1、微分方程建模,案例一、价格波动模型,“ 商品价格变化的两大特点 ” ：平衡价格应是 商品供需平衡 的价位；趋于过程应具有惯性特征：呈现 阻尼震荡 过程特征,建立在 市场经济 下 价格变动模型,具体问题：试图建立一个 数学模型，描绘在健全的市场经济框架下，商品价格受市场机制调节，偏高或偏低的价格将会 自动趋于平衡 。,建模目的：建立一个价格随时间演变, 以 阻尼振荡 方式 逐渐趋于理性的 商品供需平衡价格 的模型。,(3) 商品价格的变化速度 p ( t ) 与市场的 过剩需求 D ( t ) S ( t ) 有关. 假定它们之间成 正比 :,(2) 商品供应 S ( t ) 随价格 p ( t
2、 ) 的增大而上升 . 假定它们之间的关系也近似为 线性关系 ;,建模假设：,(1) 商品需求 D ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而下降 . 假定它们之间的关系近似为 线性关系 :,模型建立：,模型分析：,当,时 ,当,时 ,结论未能达到建模目的！,说明商品价格是 单调 地趋向平衡价格.,建模假设的 修改 ：,(3)* 商品价格的变化速度 p ( t ) 与市场的 过剩需求 D ( t ) S ( t ) 对时间 t 的 累积量有关 ( 即考虑过剩 需求的时间滞后效应 ) .,(2) 商品供应 S ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而上升 . 假定它们之间的关系也近似为 线
3、性关系 ;,(1) 商品需求 D ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而下降 . 假定它们之间的关系近似为 线性关系 :,假定它们之间成 正比 :,模型再建立：,商品价格随时间演变而处在 等幅震荡 之中。,结论还未能达到建模目的！,建模假设的 再次修改 ：,假设 (1) 、(2) 不变 ；,(3)* 商品价格的变化速度 p( t ) 不仅与市场过剩需求 D ( t ) S ( t ) 对时间 t 的累积量有关 ,还与当时的价格与平衡价格 p* 的 偏差程度 有关( 即考虑健全的市场有政府宏观调控因素 ) ,假定它们之间也成 正比 ， 且比例系数,仍假定它们之间 成 正比 ;,( 强调政府
4、宏观调控只是微调 ) 。,模型又一次建立：,商品价格随时间演变而呈现 阻尼震荡 现象 。,该结论达到建模目的！ 模型是合理的,生活在同一环境中的各类生物之间，进行残酷的生存竞争，一类动物靠捕食另一类动物为生，被捕食者只能靠又多又快地繁殖后代和逃跑等方式求生存发展，如此等等。设想一海岛，居住着狐狸和野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之茂盛，兔子们无无食之忧，于是大量繁殖。兔子一多，狐易得食，狐量亦增。而由于狐狸数目增,案例二 生物种群的弱肉强食模型,多吃掉大量的兔子，狐群又进入饥饿状态而使其总数下降，这时兔子相对安全些，于是兔子总数回升。这样，狐兔数量交替增减，无休止地循环，遂形成生态的动态平衡。意
5、大利著名生物数学家沃特拉（Volterra)对上述现象建立了下述模型,（1）,其中 x(t) 表示 t 时刻兔子的数目，y(t)是狐狸数，ax 项表示兔子繁殖速度与兔子现存总数比例，- bxy 项表示狐兔相遇兔子被吃的速度，- cy 项表示狐狸因为同类竞争食物造成的死亡速度与狐狸数成正比，+ dxy项表示狐兔相遇对狐狸有好处而使狐狸繁衍增加的速度。看来这一模型表达了达尔文主义思想，而且数学分析之后还会充实和精确表达上述直观思想。,方程组等价于,积分得,（2）,从（2）解不出 y=f(x)这种显式解，沃特拉发明了一种巧妙的办法：在 xOy 平面上画出x(t)与y(t)变化相关性的相图。令,其中C
6、由初始值x0 ，y0定出为,于是绘出图1,图 1,在L4上，随 t 的增加，动点（x(t) ，y(t)依逆时针而动，事实上，点 s 是使,L1：z=w, L2：z=yae-by； L3：w=Cx-cedx ； L4：狐兔曲线。,的平衡点（或称奇点）.,此时,考虑点P2，P2的横坐标大于 ,故在P2点， ，y 增加，在P2 处向上运动，可见是逆时针运动。,现在考虑对两个物种同时进行捕捉，既抓兔子也捉狐狸，于是，模型（1）变成修正模型：,（3）,从图 1中已经看到，x(t)，y(t)是周期为T 的周期函数，同理（3）的解x(t)、y(t)也是周期函数。,对于（1）， x(t)，y(t)的平均值 为
7、：,又,得：,而,故,于是,同理可得,对于（10）则得,由（4）可知，当捕捉率 不超过兔子的繁殖率 a 时，兔子反而会增加，狐狸要减少，反过来，捕捉率降低，平均而言，会增加狐狸的数目，而减少兔子的数目。,（4）,意大利生物学家棣安奇纳（D.Ancona）发现，第一次世界大战那些年代，地中海各港口捕鱼量百分比表明，掠肉鱼（例如鲨鱼）的百分比急剧增加，从上述数学分析中，对这种现象已经有了理论上的解释。事实上，那时战火连天，渔民大量停业，使捕捉率下降，所以相当于狐狸的掠肉鱼明显增加。这种结论在农业防治病虫害上有很大意义，例如，有两个物种（可能是两,种昆虫或害虫与青蛙等），一者是作物的害虫，一者是害虫
8、的天敌，若施农药不当，虽然可以杀灭一些害虫，但同时也杀死了害虫的天敌，这一“捕捉行为”的实施，由上述结论知，可能造成天敌的减少，害虫的增多，事与愿违，与其施用少量农药治虫，不如采用生物治虫的办法。,附:,数值解法:,%例1：求微分方程初值问题dy/dx=-2y/x+4x，y(1)=2在1，3 区间内的数值解，并将结果与解析解进行比较。 function example1() clc; clear; X,Y=ode45(fxy,1,3,2); x=X %显示自变量的一组采样点 y=Y %显示求解函数与采样点对应的一组数值解 y1=(X.2+1./X.2) %显示求解函数与采样点对应的一组解析解 dy=y-y1 %显示求解函数与采样点对应的一组解析解function f=fxy(x,y) f=-2*y/x+4*x;,例2: 求解常微分方程组初值问题在区间0,4中的解。,function example2() X,Y=ode45(fxy,0,4,5,6); x=X %显示自变量的一组采样点 y=Y %显示求解函数与采样点对应的一组数值解 plot(X,Y);%画出解的变化曲线function f=fxy(x,y) f(1)=y(1)(1/3)*y(2); f(2)=-x.*y(2)+x.2-5; f=f;,
