1、1第七章 平面解析几何在初中学习阶段，你已经学过平面几何，也知道了坐标的概念，并且应用坐标来研究了一些基本初等函数的图象；在第五章还介绍了函数图象的移位缩放作图法，使你能在坐标系中作出不少函数的图象 应该说所有这些，主要是为反映和研究函数的性质服务 坐标系本来是一个几何概念，你会觉得对它的本家平面几何反而没有尽到服务的责任，这似乎有点说不过去 事实上，在数学发展的历史上，笛卡儿引入直角坐标系后，最早也是用于研究几何学上的一些问题 本章的主要内容，可以弥补你的缺憾应用坐标来研究平面几何中的一些基本问题 平面几何中所研究的主要对象是两类，一类是直线及由线段构成的多边形，如三角形、平行四边形梯形等等
2、；另一类则是曲线，如圆等 这些仍然是本章所研究的主要对象；在曲线方面，范围还会扩充到与圆密切相关的椭圆、双曲线、抛物线 在研究方法方面，当然不会完全重复平面几何中的一套，特别在直线及多边形方面，我们将用向量的观点及相关方法来考察它们的性质和关系 27.1 向量和直线方程预备知识平面直角坐标系及坐标的概念重点坐标系的基底和向量的概念向量的坐标各种形式的直线方程及其求法难点对向量的理解在不同条件下，以不同形式写出直线方程学习要求理解向量和向量坐标的概念，会在直角坐标系中作出已知坐标的向量已知起终点坐标，会熟练地写出向量的坐标理解向量在确定直线中的作用熟记点向式、点斜式、斜截式直线方程，并能在不同已
3、知条件下应用它们得到直线方程掌握一般式直线方程及其与其它形式直线方程的转化理解用二元一次不等式( 组) 表示的平面区域3几何中除了单个的点或有限个点之外，由无限个点组成的点的集合，最简单的莫过于直线了，本节就从这个最简单的集合直线讲起 我们要解决两个基本问题：如何确定一条直线；确定的直线在一个坐标系中如何表示 从确定直线的原始想法出发，要引进一种全新的量向量；为了在一个坐标系中表示直线，还要知道向量的坐标 有了这两者，几乎所有有关直线的问题就都能得到解决了 1. 解析几何概述什么是解析几何？它与平面几何的根本区别在哪里？为什么要学习解析几何？你在开始学习本章之前，也许已经在考虑这些问题了 (1
4、)什么是解析几何平面几何是研究形及其数量特性的，所谓形，无非是由直线构成的多边形(如三角形、平行四边形) 或圆；所谓数量特性，是指线段的长度、圆或多边形的面积等等 在平面几何中，告诉了你三角形的三个顶点A,B,C，三角形是完全被确定了的，但你却求不出面积来，这是因为在平面几何中对最基本的几何元素点，没有赋予任何数字特性，因此无法用数来表示点的位置，在平面上给了三点，除了三个黑点之外，什么都没有，要你求面积，当然是勉为其难了 若在平面上建立了坐标系，情况就不同了，说给定三点，就得确实给出它们的信息它们的位置，即它们的坐标 有了坐标，你就能知道每条边的长度，还能知道某条边上的高(这些正是本节和下一
5、节要学习的内容) ，面积就可以求出来了 点的位置、即点的坐标是一对有序数，因此可以说，建立坐标系后，把点这个几何中最基本的元素，赋予了数字特性 凭借这一点，继而可以把点集(包括直线、曲线 )数字化，这就是所谓的直线方程、曲线方程；再继而，我们可以把它们之间的相关关系予以数字化，例如两直线垂直有什么数字特征等；最后，我们还能用函数关系去研究它们的性质 因此可以说，把平面几何数字化就是解析几何，也可以说，解析几何是研究几何元素和几何形的数字特征的一门学科 名词“解析”的来由，是因为在坐标系下讨论几何的形，几乎都要用方程来表示，而正如你在第五章中所看到的，方程往往是坐标变量的解析式 (2)为什么要学
