1、BEFAC图 1打制烟筒弯脖铁匠师傅在打制烟筒弯脖时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦曲线： 的一个周期的图像如图，问，弯脖的直径为 12cm 时，应是多少 cm？分析：几何与代数相结合的题目，将几何图形知识转化为代数表达式，利用余弦函数的周期求解解：弯脖的直径为 12cm，周长为 cm，周长正是函数 的一个周期 即 （cm）一实际问题在学完圆锥曲线一章后，我布置了如下一道作业：同学们都有过切香肠（或火腿肠）的经历，斜切成椭圆形你能给予证明吗？（我给同学们一周的时间课下探究 ）二教学实录1开展课堂研究师：这是一道源于我们生活实际的问题，那么如何证明某一曲线是椭圆呢？（全班同学开始议
2、论纷纷，有一位同学紧锁眉头，很快）生 a：定义法师：对，那你是如何找到两定点用上定义的？（留思考时间 ） 生 a：如图 1，设圆柱体为香肠的一段，在圆柱内放两个大小相同的球（半径为圆柱底面半径） ，使它们分别与圆柱的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于点 、 ，在截口曲线上任取点 ，过点 作圆柱EFA的母线，分别与两个球相切于 、 由球和圆的几何性质可知，BCABAE, BCF由切点 、 的产生方法可知，它们之间的距离 是定值，故截口曲线上任意一点CACB OO yyxxMM图 2到两定点 、 的距离之和为常数（大于 ） 由椭圆的定义可知，截口曲线是椭AEFEF圆 （全班同学鼓掌不已！）师：
3、该同学从纯几何角度出发，巧妙地创设情境，用定义证明了该曲线是椭圆，显得简洁明快，该证法极富创造性！那么还有其它证法吗？（全班同学都在积极思考 ）比如从代数角度？（教室里议论声一片，很快有一位学习较好的同学发言了 ）生 b：如图 2，设圆柱体为香肠的一段，设圆柱的底面半径为 ，截面与圆柱底面所成b角为 ，截面弦 在圆柱底面上的射影为圆柱底面直径 若 ，则ACBCaA2如图示，在底面内建立直角坐标系 ，在截面内建立直角坐标系 设acos yox xoy是截口曲线上任意一点， 是它在底面上的射影，则有 ),(yxM),(0Mybx00,cs又 在 上，),(0y 22)0(122 baaxbax即故
4、用一个与圆柱轴线斜交的平面去截圆柱，得到的截口曲线是椭圆 师 ：那你又是怎么想到的呢？生 b：恰当建系求出该曲线的方程来，从方程角度判断曲线形状，而曲线在底面上的射影是圆（方程易求） ，所以采用相关点带入法！2拓展问题（1）：现在我们已经知道斜切香肠成椭圆形，而当斜切角度一定时椭圆的面积是定值你能否求出来？（学生颇感兴趣 ）生 c：设该椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，截面与圆柱底面所成角为 ，则圆柱a2b2底面半径为 ，且 设 为椭圆的面积， 为圆柱的底面积，则bcosSS（用“射影面积法”求二面角） 故椭圆的面积公式为Sos a（其中 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长） a,生 d（迫不急待）：
5、学生 c 的解答是错误的 （全班愕然！）用“射影面积法”求二面角时，图形应是三角形、四边形等这样的多边形，而椭圆是曲边形 （这对于沉醉在成功喜悦中的同学，无疑是“当头一棒” ，学生开始反思已取得的成果，意识到“故事”并未结束这就激发了他们进一步探索的欲望，新的谜底在吸引着他们 ）师：学生 d 回答得很好，这也是同学们经常犯的错误，用“射影面积法”求二面角的条件不具备但学生 c 的思路给我们以启示，对于曲边形，若也能用“射影面积法”求二面角，则问题得以解决那么我们如何证明对于曲边形该结论也成立呢？（通过这一点拨，马上激活学生的思维 ）生 e：将曲边形分割为多边形 （一语惊醒梦中人！同学们个个兴趣
