1、 第七章 常微分方程数值解本章介绍求解微分方程数值解的基本思想和方法.常微分方程含有自变量、未知函数和它的一阶导数和高阶导数的方程.它是描述运动、变化规律的重要数学方法之一，分为两类：1.初值问题，即给出未知函数及导数在初始点的值2.边值问题，即给出未知函数及（或）它的某些导数在区间两个端点的值 常微分方程初值问题00(,), |yfxabyR其中 为 的已知函数， 为给定的初值. f,这里仅讨论一阶标量微分方程初值问题的数值解法. 而高阶微分方程通常可化为一阶微分方程组来研究. 数值解法寻求微分方程初值问题之解 在一系列离()yx散点 上的近似值:012Naxxb ,210y的方法 .Ny,
2、: 问题的数值解n数值解所满足的离散方程统称为差分格式.步长： ，一般取定步长1iihxih 初值问题的适定性(其解是否唯一存在)记(带形)区域： 为 ，即 = .,abRG,abR设 为连续映射，若存在常数 使:fG0L得不等式1212|(,)(,)|fxyfy对一切 都成立，则称 在(,)fxy上关于 满足 Lipschitz 条件，而式中的常数GL 称为 Lipschitz 常数.定理 初值问题 ，00(,), |yfxabyR当 在 上连续，且关于 满足(,)fxGLipschitz 条件，则其解存在且唯一. 7.1 Euler 方法 Euler 公式将初值问题的求解区间 等 ,)(
3、|00Ryyabxaxf ,baN分,分点: ,其中)21(, Nnhn h将 写成等价的积分方程形式：),(yxf, hxdyfh)(,)(在上式中令 ，并用左矩形公式计算右端nx积分，得到, (*)nnnn Rxyhfxyhxy )(,)()(余项 1 ,nx fdfR将(*)中的余项 截去，可得nR)(,()()(1 nnxyhfxyxy则有 的近似值 的递推公式)n(*1)1,1,0),(1 Nnyxhfyn -Euler 公式表示当 为精确值时，利用 (*1)nR)(nnxy即 Euler 公式计算 时的误差.1为 Euler 方法的局部截断误差.nnyxy)(例 1 用 Euler
4、 公式解初值问题1)0(1,2yx 解：取 ，Euler 公式的具体形式为.h)2(),(1 nnnn yxhyxhfy 其中 )10,.0xn( 已知 ，则有10y 1.0)2(001 yxh198.).20(.)(112 y 依次计算可得109876543 , yyyy其部分结果见下表 nx数值解 ny准确解 )(nxy局部截断误差 n1.08.640.2 .784093.5621.8 .73205164.8.132 0.527193.60.82可见 Euler 方法的计算结果精度不太高。Euler 公式的几何意义:初值问题的解 :从 出发的一条曲线,过)(xy)(0yxP的切线方程:0P
5、,)(,)( 00000 xyxfyxy 与直线 交点的纵坐标hx1,正好为 Euler 公式求出的 ;)(001yhfy 1y同理,过点 且斜率为 的直线,1xP),(1yxf与直线 交点的纵坐)(,1yfyh2标 ,正好为 Euler 公式求出的 ; 12xh 2y ,可得一条折线 ,Euler 公式就是用这320P条折线来近似代替解曲线 .)(xy故,Euler 方法也称折线法. 隐式(后退的)Euler 公式对 hxdyfyhxy )(,)()(令 ，并用右矩形公式计算右端积分，n类似可得递推公式：, (*2),(11 nnn yxhfyy )(,(), 1nx nxyhfdfR(*2
6、)式称为隐式(后退的) Euler 公式表示当 为精确值时，利用(*2)即后nR)(nxy退的 Euler 公式计算 时的误差.)1为后退的 Euler 方法的局部截断nnyx)(误差 . 方法的阶1. def:若局部截断误差（将准确解 代入公式的)(xy左、右两端，其左端与右端之差），则称该数值方法具有 阶精度。)()(1pnnhOyx p越大，精度越高，数值方法越好。p2. Euler 方法的精度)(,)()()(111 nnnnnn xyhfxyhxyxy 其中： ,f将 在点 处一阶 Taylor 展开)(hxynnx)()()( ),(!2)()( 1hOxyhx xfyhxynn
7、nn ,)()()()()()( 221 hOxyhxhxyhx nnnnn Euler 方法具有一阶精度 。3. 后退的 Euler 方法的精度同理 )(,()()()( 11111 nnnnnnn xyhfxyhxyxy将 在点 处一阶 Taylor 展开),()()()( !2)()( 12111 nnnnn xhOxyhxy hfxyxy , ,)( )()()()(2 121111hOxyhxyhxyxy nnnnn 后退的 Euler 方法也是具有一阶精度 改进的 Euler 方法对 hxdyfyhxy )(,)()(令 ，并用梯形公式计算右端积分，n类似可得递推公式：(*3) ,
8、2/),(),( 11 nnnn yxfyxfhy(*3)式称为梯形（平均）公式其局部截断误差为 2/)(,()(,)()( 1111 nnnnnn xyfxyfhxyxy将 及 均在点 处二阶 Taylor 展开)(1n)(1nn)()(2)()()( 31 hOxyhxyxy nnnn )()()()()( 31 nnnn )(31hOn这种方法具有 二阶精度平均（梯形）公式为隐式公式，一般用迭代法求解，迭代初值由 Euler 公式提供，只迭代一次即得如下预测校正型公式 , )()(211 nnnn yxfyxfhy校或 , 2/)()(11cpnpncnpyyxhf称上式为改进的 Eul
9、er 公式可以证明，改进的 Euler 公式具有二阶精度。例 2 用改进的 Euler 公式解初值问题1)0(1,2yx 解：取 ，改进的 Euler 公式的具体格式为 1.h , ,)(21 )2(1.0.)( 11cpn pnnpnc nnpyy yxyxhffy具体计算过程如下 095.1)098.1(2)(21 81.2.(.).0)01.(.0 yyxyycppcp 184096.)(212.).07.(.211cppcpyyx 依次计算可得109876543 , yyy其部分结果见下表nx数值解 ny准确解 )(nxy局部截断误差 n1.08.640.2 .7386914.50.96 1.7320564.81.32 0.58142.7690.8可见改进的 Euler 方法的计算结果精度比 Euler 方法要高。作 业P185 习题七1.(1), (2) ; 2.(1), (2)