6、习解析几何把几何学数字化成为解析几何之后，明显带来两大好处 首先它能把几何元或形之间的关系数字化，精确表示出不同几何元和形之间的位置关系 例如三点是否共线？在平面几何中去验证是很难的，在解析几何中只要验证这三点是否同时满足一个直线方程；又例如过圆外一点，向圆引切线，在平面几何中只能凭肉眼观察，再作得精确，到显微镜下去看一看，还可能有偏差；在解析几何中就不同了，有了坐标，就能4有圆和过已知点的直线的方程，要相切，根据第五章中求曲线交点的方法，只要联立这两个方程且仅有一个解就行了，这样我们可以精确地算出切点的坐标，理论上来讲，偏差已经不存在了 其次，在计算机日益普及的今天，大量图形都通过计算机处理
7、和存储；然而计算机只能处理数字，因此必须把图形数字化 以计算机存储图形来说，不外两种方式 一种是全息存储，例如把一张彩色照片存放到计算机内，扫描仪会把彩照划分成极细密的格子(一般一平方英寸要分成 6060 格) ，在每一小格内找一个代表点，把这点的坐标、灰度码、色别码(所谓码也是一个数字)等信息存储到计算机内 要显示这幅彩照时，只要读出这些信息，在计算机坐标系内，逐点按坐标、色别、灰度显示，彩照就出来了 另一种是参数存储，例如要存放一个红色虚细线描绘的三角形，只要存储三个顶点的坐标，线型、色别码及连线顺序，计算机根据这些信息，会算出连接这三点的直线方程，然后在计算机坐标系内按要求的线型和色别，
8、逐点描绘直线上的点，三角形就会再现于显示屏上 这种存储方式不但信息量少，而且更加精确 可见，无论用哪一种方式存储，都离不开几何的数字化，也即离不开解析几何 2. 直线的确定和向量现在让我们从最简单的直线讲起 (1)平面上确定直线的条件在实际生活中直线方式是经常遇到的，实际中是如何确定一条直线的呢？如果忽略地球表面近似是球面这个因素，那么可以认为一架飞机从上海飞到北京是按直线方式飞行的，你没有见过在地面上，从上海到北京划一条直线，然后要求飞行员按这条线飞行吧？实际上只要告诉飞行员从上海出发，按什么方向飞行就得了，因为一个起点，再有一个方向，飞行员就能确定一条直线方式的飞行路线 说得近一些，在操场
9、上跑 100 公尺，划好直线跑道固然可以顺利沿直线跑到终点，难道不划线，你就不能按照直线跑到终点了？其实只要在终点竖立一个标记，例如插一面旗，甚至站立一位裁判，你就会奋力按照直线跑向终点，为什么呢？因为有了起点，根据终点标记，你又明确了方向，你会自觉地确定一条直线方式的行进路线 这些生活经验告诉我们，一个定点和一个方向，就能确定一条直线路径 这种生活经验反映到几何上，用数学语言来表述，那就是说，在平面上给定一个点 A，一个方向(在图上暂时用一个带有短线段的箭头表示 )，就能确定一条与指定方向平行的直线 l(见图 7-1)若在平面上建立了直角坐标系，给定一个点A，就是给出了点 A 的坐标；什么叫
10、给定了一个方向呢？在实际生活中好说，从上海到北京的方图 7-1Al5向，谁都能明白；可是在数学上怎么来理解和表示一个给定方向？这个问题的本质，其实就是如何把通俗所称的方向予以数字化 (2)向量的概念在实际中常常是以东南西北作为一个参照系统来指明一个方向 例如说东偏北 30，你立即知道是图 7-2 上所画的那个方向 坐标轴与图 7-2 上的东南西北指向很相似，只要你把 x 轴的正向看作东，把 y 轴的正向看作北，把坐标系作为参照系，我们不是也能用 x 轴偏 y 轴 30 来说明上述方向吗？但这种说法还是比较含糊，如何将其进一步数字化呢？如图 7- 3，在坐标平面内，用一个带有箭头的短线段来表示方
