表示的平面区域求解4求直线方程直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；同时

17、结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性（1）直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程（1）待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组） ，待定出其中的系数，从而求得直线方程5求直线过定点的步骤是：将直线方程整理为 （其中 为参数） ；解,0fxymgm方程组 即得定点坐标,0,fxyg五、 【布置作业】必做题：1 （2010 课标全国理 3）曲线 在点 处的切线方程为 2xy(1,)2 （2008 四川理 4）直线 绕原点逆时针旋转 ，再向右平移 个单位，所得到的直线为 9013 （200

18、8 浙江理 11）已知 ，若平面内三点 共线，则 0a23(1,),(,)AaBCa4经过点 的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，求直线的方程(1,4)P答案：1 2 3 42yx13yx12260xy选做题：1已知两点 ，若直线 与线段 总有公共点，则 的取值范围是 (0,1),AB()kABk2若直线 在 轴上的截距为 ，则实数 是 22(3)()41mxmyx1m3已知直线 :10lkykR（1）证明直线 过定点；（2）若直线 不经过第四象限，求 的取值范围；l（3）若直线 交 轴负半轴于 ，交 轴正半轴于 ，求使 面积最小时直线 的方程xAyBAOl答案：1 2 或 3

19、（1）定点 ；（2） ；（3） 0, ,10,240xy六、 【教后反思】1本教案主要是考虑到本节是平面解析几何的的第一节，是解析几何中最常用也是最易理解的内容在内容设计上偏重于基础知识的掌握，题型的设计上主要依据于高考考点，选取高考中常见的题型变式作为例题进行详细讲解，选取部分高考题作为课后练习2直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜率；截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零；两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直因此要启发学生在应用时关注它们各自适用的范围，以免漏解3在教学时，发现不少学生在选择直线方程的形式时，还局限于初中所学的内容（一次函数） ，忽视题设条件，常常选择直线的斜截式 解答问题，导致解题过程较为复杂所以教师要引导学ykxb生尝试不同的选择方法，比较优劣，使他们克服思维定势另外，例 4 及其变式的化归方法较多，应留给学生自主探究的空间，让学生积极探索，从不同的角度思考问题，借此提高学生的发散思维能力，但若逐一详细地涉及各种方法，恐怕课堂上难以完成在课堂上，可以启发出不同思路，教师点拨，形成方法，课下由学生自己完成解题过程