6、盎然，跃跃欲A1 AiAn+2 An+1 Ai+1A2 A3 A4A1 AiAn+2 An+1Ai+1A2 A3 A4图 3试 ）设图形 M 是椭圆 M 的射影 如图 3，将椭圆 M 的边缘进行 n+2 等分，设分点分别为 A 、A 、A 、A 、A 、A 、A ，它们分别在射影图形 M 上的射影为123i1i1n2 A 、A 、A 、A 、A 、A ,则分别连结点 A 、A 、A 、A 、A 、Ai1in2123i1i、 A ，然后再将点 A 分别与点 A 、A 、A 、A 、A 、A 连结得A1n2n 3ii1n2A A 、A A A 、A A A 、A A A 显然它们在射影图形 M 上
7、的射影31341i1n2 分别是对应的A A A 、 A A A 、A A A 、A A A 由于平面 M234i11n2与平面 M 所成角为 ，则A A A 、 A A A 、A A A 、 A A A 所 12134i1n2在平面与A A A 、 A A A 、A A A 、A A A 所在平面所成角均为 ，12334i1n2现分别记A A A 、 A A A 、A A A 、A A A 及 A A A 、11 123A A A 、A A A 、A A A 的面积为 S 、S 、S 、S 及 134in212inS 、 S 、S 、S 则有 S = S cos 、S = S cos 、S
8、= S cos 、S21in121i= S cos n当分点无限增加时, 则 S 、S 、S 、S 及 S 、S 、S 、S 的和121in12i就分别无限地接近椭圆 M 的面积和射影图形 M 的面积，故有 S = ( S +S + S +S ) nlim121in= ( S cos + S cos +S cos +S cos )1in= ( S +S + S +S ) cosnli121in=S cos 即 （此时，全班同学不仅又惊叹！） Scos师：回答的相当精彩！学生 e 采用了由已知到未知，由熟悉到陌生的探究方法和先分割求和再取极限的步骤来解决问题让我们回顾一下，不难发现，解决问题的过
9、程是一个不断否定、完善、发展的过程往往不是一次就能找到解决问题的正确方法，只有不断的探索、发现、类比、归纳才能实现 （学生深受启迪 ）3拓展问题（2） （学生 f 接着提出一新问题）：把刚才斜切的香肠中的一段，沿其一条母线将包装纸剪开展成平面图形，当斜切角度一定时，得到的曲线也就固定了那它是什么曲线呢？（又是“当头一棒” ，同学们陷入了沉思，都在仔细观擦、揣摩，甚至有的同学做起了模型，亲自演示 ）师：这是我做的一个简易模型：拿一张纸，把它卷到一根蜡烛上，然后用刀斜着把它切断再把卷起的纸展开，那么你将看到一条怎样的曲线？（停留片刻 ）显然，是一条波浪线，那它是正（余）弦曲线的一部分吗？（又是学生
10、 b 站起来回答了 ）MO PQN xY图 4生 b：如图 4，设圆柱体为香肠的一段，底面半径为 ，截面中心为 ，过 作垂直rM于圆柱轴线的截面，与原截口曲线交于两点，取其中一点 为原点，在过点 且与圆柱相O切的平面内建立直角坐标系 ，使 为圆柱的一条母线显然 切于圆 xoyox设想卷在圆柱上且已被切断的纸是慢慢展开的，令 为截口曲线上任意一点，),(yP是它在圆 上的射影设展开角 ，则QMMQtan)si(tanrNPyrxrxsi)t(显然，展开曲线是振幅为 ，周期为tanrT21（恰好为圆柱底面周长）的正弦曲线的一部分（恰好为正弦曲线的一个周期）！师：学生 b 仍然采用了代数法，即恰当建系后求曲线的方程，从方程角度判断曲线形状 （接着我就留了两道思考题：日常生活中我们见到的烟筒弯脖，它的平面展开图是什么曲线？将直角三角形的一直角边卷成半圆，它的斜边会是怎样的曲线呢？也就是，如果一只蚂蚁从点 绕圆柱侧面爬到点 （如图 2 所示） ，应以怎样的路径前进才能最近呢？CA学生很快就得到答案 ）