11、向 若把箭头的始点移到坐标原点，终点的位置 A 就确定了，它的坐标也就确定了，不妨设它的坐标为( x,y) 显然，点 A 坐标( x,y)与两个因素有关：一个是指向；另一个是短线段的长度 如图 7-4(1)，两个长度相同的箭头因为指向不同，把始点移到原点后，终点 A,A1 的坐标不同；而图 7-4(2)，两个指向相同的箭头因为长度不同，把始点移到原点后，终点 A, A1 的坐标也不同 这就是说，数学上所讲的方向，包含了两个因素：指向和长度 指向和长度合起来就是所谓已知方向的数字化；把箭头的始点移到原点，终点坐标是数字化的具体体现 我们希望有一个确切的名称来同时包含指向、长度的意思 这个确切的名
12、称就是向量 即所谓向量，是一个既有指向、又有大小的量(长度就是这个量的大小)，也就是说，我们 把指向、长度合起来看作为一个量向量 因此，当且仅当指向相同且大小相等的两个向量，才能称为相等 在一个坐标系中，把一个向量的始点移到原点，终点的坐标称为这个向量的坐标 相等的向量的坐标也相同 有了向量的名称，我们可以说，一个点和一个向量，就能确定一条平行于该向量的直线 我们把这个向量称为直线的方向向量 例 1 (1)已知一个向量与 x 轴的正向成 150角，长度为 3，求其坐标；(2)已知一个向量的坐标为(-3,-1)，试以(1,1)为始点，作出这个向量，并求此向量的长度 图 7-2ENWS30(y)(
13、x)图 7-3xyO xy A图 7-4(2)xyO xy AA1x1y1图 7-4(1)xyOy AA1x1y1x6解 (1)建立坐标系；以原点为顶点、 x 轴正向为始边，作 150角，在终边上量取长度为 3 的线段 OA，并在点 A 处标以箭头( 见图 7-5)设点 A 的坐标为( x, y)，则 x=3cos150=- ， y=3sin150= 223所以所求向量的坐标为(- , ) 3(2)建立坐标系，作出点 A(-3,-1)；连接 OA，并在点 A 处标以箭头，得到一个与求作的向量相等的向量 把它平移，使始点到坐标为(1,1)的点P 处，所得向量即为所求(见图 7-6)向量长度= O
14、A= 10)(32例 2 若把向量的始点移到原点，终点总是落在以原点为圆心、半径为 5 的圆上 请问向量的坐标有何特点？解 设向量与 x 轴正向的角为 ，则把它的始点移到原点后，其终点坐标为 (5cos, 5sin) (1)所以向量的坐标总是具有(1)的形式，其中的 为向量与 x 轴正向的角 课内练习 11. (1)已知一个向量与 x 轴的正向成 270角，长度为 4，求其坐标；(2)已知一个向量与 x 轴的正向成 240角，长度为 a，求其坐标；(3)已知一个向量的坐标为(-1,-1)，试以(3,-1) 为始点，作出这个向量，并求此向量的长度 2. (1)长度相等为 a 的向量，当把始点移到
15、原点后，其终点位置有何特征？(2)指向相同而长度不同的向量，当把始点移到原点后，其终点位置有何特征？(3)关于向量的一些说明过去你所接触的全是数量，即只有大小、没有指向的量，因此向量对你来说，是一个全新的概念 向量的实际背景首先你会觉得向量是不是搞数学的人想出来的花样，实际生活中是否有那么一种量，它确实是向量？事实上，实际中很多的量就是既有大小、又有指向的，例如你所熟悉的速度，就应该是一个向量，你以某个大小的速度往哪儿跑？这不有一个指向问题吗？要没了指向，就无法考虑具体的运动了，因此物理学中的速度是一个向量 你会反驳，过去我也处理过不少行程问题，速度从来就是数量，不也解决问题了吗？其实在你以前
16、考虑的行程问题中，物体的运动路径(即指向) 都是事先设定好了的，这样剩下xyOA150图 7-5xyOA图 7-6PB7的问题仅仅是算算路程的长短和速度的大小，当然不会涉及指向了 又例如你所熟悉的作用力，也应该是一个向量，你对举重杠铃施以往上的力，杠铃会被你提起来，若施以推力，杠铃能被提起来吗？它只会滚动而绝不会上升对吗？因此只有力的大小而没有指向，是无法确定物体在力的作用下的运动的 但是过去我们只考虑力与运动方向指向一致的情况，使力的指向问题被掩盖起来了 再例如稍微抽象一点的点的位移，除了移动多少距离(即大小) 之外，也有一个移向那里(即指向) 的问题，例如你笑的时候，嘴角的位移应该是往上的
17、，如果指向错向下了，那岂不令人啼笑皆非？因此总体来看位移量，不得不是一个向量 由此可见，向量并不是数学家凭空的想像，而有着坚实的实际背景，离开几何仍然有着广泛的应用 课内练习 21. 请你举出若干个实际生活中的向量 向量与有向线段你不会去想数量的位置问题，而对于向量，因为经常提到什么始点、终点，你可能会有误解，以为向量应该有一个位置 其实向量不过是一个量，只是这个量既有大小，还有指向；而指向与位置是没有关系的 因此向量不应该受囿于位置 反映在几何上，在一个坐标系中表示一个向量，只要指向、大小(即长度)相同，表示向量的箭头画在哪儿没有关系，因此箭头是可以自由移动的，所谓始点、终点只是相对于箭头而
18、言，相对于坐标系来说，始点、终点可以随便放在那里 有人为了强调这一点，称向量为自由向量 在物理、工程中，有着具体含义的表示力或位移等的向量，作用点的问题是必须考虑的，但这并不表示力或位移等的向量本身与位置有关，引起作用效果不同的仅是其作用点 一个大小为 100 牛顿、垂直向上的力，就是一个向量，它没有什么位置，不论作用在那儿都是这个力 但因为作用点不同，引起物体的运动会不同，如作用在举重杠铃的中点，杠铃会被整体提升；如作用在杠铃的一端，只有杠铃的作用端被提升 请注意，不要把向量的几何表示(一条带有箭头的短线段) 与有向线段(一条有方向的短线段，记得吗？三角函数线就是有向线段) 混为一谈从表示的
19、形式上来看，前者带有箭头，后者则没有；从表示的意义上来看，前者既以箭头表示了指向，又以短线段的长度表示了大小，后者则仅有正向、负向两个方向，以表明有向线段表示的量是正还是负；从位置关系上来看，前者的位置是自由的，平移到哪里都是同一个向量，后者的位置则是不可改变的，换了一个位置就变成另一条有向线段了课内练习 31. 你乘飞机从上海到北京与坐火车从上海到北京，在地图上，以位移的角度来看，是否相同？为什么？(4)向量的表示和作图8向量常用下面两种方法表示：第一种，用一个小写的黑体西文字符，如 a,b,m,n.；在书写时，因为写黑体不方便，就在西文字符上面加一个小的箭头，如 . 如果向量的坐标已知，则
20、把坐标写在它的后面，,如 a(1,-2), n(a,b), ( ,- ),.；有时候也写成 a=(1,-2), n=(a,b), =( ,-23123),. 这种表示方法通常用来表示并不在意始点位置的向量 第二种，21如果我们已经把一个向量的始点移到了点 A，且此时向量的终点位置在点B，为了强调这一点，把向量表示为 注意在以起、终点表示一个向B量时，不要动摇你已经建立的向量可以自由移动的信念，说已知向量 ，AB仅表示这样一个事实：如果把已知向量的始点放在点 A，那么终点就在点B一个向量 a 或 的长度，用记号| a|或| |来表示 根据向量坐标的A含义，立即可以得到向量长度的计算公式：若 a=
21、(x,y) (或 =(x,y)，则|a| (或| |)= (7-1-1)2yx在工程物理中，有时会用到长度为 0 的向量，这种向量称为零向量，记作 O 或 零向量的指向无法确定，因此认为它的指向是任意的 o例 3 设 =(3,-2), =(-2,3), =(cos75,sin75)，其中点 A 的ABCAD坐标为(1,1)，(1)求出 , , 的长度；(2)在同一个坐标系中作出上述向量 (1)解 根据公式(7-1-1)| |= = ； | |= = ；2)(31323)(1| |= =1AD75sinco(2)分析 建立坐标系，作出点 A(1,1)作出点 B(3,-2)；连接 O,B，并在 B
22、处标记小箭头，得到向量 ；BO把 的始点移到点 A 处，标记终点为 B，即得向量 (见图 7-7)O这样作向量的手续比较烦琐，我们可以把定位作图法的思想用到这里来，改为下面的方法(见图 7-7)解 建立坐标系，作出点 A(1,1)以点 A 为原点，建立一个假想坐标系；在这个假想坐标系中作出点 B(3,-2)，连接 A,B，并在点 B 处标记小箭头，即得 在假想坐标系中作出点 C(-2,3)，连接 A,C，并在点 C 处标记小箭头，即得 过 A 作与 x 轴成 75角的半直线，截取AD=1，在点 D 处标记小箭头，即得 (想一下为什么？参见例 2) DxyO图 7-7ABCDB-1-1-2213
23、 41234759课内练习 41. 已知向量 =(-1,-2), =(2,-3), =(cos45,sin45)，其中点 A 的ABCAD坐标为(-1,1)，(1)求出 , , 的长度； (2)在同一个坐标系中作出上述向量 例 4 已知直线过点 A(2,2)，方向向量 n(-1,1)，试作出这条直线 解 作出坐标系，在坐标为(2,2)处标注 A；以原点为始点，作出向量n(-1,1)；过点 A 作 n 的平行线 l，则 l 即为所求的直线(见图 7-8) 课内练习 51. 已知直线过点 B(0,2)，方向向量 n(-1,0)，试作出这条直线 (5)平行向量的坐标特征平行向量的坐标特征所谓向量平行
24、，其实是表示向量的线段平行，因此向量 a,b 平行也表示为 a|b零向量 的指向可以任意，所以可以认为零向量和任何一个向量平o行 因此，在下面讨论平行向量问题中，我们都撇开零向量 若向量 a|b，另作与 a,b 平行的直线 l，当把 a,b 的始点都移到 l 上时，表示它们的有向线段必定都落在 l 上；反之，若表示 a,b 的有向线段能同时落到一条直线 l 上，则必定 a|b 因此又称平行向量为共线向量(见图7-9)上述向量平行或共线的定义是一种描述性定义，那么平行向量有怎样的数字特征呢？设 a|b，a=(x1,y1)， b=(x2,y2) 把它们的始点都移到原点，设终点分别为 A,B先讨论简
25、单情况：若 a,b 平行于 x 轴，此时 y1=y2=0(见图 7-10(1)，反之若 y1=y2=0，则 a,b 必定都平行于 x 轴，因此 a|b 由此首先可得a(x1,y1),b(x2,y2)平行且平行于 x 轴 y1=y2=0，且当 x1,x2 同号时指向相同，异号时指向相反 类似讨论又可得a(x1,y1),b(x2,y2)平行且平行于 y 轴 x1=x2=0，且当 y1,y2 同号时指向相同，异号时指向相反 其次讨论 a,b 与坐标轴不平行的情况，此时A,B 不在坐标轴上 因为 OA|OB，所以OA1A OB1BA1,B1 为 A,B 在 x 轴上的垂足(见图 7-10(2)(3)，
26、xyO图 7-8An-1 21 3 4123laxbylO 图 7-9axbyBO图 7-10(3)AA1B1axbyO图 7-10(2)A BB1A1axbyO图 7-10(1)Bx2x1AS10由此可得或 ，OAByx12 OAByx12即 (1)|12ab当符号取正， a,b 指向相同；符号取负， a,b 指向相反 反之，从(1)逆推上述过程，易得 a|b若记 = ，则上述结论可表示为：|a(x1,y1)|b(x2,y2) 或( x2, y2)=(x1, y1) 或 x2y1=y2x1 12(2)只要经过简单的验证，可知当 a,b 平行且平行于 x 轴或 a,b 平行且平行于 y 轴时，
27、(2)的最后二式仍然成立 因此可得一般的结论：a(x1,y1)|b(x2,y2) (x2, y2)=(x1, y1) 或 x2y1=y2x1 (7-1-2)其中 = ，符号取“+” ，表示 a,b 指向相同，取“-”，则指向相反 |具体检验两个向量是否平行，首先看是否成立 y1=y2=0 或 x1=x2=0，若成立，则已经可以得到平行的结论，然后根据非零坐标符号的异同决定指向的异同；否则，检验是否成立 或 x2y1=y2x112例 5 检验下列各组向量是否平行，若平行，它们的指向是否相同？它们的长度有何关系？(1)a(1,-3), b(-2,6)； (2)c(1,-3), d(-2,-6)；
28、(3)m(0,-3), n(0,6)；(4)s(,2), t(-,-2)； (5)p(sin20,cos20), q(-3sin200,-3cos200)解 (1)因为 =-2，即 b=-2a，所以 a|b；因为-20，所以它们的指向相同，且 q 的长度是 p的 3 倍 第(4)小题中的向量 s,t 有些特点，它们平行且长度相等，仅是指向相反 具有这样特点的两个向量，称它们是互为相反的向量 其实指向相反已经包含了平行的意思，因此可以说：若两个向量长度相等而指向相反，则称它们是互为相反的向量 相反向量相当于数量中的相反数 数乘向量把(7-1-2)等式右边的 形式地移到括号外面来，则得b=(x2,
29、 y2)= (x1, y1)=a我们把这种形式运算合法化，称为数乘向量运算 即已知向量 a 和任意实数 ,(0)， a 表示一个平行于 a、长度为| a|的| |倍(即| a|=|a|)的向量，且其指向，当 0 时与 a 相同，当 y0，所以 x+y+10 (2)反之，若( x,y)使(2)成立，则必定 yy0，即点P(x,y)在 l 的上方 这表明，若把 l 的方程(即等式)(1) 改成不等式 (2)，那么一切满足不等式(2)的点( x,y)都在 l 的上方 即M 上 =(x,y)|x+y+10表示在 l 上方一侧 同理，你也不难看出M 下 =(x,y)|x+y+1y0，即 P(x,y)在
30、l1 的上方时，( x,y)满足的不等式是 x-y+10表示在 l1 下方一侧 比较(1),(1)，不难发现出现这种差别的原因在于 y 前面的系数，(1)中y 的系数是正的，而(1) 中则是负的 现在把(1),(2)推广到一般的 l： Ax+By+C=0 l 也把平面划分为两侧 以 M 上 、 M 下 表示上、下两侧，则当 B0 M 上 =(x,y)|Ax+By+C0， M 下 =(x,y)|Ax+By+C0表示 B 正负的不等号与二元一次不等式的不等号 同向为上，异向为下 若 B=0， l 成为 Ax+C=0，是一条平行(或重合) 于 y 轴的直线 x=-xy图 7-22l: x+y+1=0
31、P0(x,y0) -1-1P1(x,y) P2(x,y)Oxy图 7-23l1: x-y+1=0P0(x,y0)1P1(x,y)P2(x,y)O25(或 x=0)，此时 l 自然把平面划分为左右两侧：ACM 左 =(x,y)|Ax+C0=(x,y)|Ax+C0,A0,A0=(x,y)|Ax+C,0 或Ax+By+C0 表示的平面区域 解 画出直线 l：2 x-3y-6=0(依次以 y=0 和 x=0 代入，得到 l 与 x 轴和y 轴的交点(3,0),(0,-2)，连接这两点的直线即为 l)法 (符号法)：因为不等式 y 前的系数-3，所以不等式表示 l 的下侧 法 (试点法)：取原点(0,0
32、)代入，因为20-30-6=-60 表示的平面区域是 l 的下侧(见图 7-24) 想一想，为什么 l 画成虚线？如何画出不等式 3y0； (3)2x+5y0； (4)3y4x-12若多个二元一次不等式联列，那么按照“联列”表示“ 同时成立 ”的意思，所表示的平面区域，应该是各二元一次不等式表示区域的交集 例 21 画出下面不等式组表示的平面区域：x+y0,x3,yx+5解 不等式 x+y0 表示 l1： x+y=0的上侧；不等式 x3 表示 l2： x=3 的左侧；不等式 yx+5 即 x-y+50，表示l3： x-y+5=0 的下侧 Oxy1-11 2 3-2图 7-24lOxy5-5图
33、7-25l3: x-y+5=0l2: x=3l1: x+y=026所以不等式组表示的平面区域是它们的交集(见图 7-25) 课内练习 181. 画出下列不等式表示的平面区域：(1) y2x-3；(2) 1-y；(3)3 x-2y+10；(4)4 x-3y9；2(5) y2x+1, (6) x+2y12,x+2y4； -3x+y6,0x8B 组1. 已知点 P(x,2),Q(-2,-3),M(1,1)，求满足下列条件的 x 的值：(1) = ； (2) 与 为相反向量；QPQ(3)| |=| |； (4) 与 共线2. 根据下列各小题中的条件，分别判断四边形 ABCD 的形状：(1) = ； (
34、2) = ； (3) = 且| |=| |ADBC31ABDC3. 已知点 A(1,2),B(-1,3)，且 =2 ， =3 ，求点 A,B及向量O的坐标4. 已知| a|=3， b=(1,2)，且 a|b，求 a 的坐标5. 已知 A(-10,3),B(-2,3),C(1,-1)，求 ABC 各中线的长6. 已知点 A(-2,3),B(3,5)，分别求点 A,B 关于点 M(1,1)的中心对称点 A,B的坐标，并说明 =- 7. 求过点(1,2)且与两条坐标轴围成一等腰直角三角形的直线方程8. 菱形的两条对角线长分别是 8 和 6，并且分别位于 x 轴和 y 轴上求菱形各边所在直线的方程9.
35、 已知直线 l 的斜率 k=2， P1(3,5), P2(x0,7), P3(-1,y0)是这条直线上的三个点，求 x0,y010. 设直线 l 过点 A(-2,5),B(1,1)，求 l 被坐标轴截取的线段的长11. 过原点的一条直线 l，把直线 3x+2y=12 在坐标轴间的线段平分，求 l的方程C 组1. 已知 A(-3,-2),B(3,4)，求线段 AB 的三等分点的坐标2. 求以 A(2,1),B(-2,3),C(0,-1)为顶点的 ABC 的重心的坐标；若 ABC 的30顶点为 A(x1,y1),B(x2,y2),Cx3,y3)呢？3. 光线从 M(-2,3)射到 x 轴上一点 P(1,0)后，被 x 轴反射，求反射光线所在直线的方程
